专题17定积分与微积分基本原理(检测)-2019年高考数学名师揭秘之一轮总复习
高三数学一轮复习知识点归纳与总结：定积分与微积分的基本定理
届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：定积分与微积分的基本定理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第十四节定积分与微积分基本定理[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等．3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3，山东T15，上海T13等．4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等.[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x ＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫ba f (t )d t 是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．[自测·牛刀小试]1.∫421xd x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143 C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176.3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：834．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14π5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝⎛⎭⎫12，2，B ⎝⎛⎭⎫2，12，所以阴影部分的面积，212⎰⎝⎛ －x ＋52－⎭⎫1x d x ＝ ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋52x －ln x 212＝158－2ln 2. 答案：158－2ln 2利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰sin 2x 2d x .[自主解答](1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33 |21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2. (3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x＝∫20x 2d x ＋∫20x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143.(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰ sin 2x 2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x ＝12x 20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24. ———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分： (1)∫20|x －1|d x ； (2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22 |10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21 ＝12＋12＝1. (2) 20π⎰1－sin 2x d x＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x＋cos x)4π＋(－cos x－sin x) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.利用定积分的几何意义求定积分[例2]∫10－x2＋2x d x＝________.[自主解答]∫10－x2＋2x d x表示y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．由y＝－x2＋2x得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又∵0≤x≤1，∴y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x2＋2x d x＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．解：∫20－x2＋2x d x表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x2＋2x d x＝π2.———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f(x)＝∫x0(cos t－sin t)d t(x>0)，则f(x)的最大值为________．解析：因为f(x)＝∫x02sin⎝⎛⎭⎫π4－t d t＝2cos⎝⎛⎭⎫π4－t|x0＝2cos⎝⎛⎭⎫π4－x－2cosπ4＝sin x＋cos x－1＝2sin⎝⎛⎭⎫x＋π4－1≤2－1，当且仅当sin⎝⎛⎭⎫x＋π4＝1时，等号成立．答案：2－1利用定积分求平面图形的面积[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x ＝∫1x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x 32 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |21＝76.——————————————————— 利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.定积分在物理中的应用[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)． 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |500＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫b a v (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫b a F (x )d x .4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2＋4x 42＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰错误!未找到引用源。
2019高考数学理通用一轮课件：第17讲定积分与微积分基本定理
_f(x)dx 叫做被积式． 积分变量 ，_________ 分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做__________
高考总复习 · 数学(理)
返回导航
第二章 函数、导数及其应用
2．定积分的几何意义
f ( x) f(x)≥0
b a
f(x)dx 的几何意义
x＝b(a≠b) x＝a 表示由直线__________ ， ________________ ， y＝0 及曲线 y＝f(x)
高考总复习 · 数学(理)
返回导航
第二章 函数、导数及其应用
3．微积分的性质
b k f(x)dx b (1) (k 为常数)； kf(x)dx＝_____________ a
b f1(x)dx± f2(x)dx b a a (2) [ f ( x )± f ( x )]d x ＝ ___________________ ； 1 2
a
b
f(x)dx c b a (3)_____________ ＝ f(x)dx＋ f(x)dx(其中 a<c<b)．
a
b
a
c
4．微积分基本定理
b 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝
返回导航
第二章 函数、导数及其应用
1．思维辨析(在括号内打“√”或“× ”)．
b b (1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则 ) f(x)dx＝ f(t)dt.( √
a a
(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( × )
b (3)若 f(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴
高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.4 定积分与微积分基本定理
方)； (2)如果在[a，b] 上，f(x)≤0，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝ b b b(a ＜ b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S ＝ |f(x)|dx ＝－
a a
f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方)；
(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在 x 轴上方和下 方都有图象，例如：在(a，c)上位于 x 轴上方，在(c，b)上位于 x 轴下方，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴围成的曲 c b 边梯形的面积为 S＝ f(x)dx＋ |f(x)|dx＝
b b b 4. f(x)dx， |f(x)|dx， | f(x)dx|三者在几何意义上的不同． 当
i 0 n－1
果和式极限存在，则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a，b] b fxdx 上的定积分，记作①______，即 ＝②________.
a
b (2)在 f(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， 区
a
间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数， ⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．
a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分 值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.
3．定积分的基本性质： b (1) kf(x)dx＝⑧____________________________.
c a
b f(x)dx－ f(x)dx.
c
a
c
2．由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝ b b(a＜b)围成的图形的面积为 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
2019版高考数学(理)(全国通用版)一轮复习： 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
A.- B.- C.-1D.-2
【解析】选B.根据题意有 (x2+mx)dx=( x3+ mx2) = + m=0,解得m=- .
5.(2018·长沙模拟)如图,矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)=sin x(x∈(0,π))及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为 ,则a的值是()
=
= (43-23)+ (44-24)-30(4-2)= .
【变式备选】下列积分的值等于1的是()
A. xdxB. (x+1)dx
C. dxD. dx
【解析】选C. dx=x =1.
2.设函数f(x)= 则定积分 f(x)dx等于()
A. B.2C. D.
【解析】选C. f(x)dx= x2dx+ dx
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时分层作业十七
定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
一、选择题(每小题5分,共35分)
1. (x2+x3-30)dx=()
A.56B.28C. D.14
【解析】选C. (x2+x3-30)dx
答案:2
1.(5分)(2018·珠海模拟)由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2(t为常数且t∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为()
A. B. C. D.
【解析】选A.由 得x=t.
