高一物理功与机械能知识详解

第四章机械能
第1单元功和功率
一、功
1．功：力对空间积累效应,和位移相对应（也和时间相对应）。

功等于力和沿该力方向上的位移的乘积。

求功必须指明是“哪个力”“在哪个过程中”做的
2、功的正负
①0≦θ≦900时， W＞0 正功利于物体运动，动力
②、θ＝900时， W＝0 零功不做功
③、 900≦θ≦1800时 W＜0 负功阻碍物体运动，阻力
【例1】质量为m的物体，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是（A、C、D ） [注意功是怎样改变能量的]
A．如果物体做加速直线运动，F一定做正功
B．如果物体做减速直线运动，F一定做负功
C．如果物体做减速直线运动，F可能做正功
D．如果物体做匀速直线运动，F一定做正功
3、功是标量
符合代数相加法则，功的正负不具有方向意义，只能反映出该力是有利于物体运动，还是阻碍物体运动，是动力还是阻力。

4、总功的计算：
①计算多个力的合力做功，可以先求合力，再根据cos
W Flα
=求总功；
③用动能定理W =ΔE k 或功能关系
5、变力做功的计算
①动能定理
②用平均值代替公式中的F。

如果力随位移是均匀变化的，则平均值 F =
22
1
③F ～S 图象中面积＝功
④W = Pt
【例2】用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升。

如果前后两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则（ D ）
A ．加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大
B ．匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大
C ．两过程中拉力做的功一样大
D ．上述三种情况都有可能
解析： ①
②
比较①、②知：当a>g 时，21W W >；当a=g 时，21W W =；当a<g 时，21W W <
6、各种力做功的特点：
①重力：只与初末位置的高度差有关，与运动路径无关.
②弹力：接触面间的弹力与接触面垂直，但是，弹力也有可能做功，计算方法与一般力的计算方法相同.
③摩擦力：摩擦力做功与物体的运动特点有关，可以为正，也可以为负. 当做正功时，摩擦力是动力；做负功时，摩擦力是阻力. 一对静摩擦力所做的总功为零；一对滑动摩擦力所做的总功是负值，其绝对值等于滑动摩擦力与相对位移大小的乘积，恰好是系统由于摩擦力做功而损失的机械能.
④电场力：与重力做功类似，只与初末位置的电势差有关，与路径无关.
⑤洛仑兹力：始终不做功.
○
6一对作用力和反作用力做功的特点 （1）一对作用力和反作用力在同一段时间内，可以都做正功、或者都做负功，或者一个做正功、一个做负功，或者都不做功。

（2）一对作用力和反作用力在同一段时间内做总功可能为正、可能为负、可能为零。

（3）一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。

拓展：作用力和反作用力在同一段时间内的冲量一定大小相等，方向相反，矢量和为零。

7．功的物理含义
关于功不仅要从定义式W=Fs cos α 进行理解和计算， 还应理解它的物理含义． 功是能量转化的量度，即：做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就有多少能量发生了转化．对物体做正功，物体的能量增加．做了多少正功，物体的能量就增加了多少；对物体做负功，也称物体克服阻力做功，物体的能量减少，做了多少负功，物体的能量就减少多少．因此功的正、负表示能的转化情况，表示物体是输入了能量还是输出了能量．
8、区别保守力和非保守力做功的不同:与路径有无关系
二、功率 ——功率是描述做功快慢的物理量。

