《非参数统计分析》(1-8章)教案.doc

.引言
一般统计分析分为参数分析与非参数分析，参数分析是指，知道总体分布，但其中几个参数的值未知，用统计量来估计参数值，但大部分情况，总体是未知的，这时候就不能用参数分析，如果强行用可能会出现错误的结果。

例如：分析下面的供应商的产品是否合格？
合格产品的标准长度为（8.5±0.1），随即抽取n=100件零件，数据如下：
表1.1
8.503 8.508 8.498 8.347 8.494 8.500 8.498 8.500 8.502 8.501 8.491 8.504 8.502 8.503 8.501 8.505 8.492 8.497 8.150 8.496 8.501 8.489 8.506 8.497 8.505 8.501 8.500 8.499 8.490 8.493 8.501 8.497 8.501 8.498 8.503 8.505 8.510 8.499 8.489 8.496 8.500 8.503 8.497 8.504 8.503 8.506 8.497 8.507 8.346 8.310 8.489 8.499 8.492 8.497 8.506 8.502 8.505 8.489 8.503 8.492 8.501 8.499 8.804 8.505 8.504 8.499 8.506 8.499 8.493 8.494 8.490 8.505 8.511 8.502 8.505 8.503 8.782 8.502 8.509 8.499 8.498 8.493 8.897 8.504 8.493 8.494 7.780 8.509 8.499 8.503 8.494 8.511 8.501 8.497 8.493 8.501 8.495 8.461 8.504 8.691
经计算，平均长度为cm x 4958.8=，非常接近中心位置8.5cm ，样本标准差为()
1047.011
2
=--=
∑=n
i i
n x x s cm.一般产品的质量服从正态分布，),(~2δμN X 。

%
66)1047.04958.84.8()1047.04958.86.8()
4.8()6.8()6.84.8(≈-Φ--Φ=-Φ--Φ=≤≤σ
μσμX P
这说明产品有接近三分之一不合格，三分之二合格，所以需要更换供应厂 商，而用非参数分析却是另外一个结果。

以下是100个零件长度的分布表：
这说明有90%的零件长度在)2.05.8(
±cm 之间，有9%的零件不合格，所以工厂不需要换供应商。

例2 哪一个企业职工的工资高？ 表1.3两个企业职工的工资
显然，企业1职工的工资高，倘若假设企业1与企业2的职工工资分别服从正态分布),(),,(22σσb N a N ，则这两个企业职工的工资比较问题就可以转化为一个参数的假设检验问题，原假设为b a H =:0，备择假设为b a H >:0 则 ))11
(,(~2σn
m
b a N y x +-- 若0H 为真，则
)20()2(~11t n m t n
m S y x t w =-++
-=
其中])()([211
212
2∑∑==-+--+=
n
i i m i i w
y y x x n m S 拒绝域为：}325.1{)}20({90.0≥=≥t t t 检测值为：282.1=t
故不能拒绝原假设，认为两企业的工资水平无差异。

也可以用值-P 检验
由于1073.0)282.1)20((=≥t P
故不能拒绝原假设，认为两企业的工资水平无差异。

这里我们采用的显著性水平为0.1.
但这个统计结论与实际数据不相符合。

主要是因为假设工资服从正态分布，这个假设是错误的，用错误的假设结合参数分析自然得出的结论不可靠。

这时候有两种方法处理，一种更换其他分布的假设，二是用非参数数据的方法的分析。

非参数统计如同光谱抗生素，应用范围十分广泛。

参数统计与非参数统计针对不同的情况提出的统计方法，它们各有优缺点，互为补充。

第二章描述性统计
§2.1 表格法和图形法
表格法主要有列频数分布表和频率分布表
例2.1 某公司测试新灯丝的寿命，列表如下：
（1）找到最小值43，最大值116;
（2）将组数分为5~20组，最小值）
≈，分16组，组距为5
组距-
（最大值
表2.2 灯丝寿命的频率分布表
对应的直方图为：
§2.2 表格法和图形法
数值方法主要是用数值来表示数据的中心位置（或者平均大小）和离散程度等。

1 3 5 3 3 1 3
2
3 2
4 4 Λ
Λ
列1
平均 2.833333
标准误差0.34451
中位数 3
众数 3
标准差 1.193416
方差 1.424242
峰度-0.20317
偏度-0.00713
区域 4
最小值 1
最大值 5
求和34
观测数12
它的平均数，中位数，众数差不多大。

但大部分情况不是这样的，例如：§表2.3 某保险公司赔款样本数据频率分布表
平均数，中位数，众数分别为：1224,1000,600，这三者相差较大。

左峰的时候：众数≤中位数≤平均数，
右峰的时候：平均数≤中位数≤众数。

平均数容易受到异常值的影响，故不能很好地代表中心位。

例如某地农户收入增长了2.9%，但减收的农户却是60%，为了更好地反映中心位，所以很多情况采用%
α的切尾平均数。

人们熟知的去掉最大值与最小值的平均数也是切尾平均数。

§2.4 经济专业毕业生的月收入数据
毕业生月收入毕业生月收入
1 1850
2 1950
3 2050
4 1880
5 1750
6 1700
7 1890
8 2130
9 1940
10 2340
11 1920
12 1880
去掉最大值2340，最小值1700,的切尾平均数比总体平均数要小，它为1924，而总体平均数为1940.但中位数都一样，均为1905，中位数表现了稳定性。

