【解析版】晋江市2018-2019学年华师大八年级下期末数学试卷

福建省泉州市晋江市2018-2019学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共21分） 1．（3分）下列各代数式中是分式的是（）
A ． 2+x
B ．
C ．
D ．
2．（3分）两年前日本近海发生9.0级强震．该次地震导致地球当天自转快了0.0000016秒．这里的0.0000016用科学记数法表示为（）
A ． 16×10﹣5
B ． 1.6×10﹣5
C ． 1.6×10﹣7
D ．1.6×10﹣6
3．（3分）要判断甲、乙两队舞蹈队的身高哪队比较整齐，通常需要比较这两队舞蹈队身高的（） A ． 方差 B ． 中位数 C ． 众数 D ．平均数 4．（3分）在如图所示的正方形网格中，确定点D 的位置，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为等腰梯形．则点D 的位置应在（）
A ． 点M 处
B ． 点N 处
C ． 点P 处
D ．点Q 处 5．（3分）将直线y=﹣2x+1向下平移4个单位得到直线l ，则直线l 的解析式为（） A ． y =﹣6x+1 B ． y =﹣2x ﹣3 C ． y =﹣2x+5 D ．y=2x ﹣3 6．（3分）如图，将一张矩形纸片对折两次后剪下一个角，然后打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕所成的锐角大小是（）
A ． 22.5°
B ． 45°
C ． 60°
D ．135°
7．（3分）观察下列等式：a 1=n ，a 2=1﹣，a 3=1﹣，…；根据其蕴含的规律可得（）
A ． a 2019=n
B ． a 2019=
C ． a 2019=
D ．a 2019=
二、填空题（每小题4分，共40分）
8．（4分）计算：20190+（）﹣1=．
9．（4分）函数y=中自变量x的取值范围是．
10．（4分）为保障公民的人身安全，对醉酒驾车行为（血液酒精含量大于或等于80毫克/百毫升）按刑事犯罪处理．某交警中队于5月1日～5月3日这3天共查到12起酒后驾车事件，这12位驾车者血液酒精含量（单位：毫克/百毫升）如下：26，58，29，92，21，43，24，27，36，46，23，31．则这组数据的极差是毫克/百毫升．
11．（4分）正比例函数y=﹣5x中，y随着x的增大而．
12．（4分）命题“如果x=y，那么|x|=|y|”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）
13．（4分）已知晋江市的耕地面积约为375km2，人均占有的土地面积S（单位：km2/人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化，则S与n的函数关系式是．
14．（4分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=（度）．
15．（4分）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是．（填写一组序号即可）
16．（4分）如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店看一会儿书，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间（单位：小时），y表示小明离家的距离（单位：千米），则小明从学校回家的平均速度为千米∕小时．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB=2cm，对角线AC、BD交于点O，点E以一定的速度从A向B移动，点F以相同的速度从B向C移动，连结OE、OF、EF．
（1）△AOE≌△；
（2）线段EF的最小值是cm．
三、解答题（共89分）
18．（9分）计算：•﹣．
19．（9分）已知样本数据为1，2，3，4，5，求这个样本的：
（1）平均数；
（2）方差S2．（提示：S2=[x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+（x4﹣）2+（x5﹣）2]）
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC是∠BAD的角平分线．
求证：△ABC≌△ADC．
21．（9分）某校初一年学生乘车到距学校40千米的社会实践基地进行社会实践．一部分学生乘旅游车，另一部分学生乘中巴车，他们同时出发，结果乘中巴车的同学晚到8分钟．已知旅游车速度是中巴车速度的1.2倍，求中巴车的速度．
22．（9分）为了加强安全教育，2018-2019学年八年级二班参加中小学生安全知识网络竞赛．班长将全班同学的成绩整理后绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）2018-2019学年八年级二班共有人，扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为（度）；（2）求全班同学成绩的平均数、众数、中位数．
23．（9分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）根据题意将图形补画完整（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AFCE的形状，并证明你的判断．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+b与x轴交于点A，与双曲线
y=﹣在第二象限内交于点B（﹣3，a）．
（1）求a和b的值；
（2）过点B作直线l平行x轴交y轴于点C，求△ABC的面积．
25．（13分）请阅读下列材料：
问题：如图①，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=120°，试探究PG与PC的位置关系及∠PCG的大小．小明同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小明的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及∠PCG的大小；
