新初中数学方程与不等式之无理方程难题汇编附解析(2)

新初中数学方程与不等式之无理方程难题汇编附解析(2)

一、选择题

1．1x =+的根是__________

【答案】x ＝2

【解析】

【分析】

先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x 2＝4，求出x 的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解．

【详解】

解：方程两边平方得，2x ＋5＝x 2＋2x ＋1，

移项合并同类项得：x 2＝4，

解得：x 1＝2，x 2＝−2，

经检验x 2＝−2不是原方程的解，

则原方程的根为x ＝2；

故答案为x ＝2．

【点睛】

本题考查了解无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．

2．若关于x 的方程103=恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．

【答案】0a =或316a ≥-

【解析】

【分析】

，∴y ≥0，则原方程可化为：211023ay y +

-=， 根据方程只有一个正根，即可解决问题．

【详解】

y ,∴y ≥0,则原方程可化为：211023ay y +

-=， ∵方程恰有两个不同的实数解，

∴△=0或a =0或a >0(此时方程两根异号,y 只有一个正根,x 有两个不同的实数解) 当△=0时,14043

a +=， 解得：316a =-

，

故实数a 的取值范围是：0a =或316a ≥-

， 故答案为：0a =或316

a ≥-

【点睛】 考查无理方程，难度一般，关键是掌握用换元法求解无理方程.

3．5=的根为_____．

【答案】﹣2或﹣7

【解析】

【分析】

把无理方程转化为整式方程即可解决问题．

【详解】

两边平方得到：，

，

∴（x+11）（2-x ）=36，

解得x=-2或-7，

经检验x=-2或-7都是原方程的解．

故答案为-2或-7

【点睛】

本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程．

4．1=的解是 ．

【答案】x =1

【解析】

【分析】

根据算术平方根的意义，方程两边分别平方，化为整式方程，然后求解即可.

【详解】

两边平方得2x ﹣1=1，解得x=1．

经检验x=1是原方程的根．

故本题答案为：x=1．

5．如果关于x 1k 0+=没有实数根，那么k 的取值范围是___________________．

【答案】1k >

【解析】

【分析】

根据关于x 的无理方程2x +=1+k 没有实数根，可知1-k ＜0，从而可以求得k 的取值范围．

【详解】 ∵关于x 的无理方程2x +=1-k 没有实数根，

∴1-k ＜0，

解得，k >1，

故答案为：k >1．

【点睛】

本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法，无实数根应满足什么条件．

6．方程320x x -⋅-=的解是_______________

【答案】x=2

【解析】

【分析】

由题意可知3-x=0或2-x=0，再结合二次根式有意义的条件即可求得答案.

【详解】

∵3x 2x 0-⋅-=，

∴3x -=0或2x 0-=，

∴x=3或x=2，

检验：当x=3时，2-x<0，2x -无意义，故x=3舍去，

∴x=2，

故答案为x=2.

【点睛】

本题考查了解无理方程，熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

7．方程

=0的解为__________． 【答案】

【解析】

【分析】

将原方程两边平方得出关于x 的整式方程，解之求得x 的值，再由二次根式有意义的条件可确定x 的最终结果．

【详解】

解：将原方程两边平方得（x−5）（x−4）＝0，

则x−5＝0或x−4＝0，

解得：x ＝5或x ＝4，

∵x −5≥0，

x−4≥0，

解得：x≥5，

∴x＝5，

故答案为：x＝5．

【点睛】

本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．

8．3的解是_____．

x=

【答案】5

【解析】

分析：把方程两边平方，去根号后求解.

x-=

详解：两边同时平方，得：219,

x=

解得：5,

x=是原方程的解.

经检验，5

x=

故答案为 5.

点睛：考查无理方程的解法，解无理方程通常用的方法是两边平方法或者换元法.

9．x

=-的根是______．

【答案】x=﹣2

【解析】

先把方程两边平方去根号后求解，再根据x＜0，即可得出答案．

解：由题意得：x＜0，

两边平方得：x+6=x2，

解得x=3（不合题意舍去）或x=﹣2；

故答案为：x=﹣2．

10．20

x=化为有理方程_______

【答案】3x²+1=0

【解析】

【分析】

先移项，然后方程两边平方即可去根号，转化为有理方程．

【详解】

=

2x

两边平方得：x²-1=4x²,即3x²+1=0．

故答案是：3x²+1=0．

【点睛】

本题考查了无理方程的解法，利用平方法是转化为整式方程的基本方法．