2. 功率
（1）功率：功跟完成这些功所用时间的比值. ①定义式：W P t
= 211121)(at a g m s F W ⋅+=⋅=2
)(21at a g m +=2
222mgat s F W ==
②表示做功的快慢
③功率是一个标量，有正负之分，正值表示做功的力为动力，负值表示做功的力为阻力.
（2）常见的几种功率
①额定功率：机械长时间正常工作时的最大输出功率.
②实际功率：机械工作时的实际功率，实际功率应不大于额定功率，否则会缩短机器寿命.
③平均功率：一段时间内做功的平均快慢程度.
④瞬时功率：某时刻做功的快慢程度.
（3）公式 ①W P t
=
，是物体在时间t 内的平均功率. ②cos P Fv θ=，θ是F 与v 的夹角，此式既可用于求平均功率，也可用于求瞬时功率. ③W Pt =，给出了计算功的一种方式. （4）机车的两种启动过程
①恒定功率启动（牵引力F 牵，速度v ，加速度a ），
如图所示，先做变加速运动，后做匀速运动：
F F P v F a v m
μ-↑⇒=
↓⇒=↓⇒牵牵 ,0,m F F a v v μ==⇒牵当时达到最大匀速 故汽车速度最大时，有
F F μ=牵，0a =，m m P F v F v μ==牵
②匀加速启动（牵引功率P ，牵引力F 牵，加速度a ），如图所
示，先做匀加速运动，当功率到达m P 后再做变加速运动，最
后做匀速运动：
F F F a v P F v m μ
-⇒=⇒↑⇒=↑⇒牵牵牵不变不变
,0,m m P P P a v P v F v
=≠⇒↑⇒=↓⇒当时增大一定, 0m F F a F F a v v m μ
μ-=↓⇒==⇒当时达到最大匀速
，，
【例3】 质量为0.5kg 的物体从高处自由下落，在下落的前2s 内重力对物体做的功是多少？这2s 内重力对物体做功的平均功率是多少？2s 末，重力对物体做功的即时功率是多少？（g 取） 解析：前2s ，202102
12122=⨯⨯==
gt h m ，， 平均功率50==t W P W ， 2s 末速度， 2s 末即时功率100==t mgv P W 。

⑶重力的功率可表示为P G =mgv y ，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直
2
/10s m J mgh W G 10020105.0=⨯⨯==s m s m gt v t /20/210=⨯=
=
分速度之积。

【例4】质量为m 、额定功率为P 的汽车在平直公路上行驶。

若汽车行驶时所受阻力大小不变，并以额定功率行驶，汽车最大速度为v 1，当汽车以速率v 2（v 2<v 1）行驶时，它的加速度是多少？
解析：F-f=ma 其中1v P f =， 2v P F = 得 2
12121)()11(v mv v v P v v m P a -=-= 【例5】质量是2000kg 、额定功率为80kW 的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s 。

若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s 2，运动中的阻力不变。

求：①汽
车所受阻力的大小。

②汽车做匀加速运动的时间。

③3s 末汽车的瞬时功率。

④汽车在匀加速运动中牵引力所做的功。

解析：①所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出。

以最大速度行驶时，根据P =Fv ，可求得F =4000N 。

而此时牵引力和阻力大小相等。

②设匀加速运动的时间为t ，则t 时刻的速度为v =a t =2t ，这时汽车的功率为额定功率。

由P =Fv ，将F =8000N 和v =2 t 代入得t =5s 。

③由于3s 时的速度v =at =6m/s ，而牵引力由F —F f =m a 得F = 8000N ，故此时的功率
为P = Fv = 4.8×104W 。

④虽然功率在不断变化，但功率却与速度成正比，故平均功率为额定功率的一半，从而
得牵引力的功为W = Pt = 40000×5J=2×105J.
三、针对训练
1．一质量为m 的木块静止在光滑的水平面上，从t =0开始，将一个大小为F 的水平恒力作用在该木块上，在t =T 时刻F 的功率是（ B ）
A ．m T F 22
B ．m T F 2
C ．m T F 22
D ．m
T F 222 2．火车从车站开出作匀加速运动，若阻力与速率成正比，则（ACD ）
A ．火车发动机的功率一定越来越大，牵引力也越来越大
B ．火车发动机的功率恒定不变，牵引力也越来越小
C ．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，发动机的功率这时应减小
D ．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，则发动机的功率一定跟此时速率的平方成正比
解析：A 、C 、D 根据P=Fv ，F-f=ma ，f=kv ，∴mav kv v ma kv P +=+=2
)(。

这表明，在题设条件下，火车发动机的功率和牵引力都随速率v 的增大而增大，∴A 正确。

当火车达到某一速率时，欲使火车作匀速运动，则a =0，∴此时，减小mav ，∴C 、D 对。

3．同一恒力按同样方式施于物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同一段距离时，恒力的功和平均功率分别为1W 、1P 和2W 、2P ，则二者的关系（B ）
A ．21W W >、21P P >
B ．21W W =、21P P <
C ．21W W =、21P P >
D ．21W W <、21P P < 2kv P =
4．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2.1kg
的物体在F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速
度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知（ C ）
A ．物体加速度大小为2 m/s
2 B ．F 的大小为21N
C ．4s 末F 的功率大小为42W
D ．4s 内F 做功的平均功率为42W
5．物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F 1，经时间t 后撤去F 1，立即再对它施加一水平向左的恒力F 2，又经时间t 后物体回到原出发点，在这一过程中，F 1、F 2分别对物体做的功W 1、W 2之比为多少？
解：经t 时间的位移m t F t a s /2
1212121== ① 此时速度m t F t a v /11==，之后受恒力2F 向左，与v 方向相反，则物体做匀减速直线运动：F 2＝ma 2，加速度a 2＝F 2／m ，经t 时间又回到原出发点，此过程位移为s ，方向向左，则力做正功。