（2）将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图②）．你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？写出你的猜想并加以证明．
26．（13分）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣12，16），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x 轴分别交于点D、F．
（1）直接写出线段BO的长；
（2）求直线BD解析式；
（3）若点N在直线BD上，在x轴上是否存在点M，使以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出一个满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
福建省泉州市晋江市2018-2019学年八年级下学期期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共21分）
1．（3分）下列各代数式中是分式的是（）
A．2+x B．C．D．
考点：分式的定义．
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答：解：A、2+x，它是整式．故本选项错误；
B、的分母是常数2，所以它是整式．故本选项错误；
C、的分母是字母x，所以它是分式．故本选项正确；
D、是二次根式，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．（3分）两年前日本近海发生9.0级强震．该次地震导致地球当天自转快了0.0000016秒．这里的0.0000016用科学记数法表示为（）
A．16×10﹣5B．1.6×10﹣5C．1.6×10﹣7D．1.6×10﹣6
考点：科学记数法—表示较小的数．
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：解：0.000 0016=1.6×10﹣6；
故选：D．
点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）要判断甲、乙两队舞蹈队的身高哪队比较整齐，通常需要比较这两队舞蹈队身高的（）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
考点：统计量的选择；方差．
分析：根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定．
解答：解：由于方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故判断两队舞蹈队的身高较整齐通常需要比较两个队身高的方差．
故选A．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．（3分）在如图所示的正方形网格中，确定点D的位置，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为等腰梯形．则点D的位置应在（）
A．点M处B．点N处C．点P处D．点Q处
考点：等腰梯形的判定；坐标确定位置．
分析：分别讨论：AB为底，AB为腰的情况，画出图形，即可得出点D的位置．
解答：解：①若AB为底，如图所示：
此时没有符合题意的点D．
②若AB为腰，如图所示：
此时符合题意的点为点P．
故选C．
点评：本题考查了等腰梯形的判定，解答本题的关键是掌握等腰梯形的性质，注意结合图形进行判断，这样的题目其实可以每个点都代入试一下．
5．（3分）将直线y=﹣2x+1向下平移4个单位得到直线l，则直线l的解析式为（）
A．y=﹣6x+1 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+5 D．y=2x﹣3
考点：一次函数图象与几何变换．
分析：直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
解答：解：将直线y=﹣2x+1向下平移4个单位得到直线l，则直线l的解析式为y=﹣2x+1﹣4，即y=﹣2x﹣3．
故选B．
点评：本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
6．（3分）如图，将一张矩形纸片对折两次后剪下一个角，然后打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕所成的锐角大小是（）
A．22.5°B．45°C．60°D．135°
考点：剪纸问题．
分析：根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．
解答：解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，
所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．
故选：B．
点评：本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．
7．（3分）观察下列等式：a1=n，a2=1﹣，a3=1﹣，…；根据其蕴含的规律可得（）A．a2019=n B．a2019=C．a2019=D．a2019=
考点：分式的混合运算．
专题：规律型．
分析：归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
解答：解：由a1=n，得到a2=1﹣=1﹣=，a3=1﹣=1﹣=﹣=，a4=1﹣=1﹣（1﹣n）=n，
以n，，为循环节依次循环，∵2019÷3=671，
∴a2019=．
故选D
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（每小题4分，共40分）
8．（4分）计算：20190+（）﹣1=4．
考点：负整数指数幂；零指数幂．
分析：分别根据零指数幂，负指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：原式=1+3=4，