故S= (t2-x2)dx+ (x2-t2)dx
2019届高考数学一轮必备考情分析学案：3.4《定积分的概念与微积分基本定理》(含解析)
3.4定积分的概念与微积分基本定理考情分析本部分主要有两种题型，一是定积分的计算，二是用定积分求平面图形的面积。
高考中多以选择、填空的形式考查定积分的概念和计算以及曲边梯形面积的求法。
基础知识1、定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点01a x x =<<1i i n x x x b -<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,)i i n ξ=，当n →∞时，和式1()ni i b af nξ=-∑无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做：()baf x dx ⎰。
记：()baf x dx ⎰=limn →∞1()ni i b af n ξ=-∑，,a b 分别叫做积分下限和积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间。
2、定积分几何意义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续且恒有()0f x ≥ ，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分分几何意义。
3、定积分性质：(1)()()()()bc baac f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰(2)()()(bbaakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数）1212(3)[()()]()()bbbaaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰4、微积分基本定理一般地，如果函数()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F a F b =-⎰注意事项1.定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．2. (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差；[: (3)积分可分段进行．3.由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 题型一 定积分的计算【例1】设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈，2]，则⎠⎛02f(x)dx 等于( )A. 34B. 45C. 56D. 不存在答案：C解析：本题画图求解，更为清晰，如图，⎠⎛02f(x)dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x)dx[: ＝13x 3⎪⎪⎪1＋(2x －12x 2)⎪⎪⎪21＝13＋(4－2－2＋12)＝56.【变式1】若⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝3＋ln2(a>1)，则a的值是( )A. 2B. 3[:C. 4D. 6答案：A解析：∵⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝(x 2＋lnx)⎪⎪⎪a1＝a 2＋lna－(12＋ln1)＝a2－1＋lna.且⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝3＋ln2.∴a 2－1＋lna ＝3＋ln2，∴a ＝2，故选A. 题型二 利用定积分求面积【例2】 如图，已知幂函数y ＝x a的图象过点P(2,4)，则图中阴影部分的面积为( )A.165B. 83C. 43D. 23答案：B解析：将(2,4)代入y ＝x a ，得a ＝2，所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛02x 2dx ＝83，选B 项．【变式2】 求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x y ＝－13x 得交点B(3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x dx ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x dx＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 210＋⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. 题型三 定积分的应用【例3】已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f(x)．解：由f(0)＝0得c ＝0， f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b. 由f′ (0)＝0得b ＝0， ∴f(x)＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a)， 由∫－a0[－f(x)]dx ＝274得a ＝－3.∴f(x)＝x 3－3x 2.【变式3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )．A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面解析 可观察出曲线v 甲，直线t ＝t 1与t 轴围成的面积大于曲线v 乙，直线t ＝t 1与t 轴围成的面积，故选A. 答案 A 巩固提高一、选择题1.曲线y ＝x 2－2x 与直线x ＋y ＝0所围成的封闭图形的面积为( )A. 23B. 56C. 13D. 16答案：D解析：如图，A(1，－1)，故所求面积为S ＝⎠⎛01(－x －x 2＋2x)dx ＝(12x 2－13x 3)⎪⎪⎪1＝12－13＝16. 2.。
专题17 定积分与微积分基本原理()-2019高考数学(理)名师揭秘之一轮
例2(1)直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内围成
的封闭图形的面积为( D )
A.2 2
B.4 2
C.2 D.4
(2)曲线 y＝x3－4x 与 x 轴所围成的封闭图形的面
积是__8__. (3)抛物线 y2＝4x 与直线 y＝2x－4 围成的平面图
形的面积是__9__.
2019年8月10日
2时，
∵0<t<(2－ 2)a⇔f′(t)>0，
∴S＝f(t)在(0，(2－ 2)a]上是增函数，在((2－
2)a，1]上是减函数，
∴[f(t)]max＝f((2－ 2)a)＝2 23－2a3.
综上所述，[f(t)]max＝
a2－a＋16， 2 23－2a3，
a≥2＋2 2， 2＋ 2
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健 康，学业有成，金榜题名！
11
【解析】(1)原式＝(x3＋x2) 2 ＝12－2＝10. 1
(2)原式＝1exdx＋12xdx＝ex 1 ＋x2 1 ＝e－1＋1＝e.
0
0
0
0
(3)原式＝4
xdx＋41xdx＝23x32
当(2－ 2)a≥1 即 a≥2＋2 2时，f′(t)≥0 在 t∈(0，
20191年]8上月10恒日 成立，所以
遇S上＝你是f(缘t分)在，愿(您0生，活愉1快]，上身体为健增函数， 康，学业有成，金榜题名！
21
所以[f(t)]max＝f(1)＝a2－a＋16，
当(2－
2)a<1
即
2＋ 1<a< 2
350(m).
(2)S2＝100
高考数学一轮复习课后限时集训17定积分与微积分基本定理理含解析北师大版
C．－2或4D．4
D[由 (2x－2)dx＝8得，(x2－2x) ＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．]
2．(20xx·四平模拟) dx的值为( )
A. B．
C．πD．2π
A[令y＝ ，则(x－1)2＋y2＝1，(y＞0)．
∴ 表示由曲线y＝ ，x＝0，x＝1及x轴围成的曲边图形的面积，即圆面积的 ，∴ ＝ .]
3．(20xx·柳州一模)设f(x)＝ －xcostdt，则f ＝( )
A．1B．sin
C．sin2D．2sin
D[∵f(x)＝ －xcostdt＝sint ＝2sinx，
∴f ＝2sin ＝ ，
∴f ＝2sin .]
4．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A．2 B．4
A[如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.]
6．如果1 N的力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为( )
A．0.18 JB．0.26 J
C．0.12 JD．0.28 J
A[设F(x)＝kx，当x＝0.01 m时，F(x)＝1，可知k＝100.
∴所耗费的功W＝∫ 100xdx＝50x2 ＝0.18J．]
刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.
令v(t)＝0，可得t＝5s，
所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：
(20－4t)dt＝(20t－2t2) ＝50(m)．
即汽车从开始刹车到停止，共走了50m．]
10．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若 f(x)dx＝3f(x0)，x0＞0，则x0＝________.
高考数学一轮复习课后限时集训17定积分与微积分基本定理理含解析北师大版
定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学 山永峰 [备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．[归纳·知识整合] 1．定积分(1)定积分的相关概念：在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的几何意义①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质： ①∫b a kf (x )d x ＝k ∫ba f (x )d x .②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫ba f 2(x )d x .③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫bc f (x )d x .[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫ba f (t )d t 是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫ba [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫ba f (x )d x＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )． 课前预测：1.∫421xd x 等于( )A ．2ln 2B ．－2ln 2C ．－ln 2D ．ln 22．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( ) A.176 B.143 C.136 D.1163．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 4．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.5．由y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________考点一 利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫2x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰ sin 2x 2d x .———————————————————求定积分的一般步骤：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值． 强化训练：1．求下列定积分：(1)∫20|x －1|d x ；(2)20π⎰1－sin 2x d x .考点二 利用定积分的几何意义求定积分[例2] ∫10－x 2＋2x d x ＝________.变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值． ———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分． (2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小． 强化训练：2．(2014·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积[例3] (2014·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )103 B ．4 C.163D ．6变式训练：若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？ ———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤 (1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案． 强化训练：(2014·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14考点四：定积分在物理中的应用[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？ ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫ba v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫bav (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫ba F (x )d x . 强化训练：4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 3x ＋4 x(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2013·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7122．(2014·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.∫e11＋ln xxd x ＝( )A ．ln x ＋12ln 2x B.2e －1 C.32 D.122．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π23．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( )A ．±1 B. 2 C ．± 3 D ．24．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈，2]，则∫20f (x )d x ＝( )A.34B.45C.56D ．不存在 5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403m D.203m 6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________． 9．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当∫a 0(cosx －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．计算下列定积分： (1)20π⎰sin 2x d x ； (2)∫32⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ； (3)120⎰e 2xd x .11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．备选习题1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．2．计算下列定积分： (1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ； (2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x .3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2 t ，4t ＋t ，t 某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？定积分与微积分基本定理复习讲义答案 前测：1.Ｄ ２.Ａ ３.83 ４.14π ５.158－2ln 2例１：(1)193. (2)2. (3)143. (4)12e 4－12e 2＋ln 2. (5)π－24.变式１：解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21＝12＋12＝1.(2)20π⎰1－sin 2x d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x )24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.例２：[自主解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4. ∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4. 互动：解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以 ∫20－x 2＋2x d x ＝π2.变式２.2－1 例３.Ｃ 互动：76. 变式３.Ｄ例４：[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t .令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |50＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式４.46 典例：[解析] 由题意可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3120＋⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54 变式5. １.Ａ ２. 49检测题答案 ＣＢＣＣＡＤ ７.4＋2ln 2 ８.2423 ９.π410.解：(1) π4. (2)92＋ln 32. (3) 12e －12.11.解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3 |10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝∫1－k0(x－x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12.解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则∫x 0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3 |x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2|2x， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.备选题：1.解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 0≤t ≤1，2 1≤t ≤3，13t ＋1 3≤t ≤6，因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋∫312d t ＋∫63⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t ＝t 2112＋2t |31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 答案：494 m2.解：(1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )31-＝24.(2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝∫e 1x d x ＋∫e 11x d x ＋∫e 11x 2d x ＝12x 2 |e 1＋ln x |e 1－1x |e1＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32. 解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2 |31＝23＋16＋43＝136.4.解：由变速直线运动的路程公式，可得s ＝∫100t 2d t ＋∫2010(4t ＋60)d t ＋∫6020140d t ＝13t 3 |100＋(2t 2＋60t ) |2010＋140t |6020＝7 133 13(m)<7 676(m)． ∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。
2019高考数学一轮复习(课标版理科)配套课件：第3章-第4节定积分与微积分基本定理(67张PPT)
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
π 2. sinxdx 等于(
) B.2π D.2
0
A.0 C.π
[解析]
π π sinxdx＝－cosx 0
0
＝－cosπ－(－cos0)＝1＋1＝2.