因此我们不仅用平均数表示中心位置，有时候也用中位数描述数据的中心位置。

另外，众数也能用来描述数据的中心位置，尤其是定性数据的中心位置，例如：
§2.5 有缺陷的小巧克力不合格品问题的频数频率分布表
这种情况下计算平均数和中位数没有多大意义，相反众数为1，众数值得关注。

一般情况，平均数，中位数，众数应该综合考量，这三个数目，使得我们可以从不同角度表达数据的中心位置，给评估对象一个全面的评价，例如：某企业的职工收入的平均数为5700,元，中位数为3000元，众数为2000元，这说明收入2000元的人最多，有一半职工低于3000元，有一半职工高于3000元，平均数5700大于中位数，说明有些员工工资特别高。

平均数与中位数为何可以表示数据的中心位置呢？主要是因为：
2
1
2
1
)
(min )
(∑∑==-=-n
i i a
n
i i
a x x x （2.1）
∑∑==-=-n
i i
a
n
i i a x me x 1
1
min （2.2）
这说明用不同的距离标准衡量，平均数与中位数到各点的距离最近。

另外平均数的物理意义还有重心的意义，在重心位置，系统可以平衡，在图2.8处，平均数为4，中位数为3，就意味着把树木集中在3这点，所走
的路最短。

* *
* *
* * * * * * * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中位数 平均数
§2.2.2 表示离散程度的数值
表示离散程度的数值一般有方差，四分位数，而四分位数又分上四分位数与下四分位数。

为表示数据的离散程度，我们一般用五个数概括，即最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值，分别记为.,,,,43210Q Q Q Q Q
例如：将12名经济专业毕业生月收入数据处理结果如下：（用Minitab ）
用统计软件Minitab画箱线图（见图2.9）
图2.9
四分位数的计算
分位数是将总体的全部数据按大小顺序排列后,处于各等分位置的变量值.如果将全部数据分成相等的两部分,它就是中位数；如果分成四等分,就是四分位数；八等分就是八分位数等.四分位数也称为四分位点,它是将全部数据分成相等的四部分,其中每部分包括25%的数据,处在各分位点的数值就是四分位数.四分位数有三个,第一个四分位数就是通常所说的四分位数,称为下四分位数,第二个四分位数就是中位数,第三个四分位数称为上四分位数,分别用Q1、Q2、Q3表示.四分位数作为分位数的一种形式,在统计中有着十分重要的作用和意义,现就四分位数的计算做一详细阐述.
一、资料未分组四分位数计算第一步：确定四分位数的位置.Qi 所在的位置=i（n+1）/4,其中i=1,2,3.n表示资料项数. 第二步：根据第一步四分位数的位置,计算相应四分位数. 例1：某数学补习小组11人年龄（岁）为：17,19,22,24,25, 28,34,35,36,37,38.则三个四分位数的位置分别为：Q1所在的位置=（11+1）/4=3,Q2所在的位置=2（11+1）/4=6,Q3所在的位置=3（11+1）/4=9.
变量中的第三个、第六个和第九个人的岁数分别为下四分位数、中位数和上四分位数,即：Q1=22（岁）、Q2=28（岁）、Q3=36（岁）我们不难发现,在上例中（n+1）恰好是4的整数倍,但在很多实际工作中不一定都是整数倍.这样四分位数的位置就带有小数,需要进一步研究.带有小数的位置与位置前后标志值有一定的关系：四分位数是与该小数相邻的两个整数位置上的标志值的平均数,权数的大小取决于两个整数位置的远近,距离越近,权数越大,距离越远,权数越小,权数之和应等于 1. 例2：设有一组经过排序的数据为12,15,17,19,20,23,25, 28,30,33,34,35,36,37,则三个四分位数的位置分别为：Q1所在的位置=（14+1）/4=3.75,Q2所在的位置=2（14+1）/4=7.5,Q3所在的位置=3（14+1）/4=11.25. 变量中的第3.75项、第7.5项和第11.25项分别为下四分位数、中位数和上四分位数,即：Q1=0.25×第三项+0.75×第四项=0.25×17+0.75×19=18.5；Q2=0.5×第七项+0.5×第八项=0.5×25+0.5×28=26.5；Q3=0.75×第十一项+0.25×第十二项=0.75×34+0.25×35=34.25.
二、资料已整理分组的组距式数列四分位数计算第一步：向上或向下累计次数（因篇幅限制,以下均采取向上累计次数方式计算）；第二步：根据累计次数确定四分位数的位置：Q1的位置 = （∑f+1）/4,Q2的位置 = 2（∑f +1）/4,Q3的位置 = 3（∑f +1）/4 式中：∑f表示资料的总次数；第三步：根据四分位数的位置计算各四分位数（向上累计次数,按照下限公式计算四分位数）：Qi=Li+fi×di 式中：Li——Qi所在组的下限,fi——Qi所在组的次数,di——Qi所在组的组距；Qi-1——Qi所在组以前一组的累积次数,∑f——总次数. 例3：某企业工人日产量的分组资料如下：
根据上述资料确定四分位数步骤如下： （1）向上累计方式获得四分位数位置： Q1的位置=（∑ f +1）/4=（164+1）/4=41.25 Q2的位置=2（∑ f +1）/4=2（164+1）/4=82.5 Q3的位置=3（∑ f +1）/4=3（164+1）/4=123.75 （2）可知Q1,Q2,Q3分别位于向上累计工人数的第三组、第四组和第五组,日产量四分位数具体为： Q1=L1+■×d1=70+■×10=72.49（千克） Q2=L2+■×d2=80+■×10=80.83（千克） Q3=L3+■×d3=90+■×10=90.96（千克） shitouwa4320 2014-10-23
§2.2.3 标准误
假设产生数据的总体的均值为μ，方差为2σ。