故答案为：4．
点评：本题主要考查了零指数幂，负指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．
9．（4分）函数y=中自变量x的取值范围是x≠3．
考点：函数自变量的取值范围．
分析：根据分母不等于0列式进行计算即可求解．
解答：解：根据题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
点评：本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（4分）为保障公民的人身安全，对醉酒驾车行为（血液酒精含量大于或等于80毫克/百毫升）按刑事犯罪处理．某交警中队于5月1日～5月3日这3天共查到12起酒后驾车事件，这12位驾车者血液酒精含量（单位：毫克/百毫升）如下：26，58，29，92，21，43，24，27，36，46，23，31．则这组数据的极差是71毫克/百毫升．
考点：极差．
分析：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可．
解答：解：这组数据的最大数是92，最小数是21，
故这组数据的极差=92﹣21=71．
故答案为：71．
点评：本题考查了极差的知识，掌握极差的定义是解题关键．
11．（4分）正比例函数y=﹣5x中，y随着x的增大而减小．
考点：正比例函数的性质．
分析：直接根据正比例函数的图象与系数的关系进行解答即可．
解答：解：∵正比例函数y=﹣5x中k=﹣5＜0，
∴y随着x的增大而减小．
故答案为：减小．
点评：本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数y=kx中，当k＜0时，y随着x 的增大而减小是解答此题的关键．
12．（4分）命题“如果x=y，那么|x|=|y|”的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）
考点：命题与定理．
分析：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．解答：解：命题：如果x=y，那么|x|=|y|，其逆命题是如果|x|=|y|那么x=y，
是假命题，
故答案为：假．
点评：考查了命题与定理的知识，根据逆命题的定义回答，题设和结论与原命题要调换位置．
13．（4分）已知晋江市的耕地面积约为375km2，人均占有的土地面积S（单位：km2/人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化，则S与n的函数关系式是S=．
考点：根据实际问题列反比例函数关系式．
分析：利用耕地总面积以及总人数，进而表示出人均占有的土地面积．
解答：解：∵晋江市的耕地面积约为375km2，人均占有的土地面积S（单位：km2/人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化，
∴S与n的函数关系式是：S=．
故答案为：S=．
点评：此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键．
14．（4分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=100（度）．
考点：角平分线的性质．
分析：根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据
∠DBC=50°可得答案．
解答：解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC，
∵∠DBC=50°，
∴∠ABC=100°，
故答案为：100．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
15．（4分）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①A D∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是①③．（填写一组序号即可）
考点：平行四边形的判定．
专题：开放型．
分析：根据AD∥BC可得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO=DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．
解答：解：可选条件①③，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：①③．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．
16．（4分）如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店看一会儿书，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间（单位：小时），y表示小明离家的距离（单位：千米），则小明从学校回家的平均速度为6千米∕小时．
考点：函数的图象．
分析：由图象可以看出，小明家离学校有6千米，小明用（3﹣2）小时走回家，根据速度=路程÷时间即可求出小明从学校回家的平均速度．
解答：解：小明从学校回家的平均速度为：6÷1=6千米/时．
故答案为6．
点评：本题考查了函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，读懂图意是解题的关键．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB=2cm，对角线AC、BD交于点O，点E以一定的速度从A向B移动，点F以相同的速度从B向C移动，连结OE、OF、EF．
（1）△AOE≌△BOF；
（2）线段EF的最小值是cm．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF，再根据AE=BF，然后利用“SAS”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：解：（1）在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，