因位移与v 的方向相反，则有222
1t a vt s -=- 即 t m
t F t m F vt t a s 122222121-=-= ② ②与①式联立可得123F F =，
则力F 2做的功123W W =。

所以3
121=W W 6．如图所示，在光滑的水平面上，物块在恒力F =100N
作用下从A 点运动到B 点，不计滑轮的大小，不计绳、
滑轮间摩擦，H=2.4m ，α=37°，β=53°，求拉力F
所做的功
解： 100)sin sin (
=-==β
αH H F Fs W J
第2单元 动能 势能 动能定理
一、动能
1．动能：物体由于运动而具有的能，叫动能。

其表达式为：22
1mv E k =。

2．对动能的理解
（1）动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应．动能是标量．它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值．
（2）动能是相对的，它与参照物的选取密切相关．如行驶中的汽车上的物品，对汽车上的乘客，物品动能是零；但对路边的行人，物品的动能就不为零。

2
F
3．动能与动量的比较
（1）动能和动量都是由质量和速度共同决定的物理量，
221mv E k =＝m
p 22
或 k mE p 2= （2）动能是标量，动量是矢量。

物体的动能变化，则其动量一定变化；物体的动量变化，则其动量不一定变化。

（4）动能决定了物体克服一定的阻力能运动多么远；动量则决定着物体克服一定的阻力能运动多长时间。

动能的变化决定于合外力对物体做多少功，动量的变化决定于合外力对物体施加的冲量。

二、势能（位能）
1、重力势能（E p ）⇐举高。

物体由于受到重力的作用，而具有的与其相对位置有关的能量叫做重力势能。

E p ＝m g h （h 是重心相对于零势能面的高度）
（1）、相对性 ①“零高度”或“零势能面”，（大地或最低点）
②势能的正负和大小是相对于零势能面的
③势能的正负和大小于零势能面的选取有关
（2）重力势能变化量的绝对性——
①跟物体的初位置的高度和末位置的高度有 关，跟物体运动的路径无关。

②重力势能改变量与零势能面的选取无关
③重力势能的改变量与路径无关
（3）重力势能的改变——重力做正功，重力势能减 小，重力做负功，重力势能增大（等值变化）
2、弹性势能（E p ）⇐弹性形变
发生形变的物体，在恢复原状时能够对外做功，因而具有能量，叫弹性势能，跟物体形变和材料有关。

三、动能定理
1． 动能定理的推导
物体只在一个恒力作用下，做直线运动
w ＝FS ＝m a ×a
V V 22122- 即 w ＝21222121mv mv - 推广： 物体在多个力的作用下、物体在做曲线运动、物体在变力的作用下
结论： 合力所做的功等于动能的增量 21222
121mv mv w -= 合力做正功动能增加，合力做负功动能减小
注：动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。

【例1】 一个质量为m 的物体静止放在光滑水平面上，在互成60°角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，那么在这段时间内，其中一个力做的功为
A ．261mv
B ．241mv
C ．231mv
D ．22
1mv 错解：在分力F 1的方向上，由动动能定理得
222116
1)30cos 2(2121mv v m mv W =︒==，故A 正确。

正解：在合力F 的方向上，由动动能定理得，221mv Fs W =
=，某个分力的功为2114
12130cos 30cos 230cos mv Fs s F s F W ==︒︒=
︒=，故B 正确。

2．对外力做功与动能变化关系的理解：
外力对物体做正功，物体的动能增加，这一外力有助于物体的运动，是动力；外力对物体做负功，物体的动能减少，这一外力是阻碍物体的运动，是阻力，外力对物体做负功往往又称物体克服阻力做功． 功是能量转化的量度，外力对物体做了多少功；就有多少动能与其它形式的能发生了转化．所以外力对物体所做的功就等于物体动能的变化量．即 ．
3．应用动能定理解题的步骤
（1）确定研究对象和研究过程。

