安徽省淮南市2022届高三下学期二模理科数学试题(含答案解析)

安徽省淮南市2022届高三下学期二模理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．已知集合{}26A x x =>，{}
232x
B x =<，则A B =
A ．()3,4
B ．()4,5
C ．()3,+∞
D ．()3,5
2．己知复数z 满足(1i)2i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．13i 22
+
B ．13i 22
-
C ．13i 22-+
D ．13i 22
--
3．1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的
3
4
次幂成正比，即3
40F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间
生长，其体重为原来的10 1.7783）（ ）
A ．5.4倍
B ．5.5倍
C ．5.6倍
D ．5.7倍
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,6n n S S ==，则4n S =（ ） A ．8
B ．12
C ．14
D ．20
5．盒中装有形状大小相同的球6个，其中红球3个，编号为1、2、3，蓝球3个，编号为4、5、6，从中取2球，则两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率为（ ）
A ．15
B ．25
C ．
310 D ．45
6．已知ππ34
0,π,sin ,cos()2255
αβααβ<<<<=+=-，则sin β=（ ） A ．
2425
B ．24
25
-
C ．2425-
或2425
D ．0或
24
25
7．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为
3
π
的直线与抛物
线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，若AFK △的面积是p 的值为（ ） A ．1
B ．2
C
D ．3
8．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π
0,0,||2
A ωϕ>><）的图象如图所示，下列4个命题中错误．．
的是（ ）
A ．向左平移
7π
12
个单位长度后图象关于y 轴对称 B ．向右平移6
π个单位长度后的图象关于坐标原点对称 C ．π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
是它的一个对称中心
D ．单调递减区间是π7π2π,2π(Z)1212k k k ⎛
⎫++∈ ⎪⎝
⎭
9．对任意的R x ∈，函数()f x 满足()()4f x f x +-=．若函数2sin ()()sin 1
x
g x f x x =+
+在
区间[2022,2022]-上既有最大值又有最小值，则函数()g x 的最大值与最小值之和为（ ） A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
10．从双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->引圆222x y a +=的切线，切
点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若
||||2MO MT a c -=-，则双曲线的离心率为（ ）
A
．4
3
B ．53
C ．2 D
11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E ，F ，G 分别为BC ，1CC 、1BB 中点，现有下列4个命题：①直线1DD 与直线AF 垂直；①直线1A G 与平面AEF 平行；①点C 与
点G 到平面AEF 的距离相等；①平面AEF 截正方体所得的截面面积为9
8
．其中正确的
是（ ）
12．已知()()12()ln ,()e ,x a
f x x x a
g x x f x g x +=+-=+=，若
1
2
1x x ≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,e]-∞ C ．(,1]-∞ D ．[e,)+∞
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足条件22000x y y x y a --≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，若目标函数2z x y =+的最大值为6，则实数=a ________．
14．3D 打印又称增材制造，是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术为了培养青少年的创新意识和应用技能，某学校成立了3D 打印社团，学生们设计了一种几何体，其三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1cm ），如果这种打印原料的密度为31.50g/cm ，不考虑打印消耗，则制作该模型所需原料的质量约为_______g ．（π取3.14）
15．已知平面向量,a b 的夹角为60︒，且||3a b +=，则||||a b +的最大值为________．
16．ABC 中，120,BAC AO ∠︒=
为BC 边上的中线，AO =2AB AC -的取值范围是________． 三、解答题
17．已知数列{}n a 满足：11
2a =
，对n N +∀∈，都有1122
n n a n a +=++． (1)设,n n b a n n N +=-∈，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)设数列{}n a 的前n 项和为n S