[Байду номын сангаас案] D
3.由直线 y＝2x 及曲线 y＝3－x2 围成的封闭图形的面积 为( ) A.2 3 35 C. 3 B.9－2 3 32 D. 3
0
1
(
) A.e＋2 C.e
0
B.e＋1 D.e－1
2 (2)(2015· 湖南卷) (x－1)dx＝________.
(3)
1 0
(－x2＋2x)dx＝________.
π 3 (4) ( x cosx)dx＝________.
[解析]
y＝2x， 由 解得 2 y ＝ 3 － x ，
x＝－3 或 x＝1，所以封闭图
1 1 3 2 32 2 1 形的面积为 (3－x －2x)dx＝ 3x－3x －x ＝ . 3 －3
－3
[答案]
D
4.设 3 A. 4 5 C. 6
2 x ，x∈[0，1]， 2 f(x)＝ 则 f(x)dx 2－x，x∈（1，2]， 0
等于(
)
4 B. 5 D.不存在
[解析] 如图，
2 0
1 2 2 f(x)dx＝ x dx＋ (2－x)dx
0 1
1 2 1 3 ＝3x ＋2x－2x 0 1
b
f(x)dx c b a (3)__________ ＝ f(x)dx＋ f(x)dx(其中 a<c<b).
专题17 定积分与微积分基本定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) Word版含解析
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题17定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.基础知识融会贯通1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.重点难点突破【题型一】定积分的计算【典型例题】函数为奇函数，则（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由于函数为奇函数，则，得a＝1，因此，．故选：D．【再练一题】计算（cos x+e x）dx为（）A．e B．e 2 C．e D．e【解答】解：（cos x+e x）dx＝（sin x+e x）（）﹣（sin0+e0）＝11．故选：A．思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．【题型二】定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分【典型例题】（π）dx＝．【解答】解：依题意，（π）dx（）dx（﹣π）dx（）dx﹣πx|（）dx﹣4π．而（）dx的几何意义为圆x2+y2＝4（y≥0）在x轴上方的面积，所以（）dx﹣4π4π＝﹣2π．故填：﹣2π．【再练一题】，则T的值为（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：根据题意，M dx的几何意义为半径为1的圆的的面积，则M dx，则T sin2xdx cos2x；故选：A．命题点2求平面图形的面积【典型例题】由直线与曲线y＝sin x所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作出对应的图象，则封闭区域的面积S＝﹣∫sin xdx+∫sin xdx﹣∫sin xdx＝﹣（﹣cos x）|（﹣cos x）|（﹣cos x）|＝cos0﹣cos（）﹣cosπ+cos0+cos cosπ＝11+11＝4，故选：B．【再练一题】如图是函数y＝x与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得两函数的交点为（0，0），（1，1）．所以阴影部分的面积S（）|．故选：A．思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．【题型三】定积分在物理中的应用【典型例题】汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S（3t+1）dt＝（t） 5.5；故选：C．【再练一题】一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx∫12（5﹣x2）dx（5x x3）|12故选：C ．思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .基础知识训练1．【吉林省白城市通榆县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考（期中)】已知函数，则（ ）A ．16B ．8C ．2cos2D ．2cos2-【答案】A 【解析】，故选：A2．【河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试】已知图中的三条曲线所对应的函数分别为，2y x =，314y x =，则阴影部分的面积为（ ）A ．1ln2+B ．ln 2C ．1D ．2【答案】B 【解析】由1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1x =；由14y xx y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2x =. 阴影部分的面积.故选：B3．【河南省豫南六市2018-2019学年高二下学期期中测试】已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数，若()f x 在xa 处取得极大值，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．10a -<<C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <【答案】C 【解析】，即1m =则当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意 当0a <时或时，()0f x '<，此时()f x 单调递减时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a 处取得极大值，满足题意当01a <<时或时，()0f x '>，此时()f x 单调递增时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a 处取得极小值，不满足题意当1a >时或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增 时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在xa 处取得极大值，满足题意综上所述：1a >或0a <4．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】下列积分值最大的是（ ） A ．B ．C ．D ．11edx x【答案】 A 【解析】 A ：，函数y=2sin x x 为奇函数，故，，B:，C:表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的14，故，D:，通过比较可知选项A 的积分值最大， 故选：A5．【福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二下学期期中考试】由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( )A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22【答案】B 【解析】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =， 所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 ，故选B ．6．【湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图所示,在边长为1的正方形OABC 内任取一点P,用M 表示事件“点P 恰好取自曲线2y x =与直线1y =及y 轴所围成的曲边梯形内”,N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”,则P(N | M)等于( )A ．14B ．15C ．16D ．71 【答案】A 【解析】根据条件概率的公式得到()P MN 表示落在阴影部分的概率，故答案为：A.7．【福建省福州市2018-2019学年高二下学期期中联考】设1d a x x =⎰，，12d c x x =⎰，则,,a b c 的大小关系A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 ∵，由定积分的几何意义可知，表示单位圆在第一象限部分与x 轴、y 轴所围成的封闭曲线的面积，等于4π， ，∴b a c >>，故选C.8．【广东省佛山市第二中学2018-2019学年第二学期第三次月考高二级】已知，则22()d f x x -⎰的值为（ ）A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．不确定【答案】A 【解析】由题意，.故选A9．【云南省昭通市云天化中学2018-2019学年高二下学期5月月考】射线与曲线3y x =所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】将射线方程与曲线方程联立34y xy x=⎧⎨=⎩，解得：1100x y =⎧⎨=⎩，2228x y =⎧⎨=⎩ 即射线与曲线3y x =有两个公共点所围成的图形的面积为本题正确选项：B10．【吉林省长春市九台区师范高中、实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试】（ ）A ．πB ．2πC ．2D ．1【答案】A 【解析】 因为定积分表示直线与曲线24y x =-围成的图像面积，又24y x =-表示圆224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分表示圆224x y +=的14，其中，故.故选A11．【福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知区域，区域，在Ω内随机投掷一点M，则点M落在区域A内的概率是（）A．1112e⎛⎫-⎪⎝⎭B．1114e⎛⎫-⎪⎝⎭C．1118e⎛⎫-⎪⎝⎭D．11e-【答案】B【解析】由题意，对应区域为正方形区域，其面积为224S==；对应区域如下图阴影部分所示：其面积为，所以点M落在区域A内的概率是.故选B12．【湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，当时，由可得；所以，又，所以在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为.故选B13．【福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】若是偶函数，则______．【答案】【解析】由题意，函数是偶函数，则，即，所以，又由定积分的几何意义可知，积分，表示所表示的半径为2的半圆的面积，即，所以，故答案为：．14．【广西南宁市第三中学、柳州市高级中学2018-2019学年高二下学期联考（第三次月考)】二项式的展开式中，第三项系数为2，则11adx x=⎰_______ 【答案】ln 2 【解析】展开式的通项为，第三项系数为，因为0a >，所以2a =，，故答案为ln 2.15．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二下学期期中考试】__________．【答案】8π 【解析】 由题表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以=，440xdx -=⎰所以故答案为8π16．【福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期中考】如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.【答案】14【解析】由图象可知，直线OB 方程为：y x = 则阴影部分面积为：∴所求概率本题正确结果：1417．【云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试】定积分______. 【答案】2 【解析】.18．【四川省树德中学2018-2019学年高二5月阶段性测试】定积分__________．【答案】2π+ 【解析】 因为表示圆224x y +=面积的14，所以；又，所以.故答案为2π+19．【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考】二项式的展开式的第四项的系数为-40，则21ax dx -⎰的值为__________．【答案】3 【解析】二项式（ax ﹣1）5 的通项公式为： T r +15rC =•（ax ）5﹣r •（﹣1）r ， 故第四项为35C -•（ax ）2＝﹣10a 2x 2， 令﹣10a 2＝﹣40， 解得a ＝±2， 又a ＞0， 所以a ＝2． 则故答案为：3．20．