最新高中数学人教B版必修四2.2.1《平面向量基本定理》同步课件ppt.ppt
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D 选项正确． 答案 D
例 2 设 M、N、P 是△ABC 三边上的点，它们使B→M＝13B→C， C→N＝13C→A，A→P＝13A→B，若A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 表示M→N、 N→P、P→M.
剖析 把 a、b 作为一组基底，根据向量的线性运算表示出 向量M→N、N→P、P→M.
思考探究 1.0 能与另外一个向量 a 构成基底吗？ 提示 不能．基底是不共线的，而 0 与任意向量是共线的． 2．直线的向量参数方程式的向量系数有什么特点？ 提示 系数和为 1
自测自评
1.e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底，则下面四组 向量中，不能作为一组基底的是( )
A．e1 与 e1＋e2
3．基底具有两个特征：①基底是两个不共线的向量；②基 底的选择不是唯一的．
4．直线的向量参数方程式O→P＝(1－t)O→A＋tO→B包含两层意 思：①当点 P 在直线 AB 上时，满足该式；②反之，当点 P 满 足该式时，点 P 一定在直线 AB 上．这实质上给出了证明三点 共线的一种方法．
5．线段中点的向量表达式是向量加法的平行四边形法则的 变形，在解题中经常用到.
答案 A
规律技巧 如果对概念模糊不清，容易错选 C 或 D，对选 项 B 中“空间任一向量”概念不明，也容易造成错选．
变式训练 1 设 e1、e2 是同一平面内的两个向量，则有( ) A．e1、e2 一定平行 B．e1、e2 的模相等 C．对同一平面内的任一向量 a 都有 a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R) D．若 e1、e2 不共线，则对同一平面内的任一向量 a，都有 a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例 1 如果 e1，e2 是平面 α 内所有向量的一组基底，那么( ) A．若实数 λ1、λ2 使 λ1e1＋λ2e2＝0，则 λ1＝λ2＝0 B．空间任一向量 a 可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，这里 λ1，λ2
是实数 C．对实数 λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2 不一定在平面 α 内 D．对平面 α 中的任一向量 a，使 a＝λ1e1＋λ2e2 的实数 λ1、
a，O→B＝b，则向量B→C＝( )
A．a＋b
B．－a＋b
C．－a－b
D．a－b
解析 B→C＝B→O＋O→C＝－O→B－O→A＝－a－b. 答案 C
3．已知向量 a 和 b 不共线，实数 x，y 满足(2x－y)a＋4b
＝5a＋(x－2y)b，则 x＋y 的值为( )
A．－1
B．1
C．0
D．3
解析
λ2 有无数对
剖析 本题主要考查平面向量基本定理，要求对该定理的 条件和结论要认识清楚．
解析 基底是该平面内一对不共线向量，向量可以平移， 所以不共线的两个向量一定共面．平面内任一向量 a，存在唯 一实数对 λ1、λ2 使 a＝λ1e1＋λ2e2.但 a 是空间中任一向量时却未 必有这个结论．故 B、C、D 均错，应选 A.
第二章 平面向量
2．2 向量的分解与向量的坐标运算
2．2.1 平面向量基本定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解基底的含义． 2．理解并掌握平面向量基本定理.
自学导航
1.平面向量基本定理 如果 e1 和 e2 是一个平面内的两个不共线 的向量，那么该 平面内的 任一 向量 a，存在 唯一 的一对实数 a1，a2，使得 a ＝a1e1＋a2e2.我们把 不共线 的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底，记作{e1，e2}，a1e1＋a2e2 叫做向量 a 关 于基底{e1，e2}的分解式．
B．e1－2e2 与 e2－2e1
C．e1－2e2 与 4e2－2e1 D．e1＋e2 与 e1－e2
解析 ∵e1－2e2＝－12(4e2－2e1)， ∴e1－2e2 与 4e2－2e1 共线． ∴它们不能作为平面内所有向量的一组基底．故选 C.