，求n S ．
18．在某种产品的生产过程中，需对该产品的关键指标进行检测为保障产品质量，检验员在一天的生产中定期对生产线上生产的产品进行检测每次检测要从该产品的生产
线上随机抽取20件进行检测，测量其关键指标数据．根据生产经验，可以认为这条产品生产线正常状态下生产的产品的关键指标数据服从正态分布()2
,N μσ
，在检测中，
如果有一次出现了关键指标数据在(3,3)μσμσ-+之外的产品，就认为这条生产线在这一天的生产过程出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查． (1)下面是检验员在一次抽取的20件产品的关键指标数据：
经计算得20119.96,0.1920i i x x s =====≈∑．其中i x 为抽取的第i 件产品的关键指标数据，1,2,
,20i =．用样本平均数x 作为μ的估计值
ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进
行检查？
(2)如果一天内共进行四次检测，若有连续两次出现生产过程检查，则需停止生产并对生产设备进行检修．试求一天中需对生产设备进行检修的概率（精确到0.001）． 附：若随机变量X 服从正态分布()2
,N μσ
，则3309().974P X μσμσ
-<<+=，
190.99740.9517≈，
200.99740.9493≈，20.05070.0026≈，20.94930.9012≈
．
19．如图①，四边形ABCD 是等腰梯形，1
//,22
AB CD AB BC CD ===，E 是CD 的中
点，将DAE △沿AE 折起，构成如图①所示的四棱锥D ABCE '-．
(1)设M 是AB 的中点，在线段D E '是否存在一点N ，使得//MN 平面D BC '？如果存在，求出点N 的位置；如果不存在，请说明理由．
(2)如果平面D AE '⊥平面ABC ，求平面D AE '与平面D BC '所成锐二面角的大小． 20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点P ，左焦点为F ，||=PF
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点(4,0)D -作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点F 且垂直于x 轴的直线交直线l 于点E ，记,DA DB EA EB λμ==，求证：0λμ+=． 21．已知函数2()1e (1),1,1x f x k x x k R x ⎛
⎫=--->-∈ ⎪+⎝⎭
．
(1)若0k =，证明：(1,0)x ∈-时，()1f x <-；
(2)若函数()f x 恰有三个零点123,,x x x ，证明：1231x x x ++>．
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α=⎧⎨=+⎩
（其中α为参数，
02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标
系，直线1l 的极坐标方程为(R)3
π
θρ=∈．
(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；
(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值．
23．已知函数2()2|2|f x x x =--． (1)求不等式()7f x ≥的解集；
(2)设函数()f x 在[2,)+∞上的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：22
8a b a
+≥．
参考答案：
1．D 【解析】
解出集合A 、B 中的不等式即可 【详解】
易得{}|3A x x =>，{}|5B x x =<，所以()3,5A B =， 故选：D. 【点睛】
本题考查的是集合的运算及指数不等式的解法，较简单. 2．A 【解析】 【分析】
利用复数的除法法则求解出复数z ，从而求出复数z 【详解】 由题意得：()()()()2i 1i 2i 13i
1i 1i 1i 2
z ----===++-， 所以z =
13i 22
+ 故选：A 3．C 【解析】 【分析】
利用幂的运算性质去求解即可解决 【详解】
设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则3
4101F c M =，
经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3
420110F c M ⋅= 则()33334
4
4
4
201011101010F c M c M F =⋅=⋅⋅=，则3
234
1
10 1.7783 5.6F F ≈=≈
故选：C 4．D
【解析】 【分析】
依据等差数列的性质去求4n S 的值 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S =，2624n n S S -=-=
则n S ，2n n S S -，32n n S S -，43n n S S -构成首项为2，公差为2的等差数列 则4n S =n S +(2n n S S -)+ (32n n S S -)+ (43n n S S -)=2+4+6+8=20 故选：D 5．B 【解析】 【分析】
依据古典概型去求两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率 【详解】
记“从盒中取2球，两球颜色不同，且编号之和不小于7”为事件A
则11
23
2
61+C C 2()C 5
P A +== 故选：B 6．A 【解析】 【分析】
根据同角三角函数关系求出4cos 5
α=
，3sin()5αβ+=±，凑角法求出24
sin 25β=或
sin 0β=，舍去不合题意的解，得到答案.