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】曲线22y x =-与曲线y x =所围成的区域的面积为__________. 【答案】92【解析】由曲线y ＝x 与y ＝2-x 2，得2-x 2=x ，解得x ＝-2或x ＝1， 则根据积分的几何意义可知所求的几何面积（2x-231123x x -）1-2| ＝=78+4+2-63= 92； 故答案为：92．能力提升训练1．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）A ．14 B ．13 C ．25D ．37【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S 阴1=⎰（1x -）dx ＝（x 3223x -）101|3=，设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．2．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B 【解析】由题意，阴影部分的面积为，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选B3．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图，在半径为π的圆内，有一条以圆心为中心，以2π为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．21πC ．22πD ．无法确定【答案】B【解析】由题意知：圆的面积为：周期为2π可得：22ππω= 1ω∴=设圆的圆心为：(),0πϕπ⇒=∴曲线为：∴阴影部分面积∴所求概率本题正确选项：B4．【河南省开封市2019届高三第三次模拟】如图，在矩形中的曲线是的一部分，点，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】阴影部分面积为矩形的面积为则此点落在阴影部分的概率故选B。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第17讲《定积分与微积分基本定理》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第三章 导数及其应用第17讲 定积分与微积分基本定理★★★核心知识回顾★★★知识点一、定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中， 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式． 知识点二、定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．知识点三、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝ ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作 ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．★★★高考典例剖析★★★考点一、定积分的计算例1：(2018·唐山调研)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______. 答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x＝2ʃ10x 2d x ＝2·310|3x ＝23.1．ʃ1－1e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋22．(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2： (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 命题点2 求平面图形的面积例3： (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________． 答案 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3，可得A ⎝⎛⎭⎫13，3.由xy ＝1，y ＝x ，可得B (1,1)，由y ＝x ，y ＝3，得C (3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1131(3)d x x -⎰＋ʃ31(3－x )d x ＝113(3ln )|x x -＋2311(3)|2x x -＝(3－1－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫9－92－3＋12＝4－ln 3.3．定积分ʃ309－x 2d x 的值为________．4．如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______．题型三定积分在物理中的应用例4： 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m. 答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得611122()d 2d s t t t x ==⎰⎰v ＋ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝2132611321|2|()|6t t t t +++＝494(m)．所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494m.5．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433J D ．2 3 J★★★知能达标演练★★★一、选择题1．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 2．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1 3．(2018·东莞质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．π B.π2 C ．π＋1D ．π－14.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－15．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．66．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.767．(2017·湖南长沙模拟)设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝18．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．29．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 210.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13B.310C.14D.1511．(2018·呼和浩特质检)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1二、填空题 12． ʃe ＋121x －1d x ＝________. 13．ʃ0－11－x 2d x ＝________. 14．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m.15．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________．17．π)d 4x x += ________.18．(2018·太原调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．19．(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.20.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．21．(2017·郑州调研)ʃ1－1(1－x2＋e x－1)d x＝______.22．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则ʃ20f(x)d x＝________.♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第三章 导数及其应用第17讲 定积分与微积分基本定理★★★核心知识回顾★★★知识点一、定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 知识点二、定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．知识点三、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．★★★高考典例剖析★★★考点一、定积分的计算 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 1．答案 C解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e xd x＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C. 2．答案 C解析 如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝31220111|(2)|32x x x +- ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 题型二 定积分的几何意义 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 3．答案9π4解析 由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝9π4.4．答案 94解析 由y ＝－x 2＋4x －3，得y ′＝－2x ＋4.易知抛物线在点A 处的切线斜率k 1＝y ′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率k 2＝y ′|x ＝3＝－2.因此，抛物线在点A 处的切线方程为y ＝4x －3，在点B 处的切线方程为y ＝－2x ＋6. 两切线交于点M ⎝⎛⎭⎫32，3.因此，由题图可知所求的图形的面积是 S ＝33222302[(43)(43)]d [(26)(43)]d x x x x x x x x ---+-+-+--+-⎰⎰33222302d (69)d x x x x x =+-+⎰⎰33323203211|(39)|33x x x x =+-+ ＝98＋98＝94.题型三 定积分在物理中的应用 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 5．答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x＝3211[(5)3x x -＝433， ∴F (x )做的功为433 J.★★★知能达标演练★★★一、选择题 1．答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝24201(2)|4x x -＝8－14×24＝4，故选D.2．答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰＝π2011(sin )|22x x -＝π4－12.3．答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝211π1|22x -+＝π2.故选B. 4.答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝320311011()|()|33x x x x x ----+-＝－13－23 ＝－1，故选D.5．答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2. 6．答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x ＝3101|3x ＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 7．答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A. 8．答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝221201()|()|22x x x x -+-＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1. 9．