导数常考题型总结

变化率与导数、导数的运算

考纲要求

1.导数概念及其几何意义

(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 2．导数的运算

(1)能根据导数的定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ ，y ＝ 的导数． (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数〔仅限于形如f (ax ＋b )〕的导数． (3)会使用导数公式表．

1．平均变化率

函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1.

2．导数的概念

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0

Δf

Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)

或y ′|x ＝x 0即f ′(x 0)＝

lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

.

3．导数的几何意义

函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝ lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

＝f ′(x 0)．

4．导函数(导数)

当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)，y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

.

5．几种常见函数的导数

(1)c ′＝0(c 为常数)，(x n )′＝nx n －

1(n ∈Z )

(2)(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x

(3)(ln x )′＝1x ，(log a x )′＝1

x log a e

(4)(e x )′＝e x ，(a x )′＝a x ln a 6．函数的和、差、积、商的导数 (u ±v )′＝u ′±v ′，(u v )′＝u ′v ＋u v ′ ⎝⎛⎭

⎫u v ′＝u ′v －u v ′v 2，(cu )′＝cu ′(c 为常数)． 7．复合函数的导数

1．f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.10

3

解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，a ＝103

.

2．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π

2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关

系为( )

A ．k 1>k 2

B ．k 1<k 2

C ．k 1＝k 2

D ．不确定 解析：∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ， k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π

2

＝0，∴k 1>k 2.

3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x

解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：B

5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，¡­，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2008(x )＝__________.

解析：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x

∴f n (x )是以4为周期的周期函数，2008被4整除，∴f 2008(x )＝f 0(x )＝sin x 答案：sin x

热点之一 利用导数的定义求函数的导数

4．已知一个物体的运动方程是s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬间速度是________． 解析：s ′＝－1＋2t ，∴s ′|t ＝3＝－1＋6＝5. 答案：5米/秒

根据导数的定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx ；

(3)得导数f ′(x 0)＝lim Δx →

Δy

Δx

.简记作：一差、二比、三极限． [例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2；(2)y ＝4

x

2.

[课堂记录] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－x 2

Δx ＝2x ＋Δx ，

所以y ′＝lim Δx →0

Δy

Δx

＝lim Δx →0

(2x ＋Δx )＝2x . (2)Δy ＝4(x ＋Δx )2－4

x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2

(x ＋Δx )2， Δy

Δx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2

， ∴lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0

⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 即时训练 用导数的定义求函数y ＝

1

x

在x ＝1处的导数． 解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝

1

1＋Δx

－1 ＝

1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－1－Δx

(1＋1＋Δx )1＋Δx

＝

－Δx

(1＋1＋Δx )1＋Δx ， ∴

Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx

. ∴f ′(1)＝lim Δx →0

Δy Δx ＝－1

2.