线性代数第四版课件 3-3,4,5

1 , x2 + y2 ≤1 f ( x, y) = π 0, 其它
求 fY|X ( y | x)
解 X的边缘密度为 的边缘密度为
2 1− x2 , | x |≤1 f X ( x) = ∫ f ( x, y)dy = π −∞ 0, | x |>1
∞
y
o
x
概率论
2 1− x2 , | x |≤1 f X ( x) = ∫ f ( x, y)dy = π −∞ 0, | x |>1
求 P{X>1|Y=y}. 解 P{ X > 1 Y = y} = 为此, 为此 需求出
∫
∞
1
f X |Y ( x | y )dx
f X|Y ( x | y)
由于 fY ( y) =
∫
∞
概率论
−∞
f ( x, y)dx
−y
=∫
∞
e
−x y
0
e y
−y
e −x y ∞ [− ye ] dx= 0 y
n次射击
击中
击中
概率论
由独立性得， 由独立性得，
P{ X = m,Y = n} = ( 1 − p)
m−1
p( 1 − p)
n−m−1
p = p ( 1 − p)
2
n−2
因此X和 的联合分布律为 因此 和Y的联合分布律为
P{ X = m,Y = n} = p ( 1 − p)
2
n−2
( n=2,3,
推广到随机变量 设有两个r.v 在给定Y取某个或某些值 设有两个 X,Y ， 在给定 取某个或某些值 的条件下， 的概率分布. 的条件下，求X的概率分布 的概率分布 这个分布就是条件分布. 这个分布就是条件分布
概率论
例如，考虑某大学的全体学生， 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽 取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X 取一个学生，分别以 和 都是随机变量， 和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布 都是随机变量 它们都有一定的概率分布. 体重X 体重 的分布
1 , 0 < x < y <1 = 1− x 0, 其它
已知边缘密度、 已知边缘密度、 条件密度， 条件密度，求 联合密度
y
y=x
1 y
于是得Y的概率密度为 于是得 的概率密度为
fY ( y) = ∫ f ( x, y)dx
−∞
∞
o
x
y 1 ∫ dx = −ln(1− y), = 0 1− x 0,
0 < y <1 其它
概率论
三、课堂练习
1 . 对于二维正态分布，在已知 X= x 条件下，求Y 对于二维正态分布， 条件下 的条件分布. 的条件分布 2 . 设(X,Y)的概率密度是 的概率密度是
∞
当|x|<1时,有 时有
f ( x, y) fY|X ( y | x) = fX ( x)
y
=
1π (2 π ) 1− x2
=
1 2 1− x2
x
,
o
x x x
(− 1− x2 ≤ y ≤ 1− x2 )
概率论
X作为已知变量 作为已知变量
即 当 |x|<1 时,有 有
1 , − 1− x2 ≤ y ≤ 1− x2 fY|X ( y | x)= 2 1− x2 0, y 取其它值
x x
f ( x, y) f X|Y ( x | y) = fY ( y)
P{ X ≤ x Y = y} 或FX Y ( x y)
概率论
即
P{ X ≤ x Y = y} = FX Y ( x y) = ∫
类似地,可以定义 类似地 可以定义
x
−∞
f ( x, y) dx fY ( y)
f ( x, y) fY|X ( y | x) = f X ( x)
F X ( y x) = ∫ Y
y −∞
f ( x, y) dy fX ( x)
概率论
条件密度函数的性质
性质⒈ 性质⒈ 对任意的 x ，有 f X Y ( x y ) ≥ 0
+∞
性质⒉ 性质⒉
−∞
∫
f X Y ( x y )dx = 1
简言之， 是密度函数． 简言之， f X Y ( x y )是密度函数．
一、离散型随机变量的条件分布
概率论
定义1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固 是二维离散型随机变量， 定义 定的 j，若 P{Y = yj } > 0，则称 ， ， P X = xi ,Y = yj pi j P{X= xi |Y= yj }= = ，i=1,2, … p• j P Y = yj
2
0
∑ P{ X = x
i =1
∞
i
|Y = yj} = ∑
i =1
∞
1 = p• j p• j
pij
∑p
i =1
∞
ij
=
p• j p• j
= 1.