【详解】 因为π3
0,sin 25αα<<=
，所以4cos 5α==， 因为ππ0,π22αβ<<
<<，所以π3π22
αβ<+<， 因为4
cos()5
αβ+=-，
所以3sin()5αβ+=±
当3
sin()5
αβ+=时，
()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦
344324555525
=⨯+⨯=， 因为ππ2
β<<， 所以sin 0β>，故24
sin 25
β=满足题意， 当3
sin()5
αβ+=-时，
()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦
344305555
=-⨯+⨯=
因为ππ2
β<<，故sin 0β=不合题意，舍去； 故选：A 7．B 【解析】 【分析】
根据抛物线的定义，结合条件，可得AKF 的形状，进而可得三角形的边长，进而可得. 【详解】
根据抛物线的定义可知，AF AK =，又3
AFx π∠=
，AK l ⊥，
故AKF 是等边三角形，又AFK △的面积是 故可得4AF AK ==， 故22OF p ==. 故选：B. 8．D 【解析】 【分析】
根据图象求得()f x 解析式，然后结合三角函数图象变换、三角函数的对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】
根据图象可知1A =，()ππ0sin ,23
f ϕϕϕ==
<=， ()π7π7ππsin ,sin 1312123f x x f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
7ππ3π24
2π,2,Z,012327
k k k ωωω⋅
+=+=+∈>， 根据()f x 的图象可知
37π7π2π7π18
,,,412997
T T ωω>>><， 所以2ω=，()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
A 选项，根据()f x 图象可知，()f x 关于直线7π
12
x =
对称，
所以()f x 向左平移
7π
12
个单位长度后图象关于y 轴对称，A 选项命题正确. B 选项，()f x 向右平移6π
个单位长度后得ππsin 2sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，
图象关于原点对称，B 选项命题正确.
C 选项，π2ππsin 0333f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心，C 选项命题正确.
D 选项，ππ3ππ7π
2π22π,ππ2321212
k x k k x k +
≤+≤++≤≤+， 所以()f x 的减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦，D 选项命题错误.
故选：D 9．C 【解析】 【分析】
结合函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】
依题意对任意的R x ∈，函数()f x 满足()()4f x f x +-=，
()()220f x f x -+--=，所以函数()()2F x f x =-为奇函数， 2sin ()()sin 1
x
g x f x x =+
+，
令()G x =()22sin sin ()2()2sin 1sin 1
x x
g x f x F x x x -=-+=+++（R x ∈），
()()()()2
2sin sin sin 1sin 1
x x G x F x F x G x x x ---=-+
=-+=-++， 所以()G x 为奇函数，
所以()G x 区间[2022,2022]-上的最大值与最小值之和为0， 所以()()2g x G x =+，所以函数()g x 的最大值与最小值之和4. 故选：C 10．B 【解析】 【分析】
先求得a c 、的关系，再去求双曲线的离心率
【详解】
设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2(,0)(0)F c c >，连接2PF ,OM
则①2PF F 中，FM MP =,2FO OF =，则21
2
MO PF =
由直线FT 与圆222x y a +=相切，可得FT b =
==
又双曲线22
221x y a b
-=中，22PF PF a -=
则22111
||||||(||||)(||||)||222MO MT PF PF FT PF PF FT b a -=--=-+=-
又||||2MO MT a c -=-，则2a c b a -=-，整理得3a c b -= 两边平方整理得2530a ac -=，则双曲线的离心率5
3
c e a == 故选：B 11．C 【解析】 【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法判断①①的正确性；画出平面AEF 截正方体所得的截面,由此判断①①的正确性. 【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，
()10,0,1DD =，()111,0,0,0,1,,1,1,22A F AF ⎛⎫⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
11
02
DD AF ⋅=≠，所以①错误.
11,1,0,,1,022E AE ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，
则10210
2n AF x y z n AE x y ⎧
⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩
，故可设()2,1,2n =.
()1,0,0FG CB ==，所以G 到平面AEF 的距离为
2
3
n FG n
⋅=
， 10,0,2CF ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，所以C 到平面AEF 的距离为13n CF n
⋅
=，所以①
错误.
根据正方体的性质可知11
////EF BC AD ，1,,,A E F D 四点共面， 11EF AD D F AE =
===
所以平面AEF 截正方体所得的截面为等腰梯形1AEFD ，
根据正方体的性质可知11//AG D F ，由于1
AG ⊂/平面AEF ，1D F ⊂平面AEF ， 所以1//A G
平面AEF ，所以①正确.
等腰梯形1AEFD
， 所以等腰梯形1AEFD 的面积为9228
=，①正确. 所以正确的为①①. 故选：C
12．A 【解析】 【分析】
利用同构构造()e x
h x x =+，得到()()12ln h x h x a =+，结合()e x
h x x =+的单调性，得到
1222ln ln a x x x x =-≥-，构造()ln x x x ϕ=-，求出其最大值，得到a 的取值范围.