它们的估计分别为样本平均值x ， 样本方差2S 和样本标准差S ，由于平均数x 的标准差为n σ，所以它的估计取
为n S
，n S
称为标准误。

由)1,0(~N n x σμ-得)1(~--n t n
S x μ
在显著性水平0.95的条件下，得置信区间的端点
)1(975.0-±=-n t n S x μ
即得 )1(975.0-±
=n t n
S
x μ. 2010.2)11(975.0=t
用Mintab 计算得到:
Variable N N* Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum
C1 12 0 1940.0 49.3 170.6 1700.0 1857.5 1905.0 2025.0 2340.0
算得到所求置信区间为：
5086233.108194020986273.23.491940±=⨯±=μ
用Excel 计算得到：
平均 1940 标准误差 49.25198
中位数 1905 众数 1880 标准差 170.6139 方差 29109.09 峰度 1.874516 偏度 1.102987
区域 640 最小值 1700 最大值 2340 求和 23280 观测数 12 置信度(95.0%)
108.4029
所求置信区间为：
4029328.108194020986273.225198042.491940±=⨯±=μ
两款软件计算结果相差不大。

§2.2.4 偏度
偏度（Skewness ）反应单峰分布的对诚性，总体偏度用s β表示
333
][σμσμβ=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=X E s 样本偏见度用s b 表示，国家标准的计算公式为： ()
2
3
23
m m b s =
其中().3,2,
1
=-=
∑
=j n
x x m n
i j
i
j
在Excel 中的计算公式为：
()33)2)(1(S m n n n
b s --=
一般0>s b 数据的分布是右偏的，0<s b 数据的分布是左偏的，0=s b 我们倾向于认为总体的分布是对称的。

§2.2.4 峰度
峰度（Kurtosis ）反映峰的尖峭程度，总体峰度用k β表示，总体的峰度的定义为（国家标准）
444
][σμσμβ=⎪⎭⎫
⎝⎛-=X E k 样本峰度用k b ，国家标准的计算公式为
()224
m m b k =
由于正态分布的峰度系数为3，当 3>k b 时为尖峰分布，当 3<k b 时为扁
平分布。

第三章 符号检验法
符号检验是一种较为简单的非参数检验，中位数检验是符号检验的一个重要应用。

例3.1 某市劳动和社会保障部门的资料说明，1998年高级技师的年收入的中位数为21700元，该市某个行业有一个由50名高级技师组成的样本，数据如下： 23072 24370 20327 24296 22256 19140 25669 22404 26744 26744 23406 20439 24890 24815 24556 18472 24514 22516 25112 23480 26552 24074 18064 22590 ΛΛΛΛΛ 原假设与备择假设为：
02170:21700:10>=me H me H
选择统计量 },,2,1,0:{0#
n i me x x S i i Λ=>-=+，+S 即为大于中位数0me 的
i x 的个数，"#"表示计数，+S 也可表示为：
⎩
⎨⎧>-==∑=+
其他00
1,01me x u u S i i n
i i
若21700:
0=me H 为真，则)2
1
,50(~b S
+
而,50=n 检测值32=+
S
计算P 值05.0032454.02150)32(50
50
32<=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≥∑=i i X P
即检测值32=+
S 落入拒绝域。

故拒绝原假设，接受备择假设2170:1>me H
在excel 中如何使用BINOMDIST 函数返回一元二项式分布的概率值
BINOMDIST 函数用于返回一元二项式分布的概率值。

函数语法
语法形式BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)
number_s:表示实验成功的次救。

trials:表示独立实验的次数。

probability_s:表示一次实验中成功的概率。

cumulative:表示一逻辑值，决定函数的形式，如果cumulative 为TRUE,函数BINOMDIST 返回积累 分布函数，即至多number_s 次成功的概率;如果为FALSE ，返回概率密度函数，即number_s 次成功 的概率。