∵点E、F的速度相等，
∴AE=BF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
故答案为BOF．
（2）∵△AOE≌△BOF，
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠EOF=90°，
在Rt△BEF中，设AE=x，则BF=x，BE=2﹣x，
EF===．
∴当x=1时，EF有最小值为；
故答案为．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键．
三、解答题（共89分）
18．（9分）计算：•﹣．
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果．
解答：解：原式=﹣==．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（9分）已知样本数据为1，2，3，4，5，求这个样本的：
（1）平均数；
（2）方差S2．（提示：S2=[x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+（x4﹣）2+（x5﹣）2]）
考点：方差；算术平均数．
分析：（1）根据平均数的计算公式代值计算即可；
（2）根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，进行计算即可．
解答：解：（1）=（1+2+3+4+5）=3；
（2）S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．
点评：本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC是∠BAD的角平分线．
求证：△ABC≌△ADC．
考点：全等三角形的判定．
专题：证明题．
分析：根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，从而利用SAS，可判定全等．
解答：证明：∵AC是∠BAD的角平分线
∴∠DAC=∠BAC，
在△ABC和和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
点评：本题考查了全等三角形的判定，注意熟练掌握全等三角形的判定定理．
21．（9分）某校初一年学生乘车到距学校40千米的社会实践基地进行社会实践．一部分学生乘旅游车，另一部分学生乘中巴车，他们同时出发，结果乘中巴车的同学晚到8分钟．已知旅游车速度是中巴车速度的1.2倍，求中巴车的速度．
考点：分式方程的应用．
分析：关键描述语为：“结果乘中巴车的同学晚到8分钟”；本题的等量关系为：慢车走40千米所用时间﹣=快车走40千米所用时间，把相应数值代入即可求解．
解答：解：设中巴车的速度为x千米/时，则旅游车的速度为1.2x千米/时，则
﹣=，
解得x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．
答：中巴车的速度是50千米/小时．
点评：此题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题的等量关系是快车与慢车所用时间差为8分钟．注意单位要一致．
22．（9分）为了加强安全教育，2018-2019学年八年级二班参加中小学生安全知识网络竞赛．班长将全班同学的成绩整理后绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）2018-2019学年八年级二班共有50人，扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为57.6（度）；
（2）求全班同学成绩的平均数、众数、中位数．
考点：条形统计图；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．
分析：（1）根据70分的有20人，所占的比例是40%，据此即可求得总人数，用1减去其它各组所占的比例即可求得90分的人数所占的比例，用360°乘以90分的人数所占的比例即可求得对应的圆心角的度数；
（2）根据加权平均数公式，以及众数、中位数的定义求解．
解答：解：（1）2018-2019学年八年级二班共有人数：20÷40%=50（人），
90分的人数所占的比例=1﹣30%﹣40%﹣8%﹣2%﹣4%=16%，
则扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为：360°×16%=57.6°；
（2）平均数是：=76.2（分），
众数是：70分，
中位数是：（70+80）=75（分）．
点评：本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
23．（9分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）根据题意将图形补画完整（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AFCE的形状，并证明你的判断．
考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
分析：（1）分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径四弧交于两点，过两点作直线
即可得到线段AC的垂直平分线；
（2）利用垂直平分线证得△AEO≌△CFO即可证得结论．
解答：解：（1）如图，
（2）四边形AFCE是菱形
证明∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
又∵∠EOA=∠FOC，
∴△AEO≌△△CFO，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
点评：本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质，了解基本作图是解答本题的关键，难度中等．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+b与x轴交于点A，与双曲线