和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。

（原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。

（2）对研究对象受力分析。

（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。

（3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负） （4）写出物体的初、末动能。

按照动能定理列式求解。

【例2】 将小球以初速度v 0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。

由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。

设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v 。

解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：
202
1mv mgH =和()20218.0mv H f mg =+，可得H=v 02/2g ，mg f 41= 再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。

全过程重力做的功为零，所以有：22021218.02mv mv H f -=⨯⋅，解得05
3v v = 【例3】如图所示，质量为m 的钢珠从高出地面h 处由静止自由下落，落到地面进入沙坑h /10停止，则
（1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？ （2）若让钢珠进入沙坑h /8，则钢珠在h 处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变。

解析：（1）取钢珠为研究对象，对它的整个运动过程，由动能定理
得W =W F +W G =△E K =0。

取钢珠停止处所在水平面为重力势能的零参考平
面，则重力的功W G =1011mgh ，阻力的功W F =101- F f h ， 代入得10
11mgh 101-F f h =0，故有F f /mg =11。

即所求倍数为11。

（2）设钢珠在h 处的动能为E K ，则对钢珠的整个运动过程，由动能
定理得W =W F +W G =△E K =0，进一步展开为9mgh /8—F f h /8= —E K ，得E K =mgh /4。

【例4】 质量为M 的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h =0.20m ，木块离台的右端L =1.7m 。

质量为m =0.10M 的子弹以v 0=180m/s 的速
度水平射向木块，并以v =90m/s 的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为
s =1.6m ，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。

解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两
个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。

所以本题必须分三个阶段列方程：
子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v 1，mv 0= mv +Mv 1……① 木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v 2
，
有：2221212
1Mv Mv MgL -=μ……②
木块离开台面后平抛阶段，g h v s 22=…③ ， 由①、②、③可得μ=0.50
四、动能定理的综合应用
1．应用动能定理巧求变力的功
如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

【例5】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳
PQ 提升井中质量为m 的物体，如图所示．绳
的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上．设
绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺
寸、滑轮上的摩擦都忽略不 计．开始时，
车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，
左侧绳长为H ．提升时，车加速向左运动，沿
水平方向从A 经过B 驶向C ．设A 到B 的距离
也为H ，车过B 点时的速度为v B ．求在车由A
移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功．
解析：设绳的P 端到达B 处时， 左边绳与水平地面所成夹角为θ，物体从井底上升的高度为h ，速度为v ，所求的功为W ，则据动能定理可得： 221mv mgh W =- 因绳总长不变，所以： H H h -=θ
sin 根据绳联物体的速度关系得：v =v B cosθ 由几何关系得：4πθ=
由以上四式求得： H mg mv W B )12(4
12-+= 2．应用动能定理简解多过程问题。

物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑。

【例7】 如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的滑块，距挡板P 为s 0，以初速度v 0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求
滑块在斜面上经过的总路程为多少？
解析：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械
能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的
重力分力，所以最终会停在斜面底端。

在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其
中支持力不做功。

设其经过和总路程为L ，对全过程，由动
能定理得： 200210cos sin mv mgL mgS -=-αμα得α
μαcos sin 20210mg mv mgS L +=
3．利用动能定理巧求动摩擦因数
【例8】 如图所示，小滑块从斜面顶点A 由静
止滑至水平部分C 点而停止。

已知斜面高为h ，滑块
运动的整个水平距离为s ，设转角B 处无动能损失，
斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动
摩擦因数。

解析：滑块从A 点滑到C 点，只有重力和摩擦力做功，设滑块质量为m ，动摩擦因数
为μ，斜面倾角为α，斜面底边长s 1，水平部分长s 2，由动能定理得：
0cos cos 21=-⋅-mgs s m g mgh μα
αμs s s =+21 由以上两式得s h =μ 从计算结果可以看出，只要测出斜面高和水平部分长度，即可计算出动摩擦因数。

4．利用动能定理巧求机车脱钩问题
【例9】总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m ，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L 的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力。

设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。

当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？ 解：对车头，脱钩后的全过程用动能定
理得：
201)(2
1)(v m M gs m M k FL --=--对车尾，脱钩后用动能定理得： 2022
1mv kmgs -=- 而21s s s -=∆，由于原来列车匀速，所以F =kMg ，以上方程解得m M ML s -=
∆。