例如，抛硬币正反面的概率是0.5若要计算出抛10次硬币6次是正面的概率。

可以使用BINOMDIST 函数 来实现。

Step01选中C4单元格，在公式编辑栏中输入公式: =BINOMDIST(A2,B2.C2,TRUE)
按Enter 键即可计算出积累分布函数，即至多6次成功概率，如图8-73所示。

Step02 选中C5单元格，在公式编辑栏中输入公式: =BINOMDIST(A2,B2.C2.FALSE)
按Enter 键即可计算出概率密度函数，即6次成功的概率，如图8-74所示。

§3.2 符号检验在定性数据分析中的应用
有的时候，观察值是一些定性数据，如果定性数据仅取两个值，就可以使用符号检验对它进行统计分析。

例3.2 某项调查询问了2000名年轻人。

问题是：你认为我们的生活环境是比过去更好，更差，还是没有变化？有800人觉得”越来越好”，有720人感觉一天不如一天，有400人表示没有变化，还有80人说不知道，根据调查结果，你是否相信，在总体认为我们的生活比过去更好的人，比认为我们的生活比过去差的人多？
解：原假设与备择假设为 2
1:2
1
:10>
=
p H p H 选择统计量 }{#
认为生活变好的人数=+S ，+
S 也可表示为：
⎩⎨⎧==∑=+
其他认为生活变好
1,1i
n
i i u u S 则)2
1
,1520(~b S +
由于n 很大，所以可以近似认为
)380,760(~N S +
其中380,760====npq np σμ
()
020086868.0800=≥+S P
利用正态分布的计算结果
(
)(
)
022714571.0380799760799800=⎪⎭⎫
⎝
⎛-Φ≈>=≥+
+
S P S P
修正后
(
)
021366586.03805.799760800=⎪⎭⎫
⎝
⎛-Φ≈≥+
S P
由于P 值较小，所以我们认为我们的生活环境变好了。

§3.3 成对数据的比较问题
由于同一块田的生长环境相同，不同的地生长环境各不相同，所以将这批数据写成成对的形式。

.,,2122122111⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x ΛΛ ,,2,1,21n i x x d i i i i Λ=+=-=δθ i i i 2121,εεδααθ
-=-=，θ为品种差，i δ为随机差。

i δ关于原点对称的分布。

由于i i 21εε和都服从关于原点对称的分布，i i i i 1221εεεε-=-（同分布） 则
())
()()
()(211221c P c P c P c P c P i i i i i i i i -<=-<-=>-=>-=>δεεεεεεδ
所以i δ关于原点对称。

其它分位点的检验
茆诗松老师教材P414，例7.6.3
以往的资料表明，某种圆钢的90%的产品的硬度不小于103（2
/mm kg ）,为了检验这个结论是否属实，现在随机挑选20根圆钢进行硬度实验，测得其硬度分别是：
问这批钢材是否达标？ 解：原假设与备择假设为：
103:103:10.0110.00<≥x H x H
⎩
⎨⎧>=其他0103
1i i x u
选取统计量∑=+
=
n
i i
u
S 1
,若原假设成立，则)09,20(~b S +
检测值15=+
S ，检验的P 值为
05.0043.01.00920)15(2015
0<=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=≤=-=+
∑i
i i i S P p
即检测值落入拒绝域，故拒绝原假设，接受备择假设103:10.01<x H
即产品不达标。

例7.6.4 工厂有两个化验室，每天同时从工厂的冷却水中取样，测量水中的含氯量（6
10-）一次，记录如下：
问两个化验室测定的结果之间有无显著性差异？
解：设A,B 实验室的测量误差分别为：.,ηξ并设.,ηξ的分布函数分别为
)(),(x G x F 。

由于 .,i i i i i i y x ημξμ+=+=
选取统计量
i i i i i y x z ηξ-=-=
原假设与备择假设为：
.)()(:)
()(:10x G x F H x G x F H ≠=
若0H 为真，则在Z 的分布关于原点对称
⎩⎨⎧>=其他001i i z u
选取统计量∑=+
=
11
1
i i
u
S
即+S 表示1121,,,z z z Λ中正数的个数。

检验值2=+
S
，检验的P 值为：
05.00654.05.0112)}
2(),2(min{22
011
>=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=≥≤=∑=++i i S P S P p 在显著性水平为05.0=α，检测值未落入拒绝域，故接受原假设，认为两个化
验室的检测结果之间无显著性差异。

例7.6.5在某保险类中，一次2008年索赔数额的随机抽样为（按照升序排列）：
已知2007年索赔数额的中位数为5063元，问2008年索赔的中位数较上一年是否有所变化？
解：这是一个双侧检验问题： 原假设与备择假设为：
5063:5063
:5.015.00≠=x H x H
⎩⎨
⎧>=其他
5063
1i i x u
选取统计量 ∑=+
=n
i i
u
S 1
显著性水平15,05.0==n α。

计算得：
0592.05.05.0025.00176.05.05.015
111515
15121515=<<=∑∑=-=-k k k k k k k k C C
0592
.05.05.0025.00176.05
.05.04
15153
1515
=<<=∑∑=-=-k k k k
k k
k
k C C
所以双侧拒绝域为：}123{≥≤=++S S W
或
而检测值12=+
S ，落入拒绝域W .
故拒绝原假设，接受备择假设，即可以认为2008年索赔的中位数较上一年有所变化。