【详解】
由题意得：1>0x ，又因为
1
2
1x x ≥，所以20x >， 2112ln e x a x x a x ++-=+，即2112ln e x a x x x a ++=++，
所以1
2ln 12ln e
e x x a x x a ++=++，
设()e x
h x x =+，
则()()12ln h x h x a =+，
()1e 0x h x '=+>，所以()e x h x x =+单调递增，
所以12ln x x a =+， 因为
1
2
1x x ≥， 所以1222ln ln a x x x x =-≥-， 令()ln x x x ϕ=-，0x >，
则()111x x x x
ϕ-'=
-=， 当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<， 故()ln x x x ϕ=-在1x =处取得极大值，也是最大值，
()()1ln111x ϕϕ≤=-=-，
故[1,)a ∈-+∞. 故选：A 【点睛】
同构构造函数，求解参数取值范围问题，通常适用于方程或不等式同时出现了指数函数与对数函数，此时利用同构构造函数，往往会是解题的突破口. 13．4 【解析】 【分析】
依据线性规划去求实数a 的值 【详解】
画出不等式组220
00x y y x y a --≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
表示的平面区域如下
由26220x y x y +=⎧⎨--=⎩
，可得(2,2)N ，
由点(2,2)N 在直线0x y a +-=上，可得220a +-=，则4a = 故答案为：4
14．6.28 【解析】 【分析】
先依据三视图去求该几何体的体积，再去求其质量 【详解】
该几何体下半部为底面半径为1高为1的圆柱，上半部为半径为1的球体的四分之一， 则该几何体的体积为23
144π11+π1π433⨯⨯⨯⨯=
故制作该模型所需原料的质量4
π 1.502π 6.28(g)3
⨯=≈
故答案为：6.28 15．2 【解析】 【分析】
对||3a b +=两边平方后得到()
2
3a b a b ⋅=+-，利用基本不等式求出(]0,2a b +∈.
【详解】
||3a b +=，两边平方得：22
2cos603a a b b +⋅︒+=，
即22
3a a b b +⋅+=，
变形为()
2
3a b a b
⋅=+-，
其中()
2
4
a b a b +⋅≤
，当且仅当a b =时等号成立，
所以(
)
()
2
2
34
a b a b
++-≤
，
解得：(]0,2a b +∈ 故答案为：2
16．(- 【解析】 【分析】
结合向量数量积的运算求得,,AB AC BC 的关系式，设22,2b z AB AC c b c z -==+=-代入
上述关系式，结合一元二次方程根的分布求得z ，也即2AB AC -的取值范围. 【详解】
设,,AB c AC b BC a ===，,,a b c 为正数，
依题意：ABC 中，120,BAC AO ∠︒=为BC 边上的中线，AO =
2AO AB AC =+，两边平方得222
42AO AB AB AC AC =+⋅+， 2212b c bc =+-，2212b c bc +=+①，
设22,2b z AB AC c b c z -==+=-，代入①得()()2
21222b z b b z b =++-+， 整理得2233120b zb z ++-=①，此方程至少有1个正根，
首先()22
912120z z ∆=--≥，解得z -≤，
在三角形ABC 中，由余弦定理得222222cos1201220a b c bc b c bc bc =+-︒=++=+>恒成立，
即()12220b z b ++>恒成立，整理得6
2z b b
>--恒成立，
由于6622b b b b ⎛
⎫--
=-+≤-=- ⎪⎝
⎭62,b b b ==
所以z >-①可得z -<≤. 对于方程①： 若对称轴30,03
z
z z -=-==，方程①变为23120,2b b -==，符合题意. 若对称轴30,03
z
z z -=-><，则方程①至少有一个正根，符合题意， 若对称轴30,03
z
z z -
=-<>，要使方程①至少有一个正根，则需2120z -<，解得
0z <<
综上所述，z 也即2AB AC -的取值范围是(-.
故答案为：(- 【点睛】
有关三角形中线长度问题的求解，可考虑利用向量运算来建立关系式.有关三角形边长的和、差的取值范围，可考虑余弦定理（或正弦定理），结合基本不等式（或三角函数的取值范围）等知识来求解.
