(浙江专用)中考数学总复习 第八章 数学思想方法 8.2 数形结合思想(试卷部分)
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4.如图,函数y=mx-4m(m<0)的图象分别交x轴、y轴于点M,N,线段MN上A,B两点在x轴的射影分 别为A1,B1,若OA1+OB1>4,则△OAA1的面积S1与△OBB1的面积S2的大小关系是 ( )
A.S1>S2 C.S1<S2
B.S1=S2 D.不确定
答案
A
设A(a,am-4m),B(b,bm-4m),结合图象知,S1=
由图象得当x=2时,函数y= 1 x2的最大值为y=1 ×22=2.将y=2代入y=1 - 5x2+ x,得1 2=- 5 x2+ x,
2
2
33
33
解得x1=2,x2=3.
∴x的取值范围是2<x<3.
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解析 (1)在菱形OABC中,易知∠AOC=60°,∠AOQ=30°,
当t=2时,OM=2,∴PM=2 ,3QM= 2 ,∴3 PQ= .4 3
3
3
(2)当t≤4时,AN=PO=2OM=2t,t=4时,P点与C点重合,N到达B点,故点P,N在边BC上相遇.
设t秒时P与N重合,则(t-4)+2(t-4)=8,解得t= 2 0 .
248
,…2 1 n ,
形结合”的思想,计算 1 +1
24
1+
6
+…2 1 n+
=
的矩形彩色纸片(n为大于1的整数).请你用“数 .
答案
1
1- 2 n
解析 由正方形的边长为1,得正方形的面积为1,正方形减去未贴彩色纸片部分的面积即是已
贴彩色纸片部分的面积. 1 +1
24
1+
8
+…2 1 n+
=2 1 1n -
.
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7.(2018湖北黄冈,24,14分)如图,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C 在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度做匀 速运动,点N从A出发沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长的速度做匀速运动.过点M作直线MP 垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N 运动到原点O时,M和N两点同时停止运动. (1)当t=2时,求线段PQ的长; (2)求t为何值时,点P与N重合; (3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.
∴y= 1 AQ·PD=1 x(10-2x)·sin B.
2
2
由图象知,当x=4时,y= 4 ,∴1 ×4×(10-8)·sin4 B= .
32
3
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∴sin B= 1 ,∴y=1
11
x(10-2x)· =-
5
x2+
x.
3
2
33 3
(3)令 1 x2=-1 x52+ x,
2 33
解得x1=0(舍去),x2=2.
编辑课件
解析 (1)如图①,过点P作PD⊥AB于点D.
∵∠A=30°,PA=2x,∴PD=PA·sin 30°=2x1 · =x,
2
∴y= 1 AQ·PD=1 ax·x1 = ax2.
2
2
2
由图象得:
当x=1时,y= 1 ,则1 a·112= ,∴a=1.
22
2
(2)如图②,当点P在BC上时,PB=5×2-2x=10-2x, ∴PD=PB·sin B=(10-2x)·sin B,
1
1
2 a(am-4m),S2= 2
1
b(bm-4m),S1-S2=2
am(a-4)
- 1 bm(b-4)=1
2
2
m×(a2-4a-bBaidu Nhomakorabea+4b1 )=
2
m[(a+b)(a-b)-4(a-b1)]=
2
m(a-b)(a+b-4),∵OA1+OB1=a+b>4,m<0,
a<b,∴S1-S2=
1 2
m·(a-b)(a+b-4)>0,∴S1>S2.
2a
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2.若m、n(其中n<m)是关于x的一元二次方程1-(x-a)(x-b)=0的两个根,且b<a,则m,n,b,a的大小关 系是 ( ) A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.b<n<m<a D.n<b<a<m 答案 D ∵1-(x-a)(x-b)=0,∴1=(x-a)(x-b),设y1=1,y2=(x-a)(x-b). 画出图象,得n<b<a<m.
3
即t= 2 0 秒时,P与N重合.
3
(3)①当0≤t≤4时,PN=OA=8,且PN∥OA,PM= t3,
∴S△APN= 1 ×8×3 t=4 3 t.
2
②当4<t≤ 2 0 时,PN=8-3(t-4)=20-3t,
3
∴S△APN= 1 ×43 ×(20-3t)=40 3 -6 t3 .
2
③当 2 0 <t≤8时,PN=3(t-4)-8=3t-20,
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5.(2014绍兴,13)如图,已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P,则不等式x+b>ax+3的解集为 .
答案 x>1 解析 观察图象知,当x+b>ax+3时,x>1.