方法二：也可采用P 值检验
检验的P 值为：
05.00352.0)12(2=<=≥=+
αS P p 故检测值落入拒绝域，所以拒绝原假设，接受备择假设，即可以认为2008年索赔的中位数较上一年有所变化。

例7.6.6.1984年一些国家每平方公里可开发的水资源数据如下表所示（万度/年）
而当年中国的该项指标为20万度/年。

请用符号检验方法检验：这22个国家每平方公里可开发的水资源的中位数不高于中国，求检验的P 值，并写出结论。

解：原假设与备择假设为：
20:20
:5.015.00>=x H x H
⎩⎨⎧>=其他0201i i x u
选取统计量∑=+
=22
1
i i
u
S ,若原假设成立，则)5.0,22(~b S +
显著性水平22,05.0==n α
，查表得：
,0669.05.05.005.00262.05.05.022
15
222222
16
2222
=<<=∑∑=-=-k k
k k k k
k k C C 右侧拒绝域为:}16{≥=+
S W
又检测值W S ∉=+
8
或者检测的P 值为
05.09331.0)8(=>=≥=+
αS P p
故接受0H ，拒绝1H 。

即可认为这22个国家可开发的水资源的中位数不高于中国。

例7.6.7.下面是亚洲十个国家1996年的每1000个新生儿中的死亡数（按从小到大的次序排列）
日本 以色列 韩国 斯里兰卡 中国 叙利亚 伊朗 印度 孟加拉 巴基斯坦 4 6 9 15 23 31 36 65 77 88 以M 表示1996年1000个新生儿中死亡数的中位数，试检验：
34:34:10<≥M H M H ，求检验的P 值，并写完出结论。

解：原假设与备择假设为：
34:34
:10<≥M H M H
⎩⎨⎧>=其他0341i i x u
选取统计量∑=+
=10
1
i i
u
S ,若原假设成立，则)5.0,10(~b S +
显著性水平10,05.0==n α
，查表得：
,0547.05.05.005.00107.05.05.03
10102
1010=<<=∑∑=-=-k k k k k k k k C C 左侧拒绝域为:}2{≤=+
S W
又检测值W S ∉=+
4
或者检测的P 值为
05.03770.0)4(=>=≤=+
αS P p
故接受0H ，拒绝1H 。

即可认为1996年1000个新生儿中死亡数的中位数不低于34。

例7.6.8.某烟厂称其生产的每支香烟的尼古丁含量在12mg 以下，实验室测定的该烟厂的12支香烟的尼古丁含量（单位:mg ）分别为: 16.7 17.7 14.1 11.4 13.4 10.5 13.6 11.6 12.0 12.6 11.7 13.7
问是否该厂所说的尼古丁含量比实际要少？求检验的P 值，并写出结论。

由于对于非正态总体，小样本场合不能用样本均值检验，所以下面采用中位数检验。

解：原假设与备择假设为：
12:12
:5.015.00>=x H x H
⎩
⎨⎧>=其他0121i i x u
选取统计量
∑=+=12
1
i i u S ,若原假设成立，则)5.0,12(~b S +
显著性水平12,05.0==n α
，查表得：
,0730.05.05.005.00193.05.05.012
9
1212
12
10
1212=<<=∑∑=-=-k k
k k k k k k C C 右侧拒绝域为:}10{≥=+
S W
又检测值W S
∉=+
8
或者检测的P 值为05.01938.0)8(=>=≥=+αS P p
故接受0H ，拒绝1H 。

即可认为该厂的尼古丁含量比实际含量要少。

第四章 符号秩和检验法
§4.1 对称中心为原点的检验问题
设对称中心为θ，则原假设与备择假设分别为： 0:0:10>=θθH H 0:0:10<=θθH H
0:0
:10≠=θθH H
引入符号检验统计量为：
⎩
⎨⎧>==∑=+
其它0011
,
i i n
i i x u u S
将n x x x ΛΛ,,21排序。