五、针对训练
1．质量为m 的物体，在距地面h 高处以g /3 的加速度由静止竖直下落到地面.下列说法中正确的是B
A.物体的重力势能减少
31mgh B.物体的动能增加3
1mgh C.物体的机械能减少31mgh D.重力做功31mgh 2．质量为m 的小球用长度为L 的轻绳系住，在竖直平面内做圆周运动，运动过程中小球受空气阻力作用.已知小球经过最低点时轻绳受的拉力为7m g ，经过半周小球恰好能通过最高点，则此过程中小球克服空气阻力做的功为C
A.m g L /4
B.m g L /3
C.m g L /2
D.m g L
3．如图所示，木板长为l ，板的A 端放一质量为m 的小物块，物块与板间的动摩擦因数为μ。

开始时板水平，在绕O 点缓慢转过一个小角度θ的过程中，若物块始终保持与板相对静止。

对于这个过程中各力做功的情况，下列说法正确的是
( C )
A 、摩擦力对物块所做的功为mgl sin θ(1-cos θ)
B 、弹力对物块所做的功为mgl sin θcos θ
C 、木板对物块所做的功为mgl sin θ
D 、合力对物块所做的功为mgl cos θ
4．质量为m 的飞机以水平速度v 0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)，今测得当飞机在水平方向的位移为l 时，它的上升高度为h ，求：(1)飞机受到的升力大小;(2)从起飞到上升至h 高度的过程中升力所做的功及在高度h 处飞机的动能.
解析：（1）飞机水平速度不变
l =v 0t y 方向加速度恒定 h =21at 2 即得a =22l
h
由牛顿第二定律 F =mg +ma =mg (1+
22gl h v 02) (2)升力做功W =Fh =mgh (1+
22gl h v 02) 在h 处v t =at =l
hv ah 022= E k =21m (v 02+v t 2) =21mv 02(1+22
4l
h )
5．如图所示，质量m =0.5kg 的小球从距地面高H =5m 处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽半径R =0.4m 。

小球到达槽最低点时速率为10m/s ，并继续沿槽壁运动直到从槽右端边缘飞出……，如此反复几次，设摩擦力恒定不变，求：（设小球与槽壁相碰时不损失能量）
（1）小球第一次离槽上升的高度h ；
（2）小球最多能飞出槽外的次数（取g =10m/s 2）。

解析：（1）小球落至槽底部的整个过程中，由动能定理得
221)(mv W R H mg f =
-+ 得22
1)(2=-+=mv R H mg W f J 由对称性知小球从槽底到槽左端口摩擦力的功也为2=f W J ，则小球第一次离槽上升的高度h ，由22
1)(mv W R h mg f -=-+-得mg mgR W mv h f --=221＝4.2m （2）设小球飞出槽外n 次，则由动能定理得
02≥⋅-f W n mgH ∴25.64252==≤
f W mgH n 即小球最多能飞出槽外6次。

第3单元 机械能守恒定律
一、机械能守恒定律
1、 条件 ⑴在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

（和只受到重力不同） ⑵只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能相互转化，机械能的总量保持不变。

(3) 其它力的总功为零,机械能守恒（举例：木块压缩弹簧）
2、对机械能守恒定律的理解：
①“守恒”是时时刻刻都相等。

② “守恒”是“进出相等” ③要分清“谁”、“什么时候”守恒 ④、是否守恒与系统的选择有关 ⑤、⑴机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。

通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。

另外小球的动能中所用的v ，也是相对于地面的速度。

3、机械能守恒定律的各种表达形式
⑴初状态 = 末状态 ⑵ 增加量 = 减少量 用⑴时，需要规定重力势能的参考平面。

用⑵时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。

尤其是用ΔE 增=ΔE 减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。

4、解题步骤
⑴确定研究对象和研究过程。

⑵判断机械能是否守恒。

⑶选定一种表达式，列式求解。

5、动能定理与机械能守恒的联系
1、 动能定理适用于任何物体（质点），机械能守恒定律适用于系统
2、 动能定理没有条件，机械能守恒定理有条件限制
3、 动能定理有时可改写成守恒定律
二、机械能守恒定律的综合应用
例1、如图所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴。