答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝2403[725ln(1)]|2t t t -++ ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 10.答案 A解析 由题意得，所求阴影部分的面积31231200211)d ()|,333S x x x x ==-=⎰ 故选A. 11．答案 B解析 方法一 S 1＝3211|3x ＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3. 二、填空题 12．答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 13．答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 14．答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝2213(2)|2t t + ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 15．答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 16．答案 43解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x＝30110||3x x -+＝13＋1＝43. 17．答案 2解析 由题意得π)d 4x x +＝ππ220(sin cos )d (sin cos )|x+x x x x =-⎰＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2. 18．答案3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 19．答案 49解析 封闭图形如图所示，则332220022|0,33ax x a a ==-=⎰解得a ＝49.20.答案 43解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)． 因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x＝31012()|3x x -＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43. 21．答案 π2＋e －1e－2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，所以ʃ1－11－x 2d x ＝π2. 而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 22．答案 －4解析因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3. 所以f(x)＝x3－3x2.故ʃ20f(x)d x＝ʃ20(x3－3x2)d x＝432()|4xx＝－4.♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第三章 导数及其应用第17讲 定积分与微积分基本定理★★★核心知识回顾★★★知识点一、定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 知识点二、定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．知识点三、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．★★★高考典例剖析★★★考点一、定积分的计算例1：(2018·唐山调研)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______. 答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x＝2ʃ10x 2d x ＝2·310|3x ＝23.1．ʃ1－1e |x |d x 的值为()A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2答案 C解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e x d x＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C.2．(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56 D ．不存在答案 C解析 如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝31220111|(2)|32x x x +- ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2： (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 命题点2 求平面图形的面积例3： (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________． 答案 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3，可得A ⎝⎛⎭⎫13，3.由xy ＝1，y ＝x ，可得B (1,1)，由y ＝x ，y ＝3，得C (3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1131(3)d x x -⎰＋ʃ31(3－x )d x ＝113(3ln )|x x -＋2311(3)|2x x -＝(3－1－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫9－92－3＋12＝4－ln 3.3．定积分ʃ309－x2d x的值为________．答案9π4解析由定积分的几何意义知，ʃ309－x2d x是由曲线y＝9－x2，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x2d x＝π·324＝9π4.4．如图所示，由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为______．答案94解析由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4.易知抛物线在点A处的切线斜率k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线在点A处的切线方程为y＝4x－3，在点B处的切线方程为y＝－2x＋6.两切线交于点M⎝⎛⎭⎫32，3.因此，由题图可知所求的图形的面积是S＝3322232[(43)(43)]d[(26)(43)]dx x x x x x x x---+-+-+--+-⎰⎰3322232d(69)dx x x x x=+-+⎰⎰33323203211|(39)|33x x x x =+-+ ＝98＋98＝94. 题型三 定积分在物理中的应用例4： 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m. 答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得611122()d 2d s t t t x ==⎰⎰v ＋ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝2132611321|2|()|6t t t t +++＝494(m)．所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494m.5．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433 J D．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x＝3211[(5)3x x -＝433， ∴F (x )做的功为433 J.★★★知能达标演练★★★一、选择题1．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝24201(2)|4x x -＝8－14×24＝4，故选D.2．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰＝π2011(sin )|22x x -＝π4－12.3．(2018·东莞质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．πB.π2 C ．π＋1D ．π－1答案 B 解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝211π1|22x -+＝π2.故选B.4.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1， 所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x ＝320311011()|()|33x x x x x ----+-＝－13－23 ＝－1，故选D.5．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( ) A.43B.54C.65D.76答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x＝3101|3x ＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 7．(2017·湖南长沙模拟)设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1答案 A 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A.8．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．2答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x ＝221201()|()|22x x x x -+- ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1. 9．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)， ∴汽车行驶距离s ＝ʃ40⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝2403[725ln(1)]|2t t t -++ ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.10.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15答案 A 解析 由题意得，所求阴影部分的面积31231200211)d ()|,333S x x x x ==-=⎰ 故选A.11．(2018·呼和浩特质检)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 方法一 S 1＝3211|3x ＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.二、填空题12． ʃe ＋121x －1d x ＝________. 答案 1解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 13．ʃ0－11－x 2d x ＝________. 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 14．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m.答案 132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝2213(2)|2t t +＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 15．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________． 答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________． 答案 43解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝30110||3x x -+＝13＋1＝43.17．π)d 4x x += ________. 答案 2解析 由题意得π)d 4x x + ＝ππ2200(sin cos )d (sin cos )|x+x x x x =-⎰＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2. 18．(2018·太原调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案 3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰ ＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 19．(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.答案 49解析 封闭图形如图所示，则332220022|0,33a x x a a ==-=⎰解得a ＝49.20.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．答案 43解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝31012()|3x x -＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.21．(2017·郑州调研)ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝______.答案 π2＋e －1e －2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，所以ʃ1－11－x 2d x ＝π2.而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2.22．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________. 答案 －4解析 因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝4320()|4x x ＝－4.。