设i
x 的秩为.,,2,1,n i R i Λ= 引入符号秩和检验统计
量为：∑=+
=n
i i i R u W 1
表4.1 10个观察值和它们的符号，绝对值和绝对值的秩
3=+S ,235++=+W
下面讨论符号秩和检验的检验方法，原假设与备择假设为：
0:0
:10>=θθH H
如果0>θ
，则2
1
)()0(,21)()0(=<<<=>>>θθX P X P X P X P
对于任意的正数a ，
)
()2())
(())(()(a X P a X P a X P a X P a X P -<>+-<=--<=-+>>>θθθθθ
即0),()(>∀-<>>a a X P a X P
此时+
W
较大，C 为检验的临界值为
}.)(:inf{*
*α≤≥=+c W P c c
原假设与备择假设为：
0:0
:10<=θθH H
此时0),()(>∀-<<>a a X P a X P 此时+
W 较小，d 为检验的临界值为
}.)(:sup{**α≤≤=+d W P d d
原假设与备择假设为：
0:0
:10≠=θθH H
我们在+
W 较大或者较小的时候拒绝原假设，检验的临界值c ，d 为
}.2
)(:inf{*
*α
≤≥=+c W P c c
}.2
)(:sup{**α
≤≤=+d W P d d
§4.2 符号秩和检验统计量+
W 的性质
性质4.1 令∑==n
i i iu S 1，则在总体的分布关于原点0对称时，+
W 与S 同分布：
S W d
=+
表4.1 10个观察值和它们的符号，绝对值和绝对值的秩
102351
=++==∑=+
n
i i i R u W
表4.3 10个观察值和它们的符号，绝对值和绝对值的秩
105321
=++==∑=n
i i iu S ,∑=+
=n
i i i R u W 1
这样就初步说明了性质4.1
+W 的概率分布，在总体X 关于原点0分布时，n u u u ,,,21Λ相互独立，同分布，
且.,,2,1,21
)1()0(n i u P u P i i Λ=====所以∑==n
i i iu S 1
是离散的分布，它的取值
范围是,2)1(,,2,1,0+n n Λ，且
,2)1(,,2,1,0,2)()()(1
+=====∑=n n d d t d iu P d S P n n n
i i Λ（4.1）
其中)(d t n 表示从.,,2,1n Λ中取若干个，其和恰好为d 的取法数， 例如：1)2()1()0(===n n n t t t 。

2)4()3(==n n t t ，3)5(=n t ，.4)6(=n t
性质4.2 在总体的分布关于原点0对称时，+W 与S 同分布：所以+
W 的分布
,2)1(,,2,1,0,2)()()(1
+=====∑=+
n n d d t d R u P d W P n
n
i n
i i Λ（4.2） .2)1(,,2,1),2)1(()(+=-+===+
+n n d d n n W P d W P Λ 于是 )3.4(),
2)1(()(d n n W P d W P -+≥=≤+
+
这说明+
W 的密度是以中心对称的。

性质4.3 在总体的分布关于原点0对称时，+
W 的分布的对称中心为：4
)
1(+n n
例4.1 有12个工人，每个工人用两种生产方式完成一项生产任务，所用时间对比如下表所示：
表4.4 用两种方式完成一项生产任务的完工时间及其差值
表4.5 差值的符号，绝对值及绝对值的秩
符号秩和统计量
6764118129710=+++++++=+W
原假设与备择假设为
0:0
:10≠=θθH H
我们在+
W 较大或者较小的时候拒绝原假设
由于05.0)65(2=≥+W P
而检测值
67=+W 既有 05.0)65(2)67(2=≥≤≥++W P W P 故检测值落入拒绝域
所以拒绝原假设0H ，接受备择假设1H
即认为两种生产方法有差异，方法1不如方法2，方法1需要更多的时间。

例：7.6.9 9名学生到英语培训学习，培训前后各进行了一次水平测验，成绩如下：
（1）假设测验成绩服从正态分布，问学生的培训效果是否显著？
（2）不假定总体分布，采用符号检验的方法检验学生的培训效果是否显著? （3）采用符号秩和检验方法检验学生的培训效果是否显著,三种检验方法结论 是否相同？
解：（1）由于测验成绩符合正态分布，而2
σ未知，所以我们采用检验-T
原假设与备择假设为： 0:0:10<=z z H H μμ
由于2
z σ未知，所以我们选取统计量
)1(~-=
n t n
S z T z
显著性水平,8595.1)8(,
9,
05.095.0===t n α
左侧拒绝域为}8595.1{-≤=t W . 而检测值W n S z T z
∉-=-==
6378.19
9373.73333.4 另一方面也可以用P-值也可判断检测值不在拒绝域。

检验的P 值 05.007.0}6378.1{=>=-≤=αT P p . 故检测值W T ∉-=6378.1.
故接受0H ，拒绝1H ，即认为培训效果不明显。

（2）原假设与备择假设为： 0:0
:5.015.00<=z H z H
选取符号检验统计量：
⎩
⎨⎧>==∑=+
其它0011
,
i i n
i i z u u S
则
)5.0,(~n b S +
这里显著性水平,9,05.0==n α
查表得
0898.05.05.005.00195.05.05.02
9910
99=<<=∑∑=-=-k k k k k k k k C C 所以左侧拒绝域为}1{≤=+
S W
而检测值W S ∉=+
2.
另一方面也可以用P-值也可判断检测值不在拒绝域。