17．(1)证明见解析 (2)1(1)
122n
n n n S +⎛⎫=-++
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】 （1）利用1122n n a n
a +=
++变形得到112
n n b b +=，从而证明出结论；（2）求出12n
n n a b n n ⎛⎫
=+=-+ ⎪⎝⎭，分组进行求和.
(1)
因为n n b a n =-，所以n n a b n =+． 又1122n n a n a +=
++，所以11122
n n b n n b n ++++=++， 化简得：11
2
n n b b +=．
因为112a =
，所以111122
b =-=-， 所以数列{}n b 是首项为12
-，公比为1
2的等比数列．
(2)
由（1）可得：1
111222n n
n b -⎛⎫
⎛⎫=-=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， 所以12n
n n a b n n ⎛⎫
=+=-+ ⎪⎝⎭
，
所以2
111(123)222n n S n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++
++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥
⎣⎦
11122(1)1(1)1122212
n
n n n n n ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-
+=-++ ⎪
⎝⎭
-．
18．(1)需对本次的生产过程进行检查 (2)0.007 【解析】 【分析】
（1）根据用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，可观察数列有无在区间ˆˆˆˆ(3,3)μ
σμσ-+外的，可得答案; （2）求出在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查的概率，即可求得在一天的四次检测中，有连续两次需对生产过程进行检查的概率. (1)
由9.96,0.19x s ==，得μ的估计值为9.6,ˆ9μ
σ=的估计值为ˆ0.19σ=， 则ˆˆˆˆ(3,3)μ
σμσ-+为(9.39,10.53) ， 由样本数据可以看出有一件产品的关键指标数据9.22在ˆˆˆˆ(3,3)μ
σμσ-+之外， 因此需对本次的生产过程进行检查． (2)
设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A ， 则2020()1[(0)]1(0.9974)10.94930.0507P A P X =-==-=-=； 如果在一天中，需停止生产并对生产设备进行检修， 则在一天的四次检测中，有连续两次需对生产过程进行检查， 故概率为2222[()][1()][()][1()][()]P P A P A P A P A P A =-⋅-++ 22220.05070.94930.05070.94930.0507≈+⨯+⨯
0.00260.94930.00260.90120.00260.007≈+⨯+⨯≈
故一天中需对生产设备进行检修的概率为0.007． 19．(1)存在，点N 为线段D E '的中点 (2)45︒ 【解析】 【分析】
（1）作出辅助线，证明面面平行，进而证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角. (1)
存在，点N 为线段D E '的中点
如图，连接AC 、BE ，交于点P ，连接MP ,MN ,NP .
由题设可知四边形ABCE 是菱形，所以点P 是线段BE 的中点． 因为M 是AB 的中点，N 是线段D E '的中点，
所以////MP AE BC ，//NP D B '，
因为,MP NP ⊄平面D BC '，,D B BC '⊂平面D BC '， 所以//MP 平面,//D BC NP '平面D BC '． 因为MP
NP P =，
所以平面PMN //平面D BC '．
又MN ⊂平面PMN ，所以//MN 平面D BC '．
(2)
取AE 的中点O ，连接D O '、BO ． 由题设可知D AE '是等边三角形， 所以D O AE '⊥．
因为平面D AE '⊥平面,ABC D O '⊂平面D AE '， 所以D O '⊥平面ABC ．
因为60,EAB AED AB AE ∠=∠=︒='，所以ABE △是等边三角形，所以BO AE ⊥． 分别以射线OA 、OB 、OD '为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，
由1
22
AB BC CD ===
，易得(1,0,0),A B D '．
所以2(2,0,0)BC AO ==-
，(0,BD ='． 设平面D BC '的一个法向量为()000,,n x y z =，
则()()(
)(000000·,,2,0,00,·,,0,0n BC x y z n BD x y z ⎧=⋅-=⎪⎨=⋅=⎪⎩
'
，得0000,0x =⎧⎪⎨=⎪⎩，
取001y z ==，所以(0,1,1)n =．
设平面D AE '与平面D BC '所成锐二面角为θ，因为平面D AE '
的一个法向量为(0,OB =，
所以cos ||||2n OB n OB θ⋅=
==45θ=︒．
故平面D AE '与平面D BC '所成锐二面角的大小为45︒． 20．(1)
2
2
18
4
x y +
=
(2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）待定系数法去求椭圆C 的标准方程；
（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的标准方程联立，利用设而不求的方法去证明0λ