专题17 定积分与微积分基本原理(检测)-2019年高考数学名师揭秘之一轮总复习
本专题特别注意：1.数形结合求定积分2.分段求定积分3.定积分的几何意义4.含绝对值的定积分求法5.定积分与二项式定理的联系6.定积分与导数的联系7.分段函数定积分的求法8.定积分与概率的联系方法总结：1.定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函数的原函数，即导数运算的逆运算.2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.3.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)将曲边梯形面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案.高考模拟：一、单选题1．直线过抛物线：的焦点且与轴垂直，则直线与所围成的面积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先作出直线和抛物线围成的平面区域，再利用定积分的几何意义进行求解．详解：由题意，得直线的方程为，将化为，由定积分的几何意义，得所求部分分面积为．点睛：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本计算能力．2．已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B由题意得，解得．所以．故选B．点睛：解答本题时注意两点：①正确写出二项展开式的通项，然后解方程得到的值；②求定积分时要正确得到被积函数的原函数，并准确求出函数值．3．设，则的展开式中常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据定积分求得，求出二项展开式的通项后再求展开式中的常数项．点睛：本题考查用微积分基本定理求定积分和二项展开式的通项的应用，解答的关键式准确写出二项展开式的通项，并根据常数项的特征求解．4．若函数的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积．详解：由图可知，，，即.∴，则.∴图中的阴影部分面积为故选C.点睛：本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解的函数解析式，在运用积分求解．定积分的计算一般有三个方法：①利用微积分基本定理求原函数；②利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；③利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0.5．设,在区间上随机产生10000个随机数，构成5000 个数对，记满足的数对的个数为,则估计值约为( )A. 3333B. 3000C. 2000D. 1667【答案】A【解析】分析：设事件为“上随机产生数对，满足”，则总的基本事件为，对应的测度为正方形的面积1，而随机事件对应的测度为为曲边梯形的面积，它可利用定积分来计算.详解：满足是在曲线、所围成的区域内（含边界），又该区域的面积为，故的估计值为，，故选A.点睛：对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分来计算.6．已知，则（）A. B. C. D.【答案】B7．已知，在的展开式中，记的系数为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，由已知有指的系数，指的系数，所以，选A.8．已知，是以为周期的奇函数，且定义域为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可知的周期为，故选9．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是A. B.C. D.【答案】D10．已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（）A. 480 B. 160 C. 1280 D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为=故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.11．11x dx -=⎰A.12B. 1C. 2D. 3 【答案】A【解析】()1120111111| 10222x dx x dx x x ⎛⎫-=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰.故选A.12．已知函数()f x 在R 上可导，且()()()34120f x x x f f '+'=-，则()1f x dx =⎰（ ）A. 1B. 1-C. 394D. 394- 【答案】C13．已知物体运动的速度与事件的关系式为49v t =-，则落体从0t =到5t =所走的路程为（ ） A. 11 B. 5 C. 1014D. 20 【答案】B【解析】由积分的物理意义可知运动从t=0到t=5所走的路程为()()525004929|50455t dt t t -=-=-=⎰， 故选：B ． 14．定积分的值为( )A.4π B. 2πC. πD. 2π 【答案】A 【解析】(()2211y x xy =∴-+=表示以()1,0为圆心，以1为半径的圆， ∴定积分等于该圆的面积的四分之一， ∴定积分4π=，故选A.15．设函数f(x)= 2,0x 1,{ 1,12,x x ≤≤<≤则定积分2⎰f(x)dx 等于( )A.83 B. 2 C. 43 D. 13【答案】C【解析】()21223120101141||33f x dx x dx dx x x=+=+=⎰⎰⎰，故选C. 16．如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部的概率（ ）A.15B. 13C. 14D. 16【答案】C点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．17．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则A.B.C.D.【答案】C 【解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n 的最小值为5．所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.18．若()()122f x x f x dx =+⎰,则()1f x dx =⎰（ ）A. 1-B. 13-C. 13D. 1 【答案】B考点：定积分．19．已知，则展开式中的系数为（）A. 24B. 32C. 44D. 56【答案】A【解析】,中系数为.故选.20．如图所示，若程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数的图象上，则（）A. B. C. D.【答案】B21．如图，在由0x =， 0y =， 2x π=，及cos y x =围成区域内任取一点，则该点落在0x =， sin y x =及cos y x =围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）A. 1B.C. 3-D. 1【答案】D故选：D.22．已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.二、填空题23．已知定义在上的函数与，若函数为偶函数，函数为奇函数，且，则__________．【答案】12.【解析】分析：根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解．详解：∵函数为偶函数，函数为奇函数，∴函数的图象关于y轴对称，函数的图象关于原点对称．∴，，∴．点睛：定积分的几何意义是表示曲线以下、x轴以上和直线之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．24．若，则在的展开式中，的系数是__________．(用数字作答）【答案】84点睛：本题考点是定积分，以及二项展开式的通项公式是解决二项展开式特殊项问题的方法．25．已知椭圆的焦点为，，其中，直线与椭圆相切于第一象限的点，且与，轴分别交于点，，设为坐标原点，当的面积最小时，，则此椭圆的方程为__________．【答案】【解析】分析：先根据定积分求出c，由题意，切线方程为利用基本不等式，结合（为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，即可求出，问题得以解决．详解：由椭圆的焦点为，可设椭圆的方程为直线与椭圆相切，则切线方程为点睛：本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆是位置关系，考查余弦定理的运用，基本不等式，椭圆的切线方程，属于难题26．已知展开式中的常数项为60，则__________．【答案】4.【解析】分析：的通项公式为，令，，于是，利用微积分定理求解即可.详解：的通项公式为，令，，，故答案为.点睛：本题主要考查定积分以及二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.27．已知，则二项式的展开式中的系数为__________．【答案】-160点睛：本题主要考查定积分的计算，考查利用二项式的展开式求指定项.意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.28．若（其中），则的展开式中的系数为__________．【答案】280【解析】分析：利用微积分基本定理，求得，可得二项展开式通项为令得进而可得结果.详解：因为，所以，展开式的通项为令得所以，的展开式中的系数为，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.29．已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】30．已知，则二项式展开式中的常数项是__________．【答案】【解析】，展开式通项为，令，，∴常数项为．故答案为240．31．已知函数是定义在上的奇函数，则__________．【答案】【解析】．32．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为02sin b xdx π=⎰cm的圆面，中间有边长为4a π=的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体(油滴是直径为0.2cm 的球）正好落入孔中的概率是__________． 【答案】14π【解析】因为直径为()ππ02sin d 2cos |4b x x x ==-=⎰的圆中有边长为044π1ππ4a x ==⨯=的正方形，由几何概型的概率公式，得“正好落入空中”的概率为2211π24πS P S ===⨯正方形圆. 33．已知函数()()21,10{ ,1x x f x x +-≤≤=<≤，则()11f x dx -=⎰__________．【答案】4312π+点睛：定积分的计算一般有三个方法： （1）利用微积分基本定理求原函数；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为0 34．若()2sin 18aaxx dx -+=⎰，则a =__________．