检验的P 值 05.00898.0}2{=>=≤=+
αS P p .
故检测值W S ∉=+
2.
故接受0H ，拒绝1H ，即认为培训效果不明显。

（3）原假设与备择假设为： 0:0
:10<=θθH H
选取统计量⎩⎨⎧>==∑=+
其他其中00
1,1i i n
i i i z u R u W .
这里显著性水平,9,
05.0==n α查表计算得：
满足 05.0)(05.0=≥+C W P ，右侧临界点为37，由于+
W 密度的对称中心为
4
)
1(+n n ，所以左侧临界点为
8372)19(9372)1(=-+=-+n n 左侧拒绝域为}8{≤=+
W W .
而检测值W R u W n
i i i ∉=+==∑=+
5.1065.41
故接受0H ，拒绝1H ，即认为培训效果不明显.
7.6.10 为了比较来做鞋子的两种材料的质量，选取15个男子，每人穿一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另外一只是以材料B 做后跟，其厚度均为10mm,过一个月再测量厚度，数据如下：
问是否可以认为材料A 制成的鞋子比材料B 耐穿？
（1）设)15,,2,1(Λ=-=i y x d i i i 来自正态总体，结论是什么？ （2）采用符号秩和检验，结论是什么？
解：（1）由于i d 符合正态分布，而2
σ未知，所以我们采用检验-T
原假设与备择假设为： 0:0
:10>=d d H H μμ
由于2z σ未知，所以我们选取统计量
)1(~-=
n t n
S D T d
显著性水平,7613.1)14(,
15,
05.095.0===t n α
右侧拒绝域为}7613.1{≥=t W . 而检测值W n S D T d
∈===
0959.215
0225.15533
.0 另一方面也可以用P-值也可判断检测值在拒绝域。

检验的P 值 05.00274.0}0959.2{=<=≤=αT P p . 故检测值W T ∈=0959.2.
故拒绝0H ，接受1H ，即认为材料A 制成的鞋后跟比材料B 耐穿。

（2）原假设与备择假设为： 0:0
:10>=θθH H
选取统计量⎩⎨⎧>==∑=+
其他其中00
1,1i i n
i i i d u R u W .
这里显著性水平,15,
05.0==n α查表计算得：
满足 05.0)(05.0=≥+
C W P ，右侧临界点为90。

右侧拒绝域为}90{≥=+
W W .而检测值
W
R R R R R R R R R R R u W n
i i i ∈=+++++++++=+++++++++==∑=+
5.931510145.85.65.8125.35.31213
1211109876421
故拒绝0H ，接受1H ，即认为材料A 制成的鞋后跟比材料B 耐穿。

7.6.11 某饮料商用两种不同的配方推出两种新的饮料，现在调查10位消费者，他们对两种饮料的评分如下：
问两种饮料评分是否有显著性差异？ （1）采用符号检验法作检验; （2）采用符号秩和检验法作检验. 解:(1)解：原假设与备择假设为：
0:0:5.015.00≠=d H d H
⎩⎨⎧>-=其他00
1i i i y x u
选取统计量∑=+
=
n
i i
u
S 1
+
S 即为更喜欢A 饮料的人数，若原假设成立，则
)5.0,10(~b S +
计算得：
0547.05.05.0025.00107.05.05.010
8
101010
9
1010=<<=∑∑=-=-k k k k k k k k C C
0547.05.05.0025.00107.05.05.02
101010
1010=<<=∑∑=-=-k k k k k k k k C C
所以双侧拒绝域为：
}91{≥≤=+
+S S W 或
检测值5=+
S ，检验的P 值为
05.02460.15.05.0102)}5(),5(min{2105
0=>=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=≥≤=-=+
+
∑αi
i i i S P S P p
即检测值未落入拒绝域，故接受0H ，拒绝1H 。

即认为两种饮料的评分没有显著性差异。

（2）原假设与备择假设为： 0:0
:10≠=θθH H
选取统计量⎩⎨⎧>-==∑=+
其他其中00
1,1i i i n
i i i y x u R u W .
这里显著性水平,10,05.0==n α查表计算得：
满足 025.0)(025.0=≥+
C W P ，右侧临界点为47，则左侧临界点为
8472
11
10472)1(=-⨯=-+n n 双侧拒绝域为}478{≥≤=+
+W W W 或.而检测值
W
R R R R R R u W i i i ∉=++++=++++==∑=+
396105.865.85
432110
1
故接受0H ，拒绝1H ，即认为两种饮料的评分没有显著性差异。

7.6.12 测试精神压力和没有精神压力的血压差别，10个志愿者进行了相应的实验，数据如下（单位：毫米汞柱收缩压）：
该数据是否表明有精神压力的情况下的血压是否有所增加？ 解:采用符号秩和检验 原假设与备择假设为： 0:0
:10<=θθH H 其中θ为i i i y x d -=总体密度函数的对称中心,
选取统计量⎩⎨⎧>-==∑=+
其他其中00
1,1i i i n
i i i y x u R u W .
这里显著性水平,10,05.0==n α查表计算得：
满足 05.0)(05.0=≥+
C W P ，右侧临界点为45，则左侧临界点为
10452
11
10452)1(=-⨯=-+n n 左侧拒绝域为}10{≤=+
W W .而检测值
W R R u W i i i ∈===∑=+
4410
1
故拒绝0H ，接受1H ，即认为有精神压力导致血压增加。

§4.3 符号秩和检验统计量+
W 的渐近正态性 （1）期望与方差
在总体X 的分布关于原点o 对称时，n u u u Λ,,21相互独立，每一个i u 的分布
都是.,2,1,2
1
)1()0(n i u P u P i i Λ=====。

