人教B版新课标高中数学必修一教案《基本不等式》

《基本不等式Jab色丰（第1课时）》教学设计

“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌

握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不

等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛•同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良

好的思维品质.

1. 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2. 通过实例探究抽象基本不等式；

3. 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.

♦教学重难点

-------------- -- --------------- J

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式.ab 的证明过程;

2 【教学难点】

基本不等式■. ab -―b等号成立条件

2

1•课题导入

基本不等式，ab 乞上的几何背景：

2

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽

的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图

案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.

【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，来源于生活.

2 •讲授新课

1 •探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形.设直角三

角形的两条直角边长为a, b那么正方形的边长为「a2b2.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为a2 b2.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我

们就得到了一个不等式：a2 b2 2ab .

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

2 2

a b 2ab.

2.得到结论:

般的，如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时取""号)

3. 思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为a2 b2 2ab (a b)2

2 2

当a b时,(a b) 0,当 a b时,(a b) 0, 所以，(a b)20，即(a2 b2)

2ab.

a b

4. (1)从几何图形的面积关系认识基本不等式

,ab

2

特别的，如果a>0, b>0，我们用分别代替a、b，可得a b 2. ab ,

通常我们把上式写作：ab ^-b(a>0,b>0)

2

(2)从不等式的性质推导基本不等式、ab 乞上

2

2

显然，(4)是成立的.当且仅当 a=b 时，(4)中的等号成立. (3)理解基本不等式•一不 的几何意义

探究:

用分析法证明： 要证

a b ab

2

只要证

a+b

要证(2),只要证

a+b-

要证(3),只要证 (

-)2

(1) (2)

(3) ⑷

2

在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是AB 上的一点，AC=a , BC=b .过点 作垂直于 AB 的弦DE ，连接 AD 、BD .你能利用这个图形得出基本不等式

ab

〒的几何解释吗?

易证 R 让 A C D S R t △ D C B ，那么 C D 2= C A • C B 即 C D = ab .

这个圆的半径为

，显然，它大于或等于 CD ，即.. ab ，其中当且仅当点

2 2

C 与圆心重合，即a = b 时，等号成立.

_ a b

因此：基本不等式

几何意义是“半径不小于半弦”

2

评述：1•如果把

看作是正数a 、b 的等差中项，.ab 看作是正数a 、b 的等比中

2

项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.

在数学中，我们称 为a 、b 的算术平均数，称.ab 为a 、b 的几何平均数.

本

2

节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，

锻炼了学生的自主研究能力和

研究问题的逻辑分析能力.

［补充例题］

例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1) 1

> 2;

x y

(2) (x + y ) (x 2 + y 2) ( x 3 + y 3)>8 x 3y 3.

分析：在运用定理： 丄上 ,ab 时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把 2 握好每条性质成立的条件)，进行变形.

解：T x , y 都是正数

/• — >0, — >0, x 2>0, y 2 >0, x 3>0, y 3> 0

y x

/ 八 x v o i'x y 口口 x v (1)

2 y = 2 即

> 2.

y x \ y x y x

(2)

x + y >2 . xy >0 x 2+ y 2>2 x y 2 >0 x 3+

y 3>2 . x 3y 3