【答案】3【解析】()3322sin cos 1833aaaa x a x x dx x --⎛⎫+=-==⎪⎝⎭⎰ ， 327a = ，则3a =. 35．若()1216tan m xx dx -=+⎰，且(20122mm m x a a x a x a x +=+++⋯+，则()()220211m m a a a a a -++⋯+-+⋯+的值为__________．【答案】1点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1. 36．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为正方形且点C 坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭.抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点C .在正方形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为_________．【答案】23【解析】由抛物线Γ的顶点在原点，关于x 轴对称，且过点11,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以抛物线方程为214y x =，阴影区域的面积为13201222| 033x ==，正方形的面积为1， 点M 在阴影区域内的概率为23. 故答案为：2337．计算20sin x dx π=⎰__________．【答案】4【解析】由题意得，20sin x dx π=⎰ ()cos cos0cos2cos 4πππ---+-=38．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分内的概率为__________．【答案】312e-【解析】将()1,e 代入xy a = ，得a e = ，所以阴影部分面积为1131122xe dx e -⨯⨯=-⎰，矩形面积为e ，所以点P 落在阴影部分内的概率为33212e e e-=- ，故答案为312e - . 39．如图所示，由直线,1(0)x a x a a ==+>， 2y x =及x 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即()12221a aa x dx a +<<+⎰．类比之，若对n N +∀∈，不等式14122k kkn n n n+++<++ 121k k kn nn <++++-恒成立，则实数k 等于__________．【答案】240．已知函数()sin f x x =()11f x dx -=⎰__________；【答案】2π 【解析】()1111111sin sin f x dx x dx xdx ----⎡==+⎣⎰⎰⎰，而()1111sin cos |0xdx x --=-=⎰，11-表示半圆()2210x y y +=≥的面积，即112π-=，则()111111sin 2f x dx xdx π---=+=⎰⎰.点睛：本题考查微积分基本定理、定积分的几何意义；求定积分的值主要有两种方法： (1)利用微积分基本定理求解，即找出函数()f x 的原函数()F x 进行求解，即()()()()|bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰；(2)的定积分，如aa-表示y =，即半圆()2220x y a y +=≥的面积.41．__________．【答案】42．已知实数,x y 满足不等式组20{250 20x y x y y --≤+-≥-≤且2z x y =-的最大值为a ，则2cos2xa dx π=⎰__________． 【答案】3π【解析】作出可行域，目标函数可变为2y x z =-，令0z =，作出2y x =，由平移可知直线过()4,2时z 取最大值，则max6a z ==．则()ππ2ππ00006cos 3cos 33sin |3|3π2x dx x dx x x =+=+=⎰⎰．故本题应填3π．43．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系xOy 平面内，若函数()[)1,0{,0,2x f x cosx x π∈-=⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为__________．【答案】4π+【解析】由题可得：底面面积为211+cos 144S S xdx ππ==+⎰圆，所以圆柱得体积为：11444ππ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭44．若正实数,m n满足2221x dx m n -⎛+= ⎝⎰，则()2log 2m n +的最小值为_______.【答案】2【解析】因为022arcsin |2022x ππ⎫==⨯=⎪⎭，所以22222(022x dx xdx π--=+=+=⎰⎰，即212m n+=，所以()12114224422n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()22log 2log 42m n +==，应填答案2。
2019版高考数学理一轮课时达标17定积分与微积分基本定
课时达标 第17讲[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等．一、选择题1．⎠⎛01e x d x 的值等于( C )A ．eB ．1－eC ．e －1D ．12(e －1)解析 ⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1，故选C ．2．⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝( C ) A ．e 2－2 B ．e －1 C ．e 2D ．e ＋1解析 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|e 1＝e 2.故选C ． 3．求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( A ) A ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xB ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y解析 由图象可得S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .第3题图 第4题图4．曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为( D )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2解析 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝(12x 2－x －2ln x )|42＝4－2ln 2. 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( A )A ．43B ．1πC ．12D ．π－2π解析 ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋1＝43，故选A ． 6．如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数y ＝cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( D)A ．2πB ．1πC ．12D ．π－2π解析 因为⎠⎛0π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪π20＝1 故所求概率为π－1×2π＝π－2π.二、填空题7．⎠⎛0π2 (cos x －sin x )d x ＝__0__. 解析 ⎠⎛0π2 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪π20＝0. 8．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1ef (x )d x ＝ e 2＋12 .解析 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x |e 1＝e 2＋12. 9．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(图中的阴影部分)解析 由图可得阴影部分面积S ＝2⎠⎛0π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪π40＝2(2－1)．三、解答题10.求下列定积分．,(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x . 解析 (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x22 21－x 3321＋lnx |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56.(2) ⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－πe x d x ＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1e π. 11．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解析 ∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k 则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2∴在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图．,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)．∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3|20＝4－83＝43.,12.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．,(1)求a ，b ，c 的值；,(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．,解析 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0.(2)由(1)知，函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t . ∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝⎠⎛0t [(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x ＝⎣⎡⎦⎤(－t 2＋8t )x －⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2|t 0＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x |2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.。
高三数学一轮复习(名师微博+考点详解+易错矫正)定积分与微积分基本定理课件 理
__________.
第七页，共49页。
(3)定积分的基本性质：
□ ①bkf(x)dx＝ 8 ____________________________. a
□ ②b[f1(x)±f2(x)]dx＝ 9 ___________________. a
a
几何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所 围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．
第六页，共49页。
②一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 a
曲线 y：f(x)以及直线 x＝a、x＝b 之间的曲边梯形面积的代数 和(图②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的
由s＝v0t＋
1 2
at2通过求导可推出v＝v0＋at，反
之根据积分的几何意义，由v＝v(t)(v(t)≥0)可求出t∈[a，b]
时间段内所经过的路程．
第四十三页，共49页。
变式训练3 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并 沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别 为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断 中一定正确的是( )
义.
边梯形面积的求法，难度较小.