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6.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事非.”如图,在一个边长为1
的正方形纸板上,依次贴上面积为 1 ,1 1 ,
=32 -3 1 ×8×(123 - 3t)- 1 (t-4)( t3 -8 )-3 (1 12-t)×4 3
2
2
2
=- 3 t2+12 t3-56 . 3
2
4 3t(0 t 4),
综上,S与t的函数关系式为S=
4
0
36
6 3t 40
3
t
4
t
20 3
,
3
20 3
t
8
,
3 t2 12 3t 56 3 (8 t 12).
中考数学 (浙江专用)
第八章 数学思想方法
§8.2 数形结合思想
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好题精练
1.(2016烟台,11,3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②a+c>b;③2a +b>0.其中正确的有 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 答案 B 由题图可知,Δ=b2-4ac>0,即4ac<b2,所以①正确; 当x=-1时,y=a-b+c<0,即a+c<b,所以②错误; 因为对称轴x=- b >1,a<0,所以2a+b>0,所以③正确.故选B.
2
注:第一段函数的定义域写为0<t≤4,第二段函数的定义域写为4<t< 2 0 也可以
3
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8.(2017丽水,23,10分)如图1,在△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线A-C-B 运动,点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两 点同时停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组 成,如图2所示. (1)求a的值; (2)求图2中图象C2段的函数表达式; (3)当点P运动到线段BC上某一段时,△APQ的面积大于点P在线段AC上任意一点时△APQ的 面积,求x的取值范围.
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3.(2017凉山州,7,4分)小明和哥哥从家里出去买书,从家出来走了20分钟到一个离家1 000米的 书店,小明买了书后随即按原速返回.哥哥看了20分钟书后,用15分钟返回家.下面的图形中哪 一个表示哥哥离家时间与距离之间的关系 ( )
答案 D 根据题意,从20分钟到40分钟哥哥在书店里看书,离家的距离没有变化,是一条平行 于x轴的线段.
3
∴S△APN= 1
2
×43 ×(3t-20)=6 3 t-40 .3
④当8<t≤12时,ON=24-2t,N到OM的距离为12 -3 t,N3 到CP的距离为4 -(123 - t)3= t3- 3
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8 3,CP=t-4,BP=12-t,
∴S =S -S -S -S △APN 菱形OABC △AON △CPN △APB
4.如图,函数y=mx-4m(m<0)的图象分别交x轴、y轴于点M,N,线段MN上A,B两点在x轴的射影分 别为A1,B1,若OA1+OB1>4,则△OAA1的面积S1与△OBB1的面积S2的大小关系是 ( )
A.S1>S2 C.S1<S2
B.S1=S2 D.不确定
答案
A
设A(a,am-4m),B(b,bm-4m),结合图象知,S1=
由图象得当x=2时,函数y= 1 x2的最大值为y=1 ×22=2.将y=2代入y=1 - 5x2+ x,得1 2=- 5 x2+ x,
2
2
33
33
解得x1=2,x2=3.
∴x的取值范围是2<x<3.
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解析 (1)在菱形OABC中,易知∠AOC=60°,∠AOQ=30°,
当t=2时,OM=2,∴PM=2 ,3QM= 2 ,∴3 PQ= .4 3
3
3
(2)当t≤4时,AN=PO=2OM=2t,t=4时,P点与C点重合,N到达B点,故点P,N在边BC上相遇.
设t秒时P与N重合,则(t-4)+2(t-4)=8,解得t= 2 0 .
248
,…2 1 n ,
形结合”的思想,计算 1 +1
24
1+
6
+…2 1 n+
=
的矩形彩色纸片(n为大于1的整数).请你用“数 .
答案
1
1- 2 n
解析 由正方形的边长为1,得正方形的面积为1,正方形减去未贴彩色纸片部分的面积即是已
贴彩色纸片部分的面积. 1 +1
24
1+
8
+…2 1 n+
=2 1 1n -
.
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7.(2018湖北黄冈,24,14分)如图,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C 在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度做匀 速运动,点N从A出发沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长的速度做匀速运动.过点M作直线MP 垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N 运动到原点O时,M和N两点同时停止运动. (1)当t=2时,求线段PQ的长; (2)求t为何值时,点P与N重合; (3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.
∴y= 1 AQ·PD=1 x(10-2x)·sin B.
2
2
由图象知,当x=4时,y= 4 ,∴1 ×4×(10-8)·sin4 B= .
32
3
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∴sin B= 1 ,∴y=1
11
x(10-2x)· =-
5
x2+
x.