概率论
例38 0 38 0
0 18
P{ X = xi }
18 38 38 18
P Y = yj
{
}
68 28
概率论
概率论
定义2 定义
( X,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y) , 若对于固定 y , fY ( y) > 0, 则称 f ( x, y) 为在 Y = y 的条件下 的 fY ( y)
条件概率密度. X 的条件概率密度 记为
设 X 和 Y 的联合概率密度为 f ( x, y) ,
f ( x, y) dx 为在 Y = y 称 ∫ fX Y ( x y) dx = ∫ −∞ −∞ f ( y) Y 的条件下, 条件分布函数. 的条件下 X 的条件分布函数 记为
概率论
于是可求得： 于是可求得： 当n=2,3, …时， 时
P{ X = mY = n}
联合分布 边缘分布
P{X = m,Y = n} = P{ = n} Y
2 n−2
p (1− p) = 2 n−2 (n −1) p (1− p) 1 = , m=1,2, …,n-1 n −1
概率论
当m=1,2, …时， 时
ε →0+
f ( x, y) f X|Y ( x | y) = 为例 fY ( y)
∫−∞ f ( x, y +θ1ε )dx → ∫−∞ f ( x, y)dx ( ε →0 +) =
x x
y
fY ( y +θ2ε )
fY ( y)
概率论
FX Y ( x y) ≜ P{X ≤ xY = y} =
也有类似的性质． 对于条件密度函数 fY X ( y x )也有类似的性质．
概率论
我们来解释一下定义的含义： 我们来解释一下定义的含义： 以
P{X ≤ xY = y} = lim P{X ≤ x y < Y ≤ y + ε}
P{X ≤ x, y < Y ≤ y + ε} P{X ≤ x y < Y ≤ y + ε} = P{y < Y ≤ y + ε} x x y+ε f ( x, y)dydx ∫−∞ ∫ y = ε ∫ ∞ f ( x, y +θ1ε )dx − = y+ε ε ⋅ fY ( y +θ2ε ) fY ( y)dy ∫
P{Y = n X = m}
P{X = m,Y = n} = P{X = m}
p (1− p) = m−1 p(1− p)
2
n−2
= p(1− p)
n−m−1
,
n=m+1,m+2, …
概率论
二、连续型随机变量的条件分布
是二维连续型 设 (X,Y)是二维连续型 ， 由于对任意 y, 是二维 连续型r.v 由于对任意x, P{X=x}=0, P{Y=y}=0 ，所以不能直接用条件概 率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件 率公式得到条件分布 ， 概率密度的定义. 概率密度的定义
y y
=e ,
于是对 y>0,
−y
0< y <∞
−x y
o
y
x
f ( x, y ) e f X |Y ( x | y ) = = , fY ( y ) y
故对y >0,
x >0
P{X>1|Y=y} = ∫
∞
e
−x y
1
= −e
−x y ∞ 1
=e
−1 y
y
dx
概率论
服从单位圆上的均匀分布， 例3 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率 服从单位圆上的均匀分布 密度为
f ( x, y) ∫−∞ fY ( y) dx
x
⇓
d f ( x, y) fX Y ( x y) = FX Y ( x y)= dx fY ( y)
概率论
例2 设(X,Y)的概率密度是 的概率密度是
e−x ye− y , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞ f ( x, y) = y 0 , 其它
P{Y = y j | X = xi } =
P{ X = xi , Y = y j } P{ X = xi }
=
pij pi•
, ( j = 1 , 2 , ⋯)
条件下随机变量Y 为在 X = xi 条件下随机变量 的条件分布律。 条件分布律具有分布律的以下特性： 条件分布律具有分布律的以下特性： 具有分布律的以下特性 10 P{ X = xi | Y = yj } ≥ 0； ；