y=﹣在第二象限内交于点B（﹣3，a）．
（1）求a和b的值；
（2）过点B作直线l平行x轴交y轴于点C，求△ABC的面积．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：计算题．
分析：（1）先把B（﹣3，a）代入反比例函数解析式可计算出a=2，得到B点坐标，然后把B点坐标代入y=﹣x+b可计算出b的值；
（2）先利用直线BC平行x轴确定C点坐标为（0，2），然后根据三角形面积公式计算．解答：解：（1）把B（﹣3，a）代入y=﹣得﹣3a=﹣6，解得a=2，
则B点坐标为（﹣3，2）
把B（﹣3，2）代入y=﹣x+b得1+b=2，解得b=1；
（2）因为BC平行x轴，
所以C点坐标为（0，2），
所以△ABC的面积=×2×3=3．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
25．（13分）请阅读下列材料：
问题：如图①，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=120°，试探究PG与PC的位置关系及∠PCG的大小．小明同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小明的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及∠PCG的大小；
（2）将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图②）．你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？写出你的猜想并加以证明．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）延长GP交DC于点H，构造全等三角形，从而得出DH=GF，PH=PG，进而得出△GCH是等腰三角形，得出PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，由∠ABC=120°，得出∠BCD=60°，即可证得∠PCG=30°；
（2）延长GP交AD于点H，先证得△DPH≌△FPG，从而得出PH=PG，DH=FG=BG，进进而证得△CDH≌△CBG，得出CH=CG，∠DCH=∠BCG，即可证得CP⊥PG，由
∠HCG=∠HCB+∠BCG=∠HCB+∠DCH=∠DCB=60°，证得∠PCG=∠HCG=30°．
解答：解：（1）PG⊥PC，∠PCG=30°；
如图①，延长GP交DC于点H，
∵在菱形ABCD和菱形BEFG中，AE∥DC，AE∥GF，∴DC∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，
在△PDH和△PFG中，
，
∴△PDH≌△PFG（ASA），
∴DH=GF，PH=PG，
∵BG=GF，
∴DH=BG，
∵DC=BC，
∴HC=GC，
∴△GCH是等腰三角形，
∴PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴∠PCG=30°；
（2）（1）中两个结论仍成立；
证明：如图②，延长GP交AD于点H，连接CG，
∵四边形ABCD和BEFG是菱形
∴AD∥BC，BE∥FG，
∵E在CB的延长线上
∴AD∥FG，
∴∠HDP=∠GFP，
在△DPH和△FPG中，
，
∴△DPH≌△FPG（ASA），
∴PH=PG，DH=FG=BG，
在△CDH和△CBG中，
，
∴△CDH≌△CBG（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴CP⊥PG，
∵∠HCG=∠HCB+∠BCG=∠HCB+∠DCH=∠DCB=60°，∴∠PCG=∠HCG=30°．
点评：本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键．
26．（13分）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣12，16），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x 轴分别交于点D、F．
（1）直接写出线段BO的长；
（2）求直线BD解析式；
（3）若点N在直线BD上，在x轴上是否存在点M，使以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出一个满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题．
分析：（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据△OED∽△OAB，求得D点坐标，然后应用待定系数法即可求得；
（3）先根据相似求得E点的坐标，然后根据EM∥BD和直线BD的解析式为：y=﹣x+10，
设出解析式，把E点的坐标代入即可．
解答：解：（1）20；
（2）∵矩形ABCO中点B的坐标是（﹣12，16），
∴AB=12，OA=16，
设D（0，a）则OD=a，AD=ED=16﹣a，
在Rt△AOB与Rt△EOD中，∠AOB=∠EOD，∠OAB=∠OED=90°，
∴△OED∽△OAB，
∴=，即=，
解得：a=10，
∴D（0，10），
设直线DB的解析式y=kx+b经过B（﹣12，16），D（0，10），
∴有，解得，
∴直线BD的解析式为：y=﹣x+10，
（3）如图2，作EG⊥x轴于G，作EM∥BD交轴与M，MN∥ED交BF于N，∴四边形DEMN是平行四边形，
∵EG⊥x轴，BC⊥x轴，
∴EG∥BC，
∴==，
∵OB=20，BE=12，BC=16，OC=12，
∴OE=8，
即==，
∴EG=6.4，OG=4.8，
∴E（﹣4.8，6.4），
∵直线BD的解析式为：y=﹣x+10，
∴设直线EM的解析式为：y=﹣x+b，
把E（﹣4.8，6.4）代入得6.4=﹣×（﹣4.8）+b，
解得；b=4，
∴直线EM的解析式y=﹣x+4，
令y=0，则﹣x+4=0，解得x=8，
∴M（8，0）．
点评：本题考查了待定相似法求解析式，轴对称的性质，三角形相似的判定及性质，两条直线平行其斜率相等是解题中经常用到的依据．。