3
2
33 3
(3)令 1 x2=-1 x52+ x,
2 33
解得x1=0(舍去),x2=2.
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解析 (1)如图①,过点P作PD⊥AB于点D.
∵∠A=30°,PA=2x,∴PD=PA·sin 30°=2x1 · =x,
2
∴y= 1 AQ·PD=1 ax·x1 = ax2.
2
2
2
由图象得:
当x=1时,y= 1 ,则1 a·112= ,∴a=1.
22
2
(2)如图②,当点P在BC上时,PB=5×2-2x=10-2x, ∴PD=PB·sin B=(10-2x)·sin B,
1
1
2 a(am-4m),S2= 2
1
b(bm-4m),S1-S2=2
am(a-4)
- 1 bm(b-4)=1
2
2
m×(a2-4a-bBaidu Nhomakorabea+4b1 )=
2
m[(a+b)(a-b)-4(a-b1)]=
2
m(a-b)(a+b-4),∵OA1+OB1=a+b>4,m<0,
a<b,∴S1-S2=
1 2
m·(a-b)(a+b-4)>0,∴S1>S2.
2a
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2.若m、n(其中n<m)是关于x的一元二次方程1-(x-a)(x-b)=0的两个根,且b<a,则m,n,b,a的大小关 系是 ( ) A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.b<n<m<a D.n<b<a<m 答案 D ∵1-(x-a)(x-b)=0,∴1=(x-a)(x-b),设y1=1,y2=(x-a)(x-b). 画出图象,得n<b<a<m.
3
即t= 2 0 秒时,P与N重合.
3
(3)①当0≤t≤4时,PN=OA=8,且PN∥OA,PM= t3,
∴S△APN= 1 ×8×3 t=4 3 t.
2
②当4<t≤ 2 0 时,PN=8-3(t-4)=20-3t,
3
∴S△APN= 1 ×43 ×(20-3t)=40 3 -6 t3 .
2
③当 2 0 <t≤8时,PN=3(t-4)-8=3t-20,
编辑课件
5.(2014绍兴,13)如图,已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P,则不等式x+b>ax+3的解集为 .
答案 x>1 解析 观察图象知,当x+b>ax+3时,x>1.
编辑课件
6.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事非.”如图,在一个边长为1
的正方形纸板上,依次贴上面积为 1 ,1 1 ,
=32 -3 1 ×8×(123 - 3t)- 1 (t-4)( t3 -8 )-3 (1 12-t)×4 3
2
2
2
=- 3 t2+12 t3-56 . 3
2
4 3t(0 t 4),
综上,S与t的函数关系式为S=
4
0
36
6 3t 40
3
t
4
t
20 3
,
3
20 3
t
8
,
3 t2 12 3t 56 3 (8 t 12).
中考数学 (浙江专用)
第八章 数学思想方法
§8.2 数形结合思想
编辑课件
好题精练
1.(2016烟台,11,3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②a+c>b;③2a +b>0.其中正确的有 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 答案 B 由题图可知,Δ=b2-4ac>0,即4ac<b2,所以①正确; 当x=-1时,y=a-b+c<0,即a+c<b,所以②错误; 因为对称轴x=- b >1,a<0,所以2a+b>0,所以③正确.故选B.
2
注:第一段函数的定义域写为0<t≤4,第二段函数的定义域写为4<t< 2 0 也可以
3
编辑课件
8.(2017丽水,23,10分)如图1,在△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线A-C-B 运动,点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两 点同时停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组 成,如图2所示. (1)求a的值; (2)求图2中图象C2段的函数表达式; (3)当点P运动到线段BC上某一段时,△APQ的面积大于点P在线段AC上任意一点时△APQ的 面积,求x的取值范围.
编辑课件
3.(2017凉山州,7,4分)小明和哥哥从家里出去买书,从家出来走了20分钟到一个离家1 000米的 书店,小明买了书后随即按原速返回.哥哥看了20分钟书后,用15分钟返回家.下面的图形中哪 一个表示哥哥离家时间与距离之间的关系 ( )
答案 D 根据题意,从20分钟到40分钟哥哥在书店里看书,离家的距离没有变化,是一条平行 于x轴的线段.
3
∴S△APN= 1
2
×43 ×(3t-20)=6 3 t-40 .3
④当8<t≤12时,ON=24-2t,N到OM的距离为12 -3 t,N3 到CP的距离为4 -(123 - t)3= t3- 3
编辑课件
8 3,CP=t-4,BP=12-t,
∴S =S -S -S -S △APN 菱形OABC △AON △CPN △APB