等差数列等比数列单元测试题

选择题（40分）
（1） 4
1,31
,21,1--的通项公式表达正确的是（ ）
A 、n 1
B 、n
1
-C 、n n 1)1(+-D 、n n )1(- （2）已知数列｛n a ｝中，)1(14,2
111>+==-n a a a n n ，则=4a （ ）
A 、51
B 、52
C 、53
D 、54
（3）求等差数列8，5，2 的第20项为（ ）
A 、48-
B 、49-
C 、50-
D 、51-
（4）在等差数列中已知15,771=-=a a 求公差=d （ ）
A 、4
B 、5
C 、11
D 、12
（5）在等差数列中158=S ,2216=S ，则=24S （ ）
A 、29
B 、30
C 、21
D 、22
（6）在等比数列中1253=a ，251=a ，则公比=q （ ）
A 、5
B 、3
C 、5
D 、6
（7）等比数列中7.21-=a ，90
1
,31
=-=n a q 则n S =( ) A 、4589-
B 、4590-
C 、4591-
D 、45
92
-
(8)若一个等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则前15项和为（ ）
A 、90
B 、100
C 、160
D 、210
（9）若b a >且0<c ，则下列关系正确的是（ ）
A 、bc ac >
B 、bc ac ≥
C 、bc ac <
D 、bc ac ≤
（10）0>x ，x 取（ ）值时4x+x
9有最（ ）值。

A 、6，最大
B 、6最小
C 、23，最大
D 、2
3
，最小
填空题（20分）
（11）625+和625-的等差中项为（ ）5和9等比中项为（ ） （12）写出通项公式 0,5,0,5（ ） 5555,555,55,5（ ）
2
2221674,853,432,211-+-+
（ ） （13）比较大小。

2)3(-x ( ) )4)(2(--x x
( 14)在等比数列中2
9,2
3
33==S a ，=1a （ ）=q （ ）
（15）若把288写成两个正数的形式，则他们分别为何值时他们的积为最大并写出该最大值（ ） 这两个数分别为（ ）（ ）
解答题（40分）
（16）求前N 项和。

)532()534()532(21n n ---⨯-++⨯-+⨯- =？ （17）求解集（1）322-<+-x x （2）04232≥++x x
（3）0122≤+-x x （4）02632≤+-x x
（18）求y x z +=在下列区间上的最大值和最小值
等差数列精选题目
----2017年10月
一．基本量法
1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若54510S a =-，则数列{}n a 的公差为_______.
2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，611a =，则7S =_________.
3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322312S S -=，则数列{}n a 的公差为______.
4. 在等差数列{}n a 中，11a =，23233a a +=，则44a =_________.
5. 在数列{}n a 中，23n a n =+，前n 项和2n S an bn c =++，n N *
∈，其中,,a b c 为常数，
则a b c -+=_________.
6. 在等差数列{}n a 中，540S =，2519a a +=，则10a =________.
7．在等差数列{}n a ，{}n b 中，若117a b +=，5535a b +=，则33a b +=_________. 8. 在等差数列{}n a 中，公差为正数，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++
=_________.
9. 在等差数列{}n a 中，若357911200a a a a a ++++=，则5342a a -=_________.
10. 在等差数列{}n a 中，若7116a a ⋅=，4145a a +=，则2010a a -=________. 11. 在等差数列{}n a 中，若159a a a π++=，则28cos()a a +的值为_________.
12. 在1和81之间插入3个实数，使它们与这两个数组成等差数列，则这个等差数列的公 差为_________.
13. 若m n ≠，两个等差数列12,,,m a a n 与123,,,,m b b b n 的公差分别为12,d d ，则1
2
d d 的值 为_________.
14. 在等差数列{}n a 中，2589a a a ++=，那么关于x 的方程：2
46()100x a a x +++=的
实根情况为_________.
二．性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差中项）
1. 已知在等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为__________.
2. 已知在等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a =__________.
3. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510a =，且678312S a S +=+，则公差为_____.
4. 已知在等差数列{}n a 中，1358102+)3()36a a a a a +++=（
，则6a =__________. 5. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若972S =，则249a a a ++= __________. 6. 已知在等差数列{}n a 中，4681080a a a a +++=，则113a a +=__________. 7. 已知在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差不为0，若1237k a a a a a =++++，
则k =__________.
8. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1358102+)3()36a a a a a +++=（
，则11S =______. 9. 已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，2
68722a a a +=，则7a =__________.
10. 已知在等差数列{}n a 中，公差不为0，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则m 的 值为__________.
11. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，24,a a 是方程2
20x x --=的两个根，则5S =___.
12. 已知在等差数列{}n a 中，51012a a +=，则793a a +=__________. 13. 已知在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则13S =__________.
14. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+，若AB AC λ=，点O 为
直线BC 外一点，则12017a a +=__________.
三．性质：21(21)n n S n a -=-；2112()()n n n n S n a a n a a +=+=+
1. 在等差数列{}n a 中，已知37,a a 是函数2
()43f x x x =-+的两个零点，则数列{}n a 的 前9项和为_______.
2. 在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =__________.
3. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4910a a +=，则12S =__________.
4. 已知函数()f x 的图像关于1x =-对称，且()f x 在(1,)-+∞上单调，若等差数列{}n a 的 公差不为0，且5051()()f a f a =，则数列{}n a 的前100项和为_______.
5. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1378S =，71210a a +=，则17a =______.
6. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，611a =，则7S =______.
7. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若7825a a -=，则11S =______.
8. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若8320S S -=，则11S =______.
9. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，741
42
a a =
+，则19S =______. 10. 若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =______.
11. 在等差数列{}n a 中，已知13539a a a ++=，57927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项 和为_______.
12. 在各项不为零的等差数列{}n a 中，若2
110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=____.
四．性质：232,,,
n n n n n S S S S S --成等差数列
1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
3613S S =，则912
S
S 的值为________. 2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则6S =________. 3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58S =，1020S =，则15S =________.
4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=______.
5. 在等差数列{}n a 中，1233a a a ++=，282930165a a a ++=，则此数列前30项和等 于________.
6. 在等差数列{}n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数
n =________.
7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6123
10S S =，则39
S S 的值为________.
五．前n 项和n S 的最值问题
1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，
n =_______.
2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若27a =，686a a +=-，则当n S 取最大值时，
n =________.
3. 已知等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，数列{}n a 的前n 项和最大.
4. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2
120dx a x +≥的解集为[0,9]，则使数
列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值为________.
5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S =，点3(3,)A a 与点5(5,)B a 都在斜率为
2-的直线l 上，则使n S 取得最大值的n 的值为________.
6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若120S >，130S <，则使0n a <成立的正整数n 的最小值是________.
7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则n S 的最大值为_______. 8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且67S S <，78S S >，则下列命题中正确的序号 为________.
（1）此数列的公差0d <； （2）9S 一定小于6S ； （3）7a 是各项中最大的一项； （4）7S 一定是n S 中的最大值 9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则15
12
12
15
,,,
S S S a a a 中最 大的项为________. 10. 已知等差数列{}n a 满足：11
10
1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取到最小正 值时，n =________.
11. 已知等差数列{}n a 满足91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大 值，那么当n S 取到最小正值时，n =________.
12. 已知等差数列{}n a 满足首项10a >，201620170a a +>，201620170a a ⋅<，则使前n 项和
0n S >成立的最大正整数n 的值为________.
13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25
24
1a a <-，则当其前n 项和0n S >时n 的最大 值是________.
六．两等差数列的前n 项和之比
1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5359a a =，则95S
S =_________. 2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
87135a a =，则1513
S
S =_________. 3. 已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则7
4
S S =_____. 4. 已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若231n n S n T n =+，则55a b =______. 5. 已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若2331n n S n T n +=-，则77a b =______. 6. 已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若7453n n S n T n +=+，则使得n n a b 为整 数的正整数n 的个数为_________.
7. 已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若121n n S n T n +=-，则3719
a a
b b +=+____. 8. 已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若
231n n S n T n =+，则823746
a a
b b b b +++ =_________.
9. 等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3245
n n S n T n +=+，设点A 是直线BC 外 一点，点P 是直线BC 上一点，且13
3
a a AP AB AC
b λ+=+，则实数λ的值为_______.