答案 C
2．若平行四边形的两条对角线 AC 与 BD 交于 O，设O→A＝
2x－y＝5， x－2y＝4，
两式相减得 x＋y＝1.
答案 B
4．△ABC 中，D、E、F 分别是 BC、CA、AB 边上的中点，
且B→C＝a，C→A＝b，给出下列命题，其中正确的命题个数是( )
①A→D＝－12a－b；②B→E＝a＋12b；③C→F＝－12a＋12b；④A→D
＋B→E＋C→F＝0.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 ①②③④都正确． 答案 D
名师点拨 1.平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一 向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且 分解是唯一的． 2．平面向量基本定理中，实数 a1，a2 的唯一性是相对于基 底 e1，e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底， 一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
解析 如图所示． M→N＝C→N－C→M ＝－13A→C－23C→B
＝－13A→C－23(A→B－A→C) ＝13A→C－23A→B＝13b－23a. 同理可得N→P＝13a－23b， P→M＝－M→P＝－(M→N＋N→P)＝13(a＋b)．
规律技巧 本题事实上是平面向量基本定理的应用，由于 A→B、A→C不共线，所以平面内的所有向量都可以用它们作基底来 表示，用若干向量表示其它向量时，常用到相等向量和向量加 法的三角形法则等．
2．直线的向量参数方程式 (1)已知 A、B 是直线 l 上任意两点，O 是直线外一点，对于 直线 l 上 任意 一点 P，存在实数 t，使O→P关于基底{O→A，O→B} 的分解式为O→P＝(1－t)O→A＋tO→B. (2)线段中点的向量表达式 在向量等式O→P＝(1－t)O→A＋tO→B中，若 t＝12，则 P 是 AB 的 中点 ，且O→P＝12(O→A＋O→B).
变式训练 2 如图所示，四边形 OADB 是以向量O→A＝a，O→B ＝b 为邻边的平行四边形，且 BM＝13BC，CN＝13CD，试用 a、 b 表示O→M、O→N、M→N.
例 2 设 M、N、P 是△ABC 三边上的点，它们使B→M＝13B→C， C→N＝13C→A，A→P＝13A→B，若A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 表示M→N、 N→P、P→M.
剖析 把 a、b 作为一组基底，根据向量的线性运算表示出 向量M→N、N→P、P→M.
思考探究 1.0 能与另外一个向量 a 构成基底吗？ 提示 不能．基底是不共线的，而 0 与任意向量是共线的． 2．直线的向量参数方程式的向量系数有什么特点？ 提示 系数和为 1
自测自评
1.e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底，则下面四组 向量中，不能作为一组基底的是( )
A．e1 与 e1＋e2
3．基底具有两个特征：①基底是两个不共线的向量；②基 底的选择不是唯一的．
4．直线的向量参数方程式O→P＝(1－t)O→A＋tO→B包含两层意 思：①当点 P 在直线 AB 上时，满足该式；②反之，当点 P 满 足该式时，点 P 一定在直线 AB 上．这实质上给出了证明三点 共线的一种方法．
5．线段中点的向量表达式是向量加法的平行四边形法则的 变形，在解题中经常用到.