μ+= (1)
设点(,0)F c -，由题意得22
222
42
1,18,a b a b c ⎧
+=⎪=-=⎪⎪⎩
解之得228,4,2a b c ===． 所以椭圆C 的标准方程为2
2
18
4
x y +
=；
(2)
设直线l 的方程为(4)y k x =+）（斜率k 显然存在），代入
2
2
18
4
x y +
=，
整理得()()
222212168410k x k x k +++-=． 由()()()2222163212410k k k ∆=-+->
，得22
k -<< 则2
1221612k x x k +=-+，()212284112k x x k
-=+， 因为(2,0)F -，所以(2,2)E k -．
设()()()()1122,4,,4A x k x B x k x ++，则1122(4,(4)),(4,(4))DA x k x DB x k x =+++=+，由DA DB λ=，可得1244
x x λ+=+ 1122(2,(2)),(2,(2))EA x k x EB x k x =+++=+，由EA EB μ=，得1222x x μ+=
+， 所以()()()()()()
12121122224224424242x x x x x x x x x x λμ++++++++=+=++++ ()()()()()()
22
22121222228411626162616121204242k k x x x x k k x x x x -⨯-⨯++++++===++++ 21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当0k =时，1()e ,(1,0)1
x x f x x x -=∈-+，求导，得到导函数大于0恒成立，故得到()(0)1f x f <=-；（2）首先确定1x =为函数的一个零点，接下来研究e ()1
x F x k x =-+，构造差函数，求导后单调性，得到证明.
(1)
0k =时，函数1()e ,(1,0)1
x x f x x x -=∈-+， 则22
1()e 0(1)x x f x x +='>+， ()f x 在(1,0)-上单调递增， 所以1()e (0)11
x x f x f x -=
<=-+． (2)
e ()(1)1x
f x x k x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭
，显然1x =为函数的一个零点，设为3x ； 设函数e ()1
x
F x k x =-+，2e ()(1)x x F x x '=+ 当(1,0)x ∈-时，()0F x '<，当,()0x ∈+∞时，()0F x '>，
故()F x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．
由已知，()F x 必有两个零点12,x x ，且1210x x -<<<，下证：120x x +>．
设函数()()(),(1,0)h x F x F x x =--∈-，则e e ()11
x x
h x x x -=++-， 2e 11()e e (1)11x x x x x x h x x x x -++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭
'， 由于(1,0)x ∈-，则2e 1e 0(1)1x x x x x x -+⎛⎫-< ⎪+-⎝⎭
， 由（1）有1e 01
x x x ++>-，故()0h x '<， 即函数()h x 在(1,0)-上单调递减，
所以()(0)0h x h >=，
即有()()()211F x F x F x =>-，
由于12,(0,)x x -∈+∞，且在(0,)+∞上单调递增，
所以21x x >-，
所以120x x +>．
【点睛】
对于极值点偏移问题，通常要构造差函数，结合差函数的单调性和最值，进行证明.
22．(1)4sin ρθ=，y =
(2)【解析】
【分析】
（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可.
(1)
曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
直线1l 的直角坐标方程为y =
(2)
由（1）可知π||4sin 3
OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，
根据条件知要使AOB 面积取最大值，则
ππ3
β<<，则||4sin OB β=，
于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=---=+ ⎪⎝
⎭，
所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB 的面积取最大值，最大值为
23．(1)(,1[3,)-∞--+∞
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）讨论2x ≥和2x <分别求解；
（2）当[2,)x ∈+∞时，易知函数()f x 的最小值为4m =，可得4b a =-，代入整理得 221628a b a a a
+=+-，再利用基本不等式． (1)
原不等式可化为
①()22227x x x ≥⎧⎨--≥⎩；①()22227x x x <⎧⎨+-≥⎩
． 解①得3x ≥；
解①得1x ≤--，
所以原不等式的解集为(,1[3,)-∞--+∞．
(2)
当[2,)x ∈+∞时，22()2(2)(1)3f x x x x =--=-+在[2,)+∞上单调递增 所以函数()f x 的最小值为4m =，于是4a b +=即4b a =-
2222(4)16
2888a b a a a a a a ++-==+-≥=，
当且仅当4a b ==-
即22
8a b a +≥。