七．性质：数列{
}n
S n
为等差数列 1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12017a =-，
20132011
220132011S S -=，则2017S =___. 2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =-，97297S S
-=，则10S =_______.
3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若201616100201616
S S
-=，则d =______.
4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20162016S =，若2016162000201616
S S
-=，
则1a =_______.
5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44S =-，66S =，则5S =________.
6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20142014S a =，20152015S b =，（,a b 为常数）， 则2016S =_______.
7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若11a d ==，则
8
n S n
+的最小值为_____. 8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若355,9a a ==，则29
n n
S a +的最小值为_______.
9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=+，
则60()1
n S f n n +=+ ()n N *
∈的最小值为_______.
八．S 奇，S 偶相关性质
1. 在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为175，所有偶数项的和为150，则这个数 列共有_________项.
2. 公差为2的等差数列{}n a 的前20项中，偶数项和与奇数项和的差为_________.
3. 若等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25， 则这个数列的项数为_________.
4. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为______.
5. 一个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项
大
21
2
，则最后一项为_________. 6. 已知等差数列{}n a 的前10项中，项数为奇数的各项之和为125，项数为偶数的各项之和
为15，则首项1a =_________，公差d =_________. 7. 等差数列{}n a 中，公差为
1
2
，且1359960a a a a ++++=，则246100a a a a ++++
=________.
九．对称设项问题
1. 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为
85
9
，则这5个数为_________. 2. 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，则这四个数为________. 3. 设数列{}n a 是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则1a =_____. 4. 若一个直角三角形的三边形恰好组成一个公差为2的等差数列，则该三角形的面积是___. 5. 已知三角形的三边长是公差为2
的等差数列，且最大角的正弦值为2
，则这个三角形 的周长是__________.
6. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所 得与下三人等，问各得几何.”。

其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两 人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人
各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位），这个问题中，甲所得为__________钱. 7. 已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数 列共有___________项.
十．裂项相消法求和
1. 数列{}n a 的通项公式为2
2
n a n n
=+，则其前n 项和n S = ________. 2. 已知数列1，112+，1123++，，1
123n
++++，，则其前n 项和n S =_____.
3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
44n S an n a =++-，记数列1{}n
S 的前n 项和
为n T ，则10T =_________. 4. 数列{}n a 的通项公式为2
1
2n a n n
=
+，则其前n 项和n S =______. 5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列1
1
{}n n a a +的前100项和 为__________.
6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，30S =，55S =，则数列2121
1
{}n n a a -+的前2016项
和为_________.
7. 数列{}n a 满足11a =，对任意的n N *
∈都有11n n a a a n +=++，则
1
2016
11a a ++=____.
8. 设数列{}n a 满足对任意的n N *
∈，(,)n n P n a 满足1(1
,2)n n P P +=，且124a a +=，则数列 1
1
{
}n n a a +的前n 项和n S 为__________. 9. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且点1(,)n n n P a a +()n N *
∈在直线10x y -+=上， 则
123
111
1
n
S S S S ++++
=__________. 10. 已知函数2
()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行， 若数列1
{
}()
f n 的前n 项和为n S ，则2014S 的值为_________. 11. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，公差为d ，若直线122y a x m =+与 圆2
2
(2)1x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1
{}n
S 的前10项和 为_________.
12. 定义
12n
n p p p ++
+为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项
和的“均倒数”为
1
31n +，又26
n n a b +=，则数列11{
}n n b b +的前9项和为_________. 13. 已知数列{}n a 满足：23
1232222n n a a a a n +++
+=()n N *∈，则数列
221
1
{
}log log n n a a +⋅的前n 项和为n S =__________.
14. 已知函数()f x x α
=的图象过点(4,2)，令1
(1)()
n a f n f n =++()n N *∈，记{}n a 的
前n 项和为n S ，则2016S = __________.
十一．倒序相加法求和
1. 222
22222
2222123101019283
110
++++=++++__________. 2. 2
2
2
2sin 1sin 2sin 3sin 90+++
+=__________.
3. 已知等差数列{}n a 的前4项之和为26，末4项之和为110，所有项之和187n S =， 则n =__________.