而∑==
n
i i
iu
S 1
，则它的期望与方差分别为：
4
)
1(21)(1+==∑=n n i S E n i .24
)12)(1(41)(2
1++==∑=n n n i S D n i 由于+
W 与S 有相同的分布，所以
4
)
1()(+=
+
n n W E .24
)
12)(1()(++=
+
n n n W D (2)渐近正态性
性质4.5 如果总体关于原点对称，则在样本容量n 趋于无穷大时，+
W 有渐近正态性：
).1,0(24
)12)(1(4)1()
()
(N n n n n n W W D W E W L −→−+++-=-++++
或者简记为 ()24)12)(1(,4)1(~++++
n n n n n N W .
§4.4 平均秩法
平均秩的基本定义：即对于相同的样本取平均秩。

每个元素赋予平均秩为：
2)1()
()2()1(++=++++++r r r r r τ
τΛ
平均时的秩和与平方和为
)8.4(],2)1([]2)1([]2)1([]2)1([++=+++++++++τττττr r r r Λ
)9.4(,]2)1([]2)1([]2)1([]2)1([2222++=+++++++++τττττr r r r Λ 非平均的时候秩和与平方和为
)10.4(],2)1([)()2()1(++=++++++τττr r r r Λ
)11.4(,6)12)(1()1()()2()1(2222+++++=++++++τττττττr r r r r Λ (4.8)与（4.10）结果一样。

由（4.11） 减去（4.9）得到
)12.4(,12)()()2()1(]2)1([32222τττττ--++++++=++r r r r Λ
于是由（4.11）与（4.12）得：
)13.4(,2
)
1(21)(1
+=
+++=∑=n n n i a n
i Λ )
14.4(,12
)(6)
12)(1(12
)(21)(1
31
32221
2
∑
∑
∑===--++=--+++=g
j j j g
j j j n
i n n n n i a
ττττΛ
性质4.6 在总体的分布关于原点o 对称，有结秩取平均时，
)15.4(,4
)
1()(+=
+
n n W E
)16.4(,48
)(24)
12)(1()(1
3∑=+--++=
g
j j j n n n W D ττ
在有结的情况下，如果总体关于原点对称，则在样本容量n 趋于无穷大时，+
W 有渐近正态性：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+++∑=+
g
j j j n n n n n N W 13)(24)12)(1(,4)1(~ττ
严格上以上期望与方差是在有结的情况下的计算结果，所以严格书写应该按照以下方式：
)15.4(,4
)
1(),,,(21+=
+
n n W E g τττΛ
)16.4(,48)(24)12)(1(),,,(1
321∑=+
--++=g j j j g n n n W D τττττΛ
§4.5 对称中心的检验问题 有以下几种情形： 原假设与备择假设为 0100::θθθθ>=H H 0100::θθθθ<=H H 0100::θθθθ≠=H H
例4.5：通常认为人在放松条件下入睡的时间比紧张状态下的入睡时间要少两分钟，现在有十名男性，他们在放松下与紧张状态下的入睡时间分别为i i y x 与，
i i i y x d -=，表4.10显示10个差值8个小与-2，只有2个不小于-2，所以我们
有理由猜测放松状态下比非放松状态下入睡时间要少2分钟，这个猜测是否正确？
表4.10 成年人在放松的条件下和没有放松的条件下入睡所需的时间
符号秩和检测值为⎩
⎨⎧>==+==∑=+
其他001,
96310
1
i i i i i c u R u W
原假设与备择假设为 2:2
:10-<-=θθH H
左侧拒绝域为}10{≤=+
W W .而检测值
W R u W i i i ∈=+==∑=+
96310
1
故拒绝0H ，接受1H ，即认为成年男性在放松条件下入睡的时间比紧张状态下入睡时间要少于2分钟。

由于样本容量n 足够大的时候，+
W 有渐近正态性，所以也可以用正态分布作检测。

原假设与备择假设为
2:2:10-<-=θθH H
在0H 为真的时，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+++∑=+
g
j j j n n n n n N W 1348)(24)12)(1(,4)1(~ττ
即()75.93,5.27~N W +
检测值为：96310
1
=+==∑=+
i i i R u W
检测p 值为031511.0)75.935
.275.9()9(=-Φ≈≤+
W P
所以在显著性水平为0.05下，检测值落入拒绝域
故拒绝0H ，接受1H ，即认为成年男性在放松条件下入睡的时间比紧张状态下入睡时间要少于2分钟。

第五章 两样本问题
§5.1 Mood 中位数检验法
例2 哪一个企业职工的工资高？ 表1.3两个企业职工的工资
他们的合样本为
[][][][][][][][][][],
60,50,40,3020
,19.18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3
其中带][表示企业2的职工的工资，其他的为企业1的工资，合样本的中位数为13.5，将以上数据转化为四表格
表5.1 四格表
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1222111122,11,12,121111N N N P ，这说明 11N 服从超几何分布。