AO 、BO 的长分别为2L 和L 。

开始时直角尺的AO 部分处于
水平位置而B 在O 的正下方。

让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A 到达
最低点时，A 小球的速度大小v ；⑵ B 球能上升的最大高度h ；⑶开始转动后B
球可能达到的最大速度v m 。

解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介
质阻力，所以该系统的机械能守恒。

⑴过程中A 的重力势能减少， A 、B 的动能和B 的重力势能增加，A 的即时速度总是B 的2倍。

222321221322⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+⋅=⋅v m v m L mg L mg ，解得11
8gL v = ⑵B 球不可能到达O 的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA 竖直位置向左偏了α角。

2mg ∙2L cos α=3mg ∙L （1+sin α），此式可化简为4cos α-3sin α=3，解得sin （53°-α）=sin37°，α=16°
⑶B 球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W G 。

设OA 从开始转过θ角时B 球速度最大，
()223212221v m v m ⋅⋅+⋅⋅=2mg ∙2L sin θ-3mg ∙L （1-cos θ）
=mgL （4sin θ+3cos θ-3）≤2mg ∙L ，解得11
4gL v m
=
例2、如图所示，半径为R 的光滑半圆上有两个小球
B A 、，质量分别为M m 和，由细线挂着，今由静
止开始无初速度自由释放，求小球A 升至最高点C 时B A 、两球的速度？
解析：A 球沿半圆弧运动，绳长不变，B A 、两球通过的路程相等，
A 上升的高度为R h =；
B 球下降的高度为2
42R R H ππ==；对于系统，由机械能守恒定律得：K P E E ∆=∆- ；
2)(2
12v m M mgR R Mg E P +=+-=∆∴π m M mgR RMg v c +-=∴2π
例3、如图所示，均匀铁链长为L ，平放在距离地面高为L 2的光滑水平面上，其长度的5
1悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？ 解：选取地面为零势能面：
2212)102(51254mv L mg L L mg L mg +=-+ 得：gL v 7451=
v 1
⑴
⑵ ⑶
例4、如图所示，粗细均匀的U 形管内装有总长为4L 的水。

开始时阀门K 闭合，左右支管内水面高度差为L 。

打开阀门K 后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的
内部横截面很小，摩擦忽略不计） 解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。

从初始状态
到左右支管水面相平为止，相当于有长L /2的水柱由左管移到右管。

系统
的重力势能减少，动能增加。

该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高
L /2的水柱降低L /2重力势能的减少。

不妨设水柱总质量为8m ，则
28212v m L mg ⋅⋅=⋅，得8
gL v =。

点评：需要注意的是研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平
时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。

例5、如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。

列车全长为L ，圆形轨道半径为R ，（R 远大于一节车厢的高度h 和长度l ，但L >2πR ）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。

试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v 0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？
解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度
最小，设此时速度为v ，游乐车的质量为m ，则据机械能守恒定律得：2202
1221mv gR L m R mv +=π 要游乐车能通过圆形轨道，则必有v >0，所以有L g
R v π20>
例6、小球在外力作用下，由静止开始从A 点出发做匀加速直线运动，
到B 点时消除外力。

然后，小球冲上竖直平面内半径为R 的光滑半圆
环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C 后抛出，最后落回
到原来的出发点A 处，如图所示，试求小球在AB 段运动的加速度为多
大？
解析：要题的物理过程可分三段：从A 到孤匀加速直线运动过程；
从B 沿圆环运动到C 的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C 回到A 的平抛运动。

根据题意，在C 点时，满足①
从B 到C 过程，由机械能守恒定律得②
由①、②式得 从C 回到A 过程，满足③ 水平位移s =vt ，④ 由③、④式可得s =2R
从A 到B 过程，满足⑤ ∴
例7、如图所示，半径分别为R 和r 的甲、乙两个光滑的圆形轨道
安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD 相通，一小
球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD 段，又
滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。

若小球在两圆轨道的最高点对轨
道压力都恰好为零，试求水平CD 段的长度。

解析：（1）小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球
滑过C 点时的速度为，通过甲环最高点速度为v ′，根据小球
对最高点压力为零，由圆周运动公式有①
R
v m mg
2
=2221212B mv mv R mg -=
-gR v B 5=2212gt R =gR v =2
2B v as =g a 45=R v m m g 2
'=。