4. 已知4()24x x
f x =+，则122016
(0)()()()(1)201720172017f f f f f +++++=_____. 5. 已知1()1f x x =+，则11
(1)(2)(2016)()()22016f f f f f ++++++=_______.
6. 已知1
()24
x
f x =+，111222(,),(,)P x y P x y 是函数()y f x =图象上的两点，且线段12P P 中点P 的横坐标是1
2
（1）求证：点P 的纵坐标是定值；
（2）若数列{}n a 的通项公式是()n n
a f m
=(,1,2,,)m N n m ∈=，求数列{}n a 的前
m 项和m S
十二．优秀传统文化
1. 我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人 与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱， 问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给三钱，第二人给四钱，第三人给五钱， 以此类推，每人比前一人多给一钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得 100钱，问有多少人？则题中的人数是________.
2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九
日所织尺数为_________.
3. 《张邱建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，
同类结果在三百多年后的印度才首次出现，书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布3尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为_____.
4. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，全书收集了246个问题及解法，
其中一个问题为“现在一根据九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各位多少？”则该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为________.
5. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：“今有女不
善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每一天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案为_________.
6. 我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中
包含许多与9相关的设计，例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石
板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，
从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板
总数是________.
7. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”。

“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中能
a，则此数列的项数为_____. 被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}
n
8. 将等差数列1，4，7，，按一定的规则排成了如图所示的三
角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3
个数是________.
9. 把数列依次按第一个括号一个数，按第二个括号两个数，按第三个括号三个数，按第四个 括号一个数，
，循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23）， （25），，则第50个括号内各数之和为________.
10. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，数列中的一系列数字常被人们 称之为神奇数，具体数列为：1，1，2，3，5，8，，即从该数列的第三项数字开始， 每个数字等于前两个相邻数字之和，已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（1）7S =_____；（2）若2017a m =，则2015S =_____.（用m 表示）
等差数列参考答案
一．1. 2； 2. 49； 3. 4； 4. 1； 5. 3-； 6. 29； 7. 21； 8. 105； 9. 80；
10. 52±； 11. 12-； 12. 20； 13. 43
15. 无实根 二．1．2； 2. 15； 3. 2； 4. 3； 5. 24； 6. 40； 7. 22； 8. 33； 9. 4； 10. 8；
11.
52
； 12. 24； 13. 13； 14. 0 三．1. 18； 2. 75； 3. 60； 4. 100-； 5. 2； 6. 49； 7. 55； 8. 44； 9. 152；
10. 17； 11. 99； 12. 2-
四．1. 35； 2. 24； 3. 36； 4. 45； 5. 840； 6. 10； 7. 16
； 五．1. 6； 2. 5； 3. 8； 4. 5； 5. 6； 6. 7； 7. 8S ； 8. (1)(2)(4)； 9.
99S a ； 10. 19； 11. 19； 12. 4032； 13. 47
六．1. 1； 2. 3； 3. 7； 4.
914； 5. 2938； 6. 5； 7. 1017； 8. 914； 9. 325
七．1. 2017-； 2. 0； 3. 110
； 4. 2014-； 5. 0； 6. 40322016b a -； 7. 92； 8. 6511
； 9. 292 八．1. 13； 2. 20； 3. 10； 4. 3； 5. 12； 6. 113；22-； 7. 85 九．1. 1157,,1,,
3333-或7511,,1,,3333
-； 2. 2,5,8,11或11,8,5,2； 3. 7； 4. 24； 5. 15； 6. 43
； 7. 6 十．1. 21n n +； 2. 21n n +； 3. 522； 4. 1311()2212n n --++ ； 5. 100101
； 6. 20164031-； 7. 40322017； 8. 21n n +； 9. 21n n +； 10. 20142015； 11. 1011
； 12. 910； 13. 1
n n +；
14. 1 十一．1. 5； 2. 912； 3. 11； 4. 1009； 5. 40312； 6. (1) 定值14；(2) 3112
m - 十二．1. 195； 2. 9； 3. 2029； 4. 176； 5. 30； 6. 405； 7. 672； 8. 577； 9. 392； 10. (1) 33；(2) 1m -。