人教版八年级下册第十八章：18.2.3正方形

第十八章平行四边形
§18.2.3 正方形（一）
教学目标：
1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．
2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力
3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．
教学重、难点：
重点：理解正方形的定义和性质．
难点：正方形的性质及其应用．
教学工具：
直尺，三角板，PPT课件，几何画板，A4纸等
教学过程：
一、正方形的定义
师：同学们，上节课我们学习了特殊的平行四边形矩形和菱形，在现实生活中有没有其它的特殊的平行四边形呢？
生：有，正方形。

师：对，小学我们已经学习了正方形。

什么是正方形呢？
学生回答
正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
二、情境引入，实践探究
探究一：矩形与正方形的关系
师：在现实生活中存在很多正方形，也有很多正方形的实际应用。

比如折纸，大家还记得小时候折的青蛙、飞机吗？折它们的第一步常常是把矩形纸折成什么图形？
生：折成正方形。

师：你能将我们的A4纸折成正方形吗？
生：能。

（学生折纸，并叫一个学生示范）
学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
师：为什么这样折出的是正方形？你能说出理由吗？
生：因为折了一个等腰直角三角形，它们的两条直角（邻边）边相等。

教师用几何画板动态演示矩形变成正方形
学生探究并得出结论：
结论1：正方形是一组邻边相等的矩形. 即正方形是特殊的矩形.
设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程．
探究二：菱形与正方形的关系
师：同学们，生活中除了矩形可以变成正方形外，还可由其它图形能变成正方形吗？你能举出生活中的实例吗？
生：菱形，如菱形衣架、伸缩门等。

师：那它们怎样变成正方形的呢？
生：当有一个角是直角时，菱形就变成了正方形。

教师用几何画板动态演示菱形变成正方形
结论2：正方形是一个内角为直角的菱形.即正方形是特殊的菱形.
设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形的紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的正方形上来，为下面学习新知识创造了良好开端．议一议：
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．
设计意图：①使学生对通过自己的实践总结
得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具
体问题．实际上就是充分锻炼学生理论依据（本节课是关于正方形的定理）图形化的能力，也锻炼了学生文本信息图形化的能力．充分锻炼学生的空间观念．
②使学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质．同时又是对知识结构的再建过程，是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段．三、探究交流，得出新知
教师引导学生完成下表中的矩形与菱形的性质，学生回顾矩形与菱形的性质并填表。

师：正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形．那正方形是否都具有两者的全部性质呢？
学生思考、小组讨论、类比归纳，并完成下表中的正方形的性质：
师：你能结合图形语言与文字语言，写出正方形性质的符号语言吗？
学生讨论并完成下表
课堂练习一：
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A .四个角相等.
B .对角线互相垂直平分.
C .对角互补.
D .对角线相等.
2．四个内角都相等的四边形一定是（）
A .正方形
B .菱形
C .矩形
D .平行四边形
变式（题2）：四条边都相等的四边形一定是( )
A .正方形
B .菱形
C .矩形
D .平行四边形
四、典例学习，巩固新知
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
分析：文字证明题的解题步骤：
第二步:写出已知
第三步:写出求证
第四步:进行证明
已知:如图,四边形ABCD 是正方形,对角线AC 、BD 相交于点O.
求证:△ABO 、 △BCO 、 △CDO 、 △DAO 是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD 是正方形
∴ AC=BD,AC ⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO 、 △BCO 、 △CDO 、 △DAO 都是等腰直角三角形,
并且△ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
思考：
1.图中共有多少个等腰直角三角形？
2. △BOC 的面积与正方形ABCD 的面积有什么数量关系？
例2 边长相等的两个正方形ABCD 与正方形A′ B ′ C ′ O ，点O 是正方形ABCD 对角线的交点，又是正方形A′ B ′ C ′ O 的一个顶点。

当正方形A′ B ′ C ′ O 绕O 点旋转时，请回答下列问题：
(1)当B 、C 两点分别落在A′ O 、C ′ O 上时，如图（1），重叠部分的面积与正方形ABCD 面积有何数量关系？
(2)当旋转到如图（2）所示的位置时，重叠部分的面积与正方形ABCD 面积有何数量关系？并说明理由.
分析：（1）ABCD 14BOC S S ∆=正方形 (2) AOE BOF ∆≅∆
教师引导学生分析讨论，并写出解答过程。

演示几何画板，动态分析面积的变化。

课堂练习二：
3.在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出
三种）
4.将五个边长为2cm 正方形按如图所示的方
式摆放，点A ,B ,C ,D 分别是四个正方形的中心，
则图中四块阴影面积的和为___________.
五、课堂小结，内敛提升 师：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
学生畅谈自己的收获！
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、课后作业
课本P61~62 12（3）、15
七、板书设计
八、课后反思
结合矩形和菱形的条件得到正方形的定义，有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形。

在分析定义时，强调了正方形定义和前面两类特殊平行四边形的异同。

通过归纳矩形和菱形的性质得到正方形的性质，有前面学习的基础，学生掌握的比较轻松。

在学习判定方法时，能够引导学生对判定方法进行在证明，引导学生从边角对角线等角度去思考，避免了学生思维混乱，无从下手的局面。