答案 A
规律技巧 如果对概念模糊不清，容易错选 C 或 D，对选 项 B 中“空间任一向量”概念不明，也容易造成错选．
变式训练 1 设 e1、e2 是同一平面内的两个向量，则有( ) A．e1、e2 一定平行 B．e1、e2 的模相等 C．对同一平面内的任一向量 a 都有 a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R) D．若 e1、e2 不共线，则对同一平面内的任一向量 a，都有 a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例 1 如果 e1，e2 是平面 α 内所有向量的一组基底，那么( ) A．若实数 λ1、λ2 使 λ1e1＋λ2e2＝0，则 λ1＝λ2＝0 B．空间任一向量 a 可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，这里 λ1，λ2
是实数 C．对实数 λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2 不一定在平面 α 内 D．对平面 α 中的任一向量 a，使 a＝λ1e1＋λ2e2 的实数 λ1、
a，O→B＝b，则向量B→C＝( )
A．a＋b
B．－a＋b
C．－a－b
D．a－b
解析 B→C＝B→O＋O→C＝－O→B－O→A＝－a－b. 答案 C
3．已知向量 a 和 b 不共线，实数 x，y 满足(2x－y)a＋4b
＝5a＋(x－2y)b，则 x＋y 的值为( )
A．－1
B．1
C．0
D．3
解析
λ2 有无数对
剖析 本题主要考查平面向量基本定理，要求对该定理的 条件和结论要认识清楚．
解析 基底是该平面内一对不共线向量，向量可以平移， 所以不共线的两个向量一定共面．平面内任一向量 a，存在唯 一实数对 λ1、λ2 使 a＝λ1e1＋λ2e2.但 a 是空间中任一向量时却未 必有这个结论．故 B、C、D 均错，应选 A.
第二章 平面向量
2．2 向量的分解与向量的坐标运算
2．2.1 平面向量基本定理
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梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解基底的含义． 2．理解并掌握平面向量基本定理.
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1.平面向量基本定理 如果 e1 和 e2 是一个平面内的两个不共线 的向量，那么该 平面内的 任一 向量 a，存在 唯一 的一对实数 a1，a2，使得 a ＝a1e1＋a2e2.我们把 不共线 的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底，记作{e1，e2}，a1e1＋a2e2 叫做向量 a 关 于基底{e1，e2}的分解式．
B．e1－2e2 与 e2－2e1
C．e1－2e2 与 4e2－2e1 D．e1＋e2 与 e1－e2
解析 ∵e1－2e2＝－12(4e2－2e1)， ∴e1－2e2 与 4e2－2e1 共线． ∴它们不能作为平面内所有向量的一组基底．故选 C.
答案 C
2．若平行四边形的两条对角线 AC 与 BD 交于 O，设O→A＝
2x－y＝5， x－2y＝4，
两式相减得 x＋y＝1.
答案 B
4．△ABC 中，D、E、F 分别是 BC、CA、AB 边上的中点，
且B→C＝a，C→A＝b，给出下列命题，其中正确的命题个数是( )
①A→D＝－12a－b；②B→E＝a＋12b；③C→F＝－12a＋12b；④A→D
＋B→E＋C→F＝0.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 ①②③④都正确． 答案 D
名师点拨 1.平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一 向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且 分解是唯一的． 2．平面向量基本定理中，实数 a1，a2 的唯一性是相对于基 底 e1，e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底， 一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
解析 如图所示． M→N＝C→N－C→M ＝－13A→C－23C→B
＝－13A→C－23(A→B－A→C) ＝13A→C－23A→B＝13b－23a. 同理可得N→P＝13a－23b， P→M＝－M→P＝－(M→N＋N→P)＝13(a＋b)．
规律技巧 本题事实上是平面向量基本定理的应用，由于 A→B、A→C不共线，所以平面内的所有向量都可以用它们作基底来 表示，用若干向量表示其它向量时，常用到相等向量和向量加 法的三角形法则等．
2．直线的向量参数方程式 (1)已知 A、B 是直线 l 上任意两点，O 是直线外一点，对于 直线 l 上 任意 一点 P，存在实数 t，使O→P关于基底{O→A，O→B} 的分解式为O→P＝(1－t)O→A＋tO→B. (2)线段中点的向量表达式 在向量等式O→P＝(1－t)O→A＋tO→B中，若 t＝12，则 P 是 AB 的 中点 ，且O→P＝12(O→A＋O→B).
变式训练 2 如图所示，四边形 OADB 是以向量O→A＝a，O→B ＝b 为邻边的平行四边形，且 BM＝13BC，CN＝13CD，试用 a、 b 表示O→M、O→N、M→N.