第二页，共49页。
1.定积分的概念
知识梳理
(1)定积分的定义和相关概念：
①函数 f(x)定义在区间[a，b]上，用分点 a＝x0＜x1＜…＜
xi－1＜xi＜…＜xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，其长
度依次为 Δxi＝xi＋1－xi(i＝0,1,2……n－1)，记 λ 为这些小区间
第四十一页，共49页。
【推荐】专题19+定积分与微积分基本定理-2019年高考数学(理)高频考点名师揭秘与仿真测试
2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试19 定积分与微积分基本定理【考点讲解】 一、具本目标：(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义． 考点透析：1.以定积分与微积分基本定理的简单应用—计算为主；2.在计算面积方面的应用.3.备考重点：(1) 掌握微积分基本定理；(2) 会应用微积分基本定理解决简单的面积计算. 二、知识概述：1. 定积分的概念与微积分基本定理 1．定积分的概念 在()baf x dx中，,a b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[]a b ，叫做积分区间，()f x 叫做被积函数，x叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式． 2．定积分的性质(1) (k 为常数)；(2) ；(3)(其中a <c <b )．3．微积分基本定理：一般地，如果()f x 是在区间[]a b ，上的连续函数，且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．为了方便，常把记作，即．2．定积分的几何意义（1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积，若，则.（2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（）围成的平面图形的面积为.3．定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x . 4.温馨提示：1）运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． 2）利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．【真题分析】 1.【2015湖南理11】.【答案】0.2.【2015陕西理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【解析】考点为1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得，故原始的最大流，所以答案应填：1.2． 【答案】1.2O xy3. 【2015天津理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 ..4.【2016·九江模拟】若ʃ10(2x ＋λ)d x ＝2(λ∈R )，则λ等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1【解析】 (1)ʃ10(2x ＋λ)d x ＝(x 2＋λx )|10＝1＋λ＝2，所以λ＝1.【答案】B【变式】定积分ʃ2－2|x 2－2x |d x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【解析】ʃ2－2|x 2－2x |d x ＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20＝83＋4＋4－83＝8.【答案】D6.计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.【解析】由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. 【答案】π7.【2017·青岛月考】由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为______． 【解析】 由xy ＝1，y ＝3可得交点坐标为(13，3)．由xy ＝1，y ＝x 可得交点坐标为(1,1)，由y ＝x ，y ＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为：＝(3－1－ln 3)＋(9－92－3＋12)＝4－ln 3.【答案】4－ln 3【变式】（1）定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π【答案】C【变式】(2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1 ＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163. 【答案】1638.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】 C 【模拟考场】1.若则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3【答案】A2.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则()dx x f ⎰20等于( )A.34B.45C.56D.67 【解析】()dx x f ⎰20＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝13＋(4－12×4)－(2－12)＝56. 【答案】C3.一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动， 则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433J D ．2 3 J【解析】＝｜21＝433， ∴F (x )做的功为43 3 J.【答案】C4.若，则m ＝________.【解析】根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 【解析】－15.二项式的展开式的第二项的系数为，则⎰-a dx x 22的值为__________．【答案】3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的展开式中常数项是（
）
D.
，求出二项展开式的通项后再求展开式中的常数项．
点睛：本题考查用微积分基本定理求定积分和二项展开式的通项的应用，解答的关键式准确写出二项展开式的通 项，并根据常数项的特征求解．
4．若函数
的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】分析：由图象求出函数解析式，然后利用定积分求得图中阴影部分的面积．
等.
1
11． x 1 dx
0
1
A.
2
B. 1
【答案】 A
C. 2
D. 3
1
1
【解析】 x 1 dx 1 x dx
0
0
x
1 x2
1 |
11
1
.
20
22
故选 A.
1
12．已知函数 f x 在 R 上可导，且 f x 4x x3 f 1 2 f 0 ，则 f x dx （ ）
0
A. 1 B. 1
【答案】 C
C. 39 4
D. 39 4
13．已知物体运动的速度与事件的关系式为 v 4t 9，则落体从 t 0 到 t 5 所走的路程为（
）
A. 11
B. 5
101
C.
4
D. 20
【答案】 B
【解析】由积分的物理意义可知运动从
5
t=0 到 t=5 所走的路程为 4t 9 dt
0
2t 2 9t |50 50 45 5 ，
的面积，它可利用定积分来计算 .
详解：满足
是在曲线
、
所围成的区域内（含边界） ，
又该区域的面积为 故 的估计值为
， ，，故选 A.
点睛：对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分来计算
.
6．已知
A.
B.
【答案】 B
，则
C.
D.
（）
7．已知
A.
B.
【答案】 A
，在 C.
的展开式中，记
的系数为
D.
，则
（）
【解析】
，由已知有
指 的系数，
，选 A.
，所以 指 的系数，所以
8．已知
， 是以 为周期的奇函数，且定义域为 ，则
的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 可知 的周期为
，
故选 9．用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
10 ．已知曲线 A. 480 B. 160 【答案】 D
2
15．设函数 f(x)= {
则定积分 f(x)dx 等于 ( )
1,1 x 2,
0
8
4
1
A.
B. 2 C.
D.
3
3
3
【答案】 C
2
【解析】 f x dx
0
1
x2 dx
0
2
1dx
1
1 3
x3
|10
x |12
4 ，故选 C. 3
16．如图所示 ,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部的概率（ ）
和直线
所围成图形的面积是 ，则
C. 1280 D. 640
的展开式中 项的系数为（
）
【解析】
由题意得到两曲线围成的面积为
=
故答案为： D.
点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项
式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是
系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值
1
A.
5
1
B.
3
【答案】 C
1
C.
4
1
D.
6
点睛： (1) 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何
概型求解．
(2) 利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在 坐标系中表示所需要的区域．
（ 3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它
2．已知二项式
A.
B.
【答案】 B
的展开式中 的系数为，则C.D.的值为（ ）
由题意得
，解得
．
所以
．
故选 B ．
点睛：解答本题时注意两点：①正确写出二项展开式的通项，然后解方程得到
被积函数的原函数，并准确求出函数值．
的值；②求定积分时要正确得到
3．设
，则
A.
B.
C.
【答案】 B
【解析】分析：先根据定积分求得
本专题特别注意：
1.数形结合求定积分
2.分段求定积分
3.定积分的几何意义
4.含绝对值的定积分求法
5.定积分与二项式定理的联系
6.定积分与导数的联系
7.分段函数定积分的求法
8.定积分与概率的联系
方法总结：
1.定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函数的原函数，即导数运算的逆运算
.
2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理
.
3.利用定积分求平面图形面积的步骤：
(1) 画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
(2) 借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
(3) 将曲边梯形面积表示成若干个定积分的和；
(4) 计算定积分，写出答案 .
高考模拟： 一、单选题 1．直线 过抛物线 ：
的焦点且与 轴垂直，则直线 与 所围成的面积等于（
详解：由图可知，
∴
，则
， .
，即
.
∴图中的阴影部分面积为
故选 C.
点睛：本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解的函数解析式，在运用积分求解．定积分的计 算一般有三个方法：①利用微积分基本定理求原函数；②利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；③利用奇
偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】分析：先作出直线和抛物线围成的平面区域，再利用定积分的几何意义进行求解．
详解：由题意，得直线 的方程为
，
将
化为
，
由定积分的几何意义，得所求部分分面积为
．
点睛：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本 计算能力．
0.
5．设
,在区间
上随机产生 10000 个随机数，构成 5000 个数对
，记满足
的数对
的个数为 ,则 估计值约为 (
)
A. 3333 B. 3000 【答案】 A
C. 2000 D. 1667
【解析】分析：设事件 为 “ 上随机产生数对
，满足
”，则总的基本事件为
，对应的测
度为正方形的面积 1，而随机事件 对应的测度为为曲边梯形
故选： B ．
1
14．定积分 x 2 x dx 的值为 ( )
0
A.
4
B.
2
【答案】 A
C. π D. 2π
【解析】 y
x2 x,
2
x1
y2
1表示以 1,0 为圆心， 以 1为半径的圆，
于该圆的面积的四分之一，
1
定积分 x 2 x dx
0
，故选 A.
4
1
定积分 x 2 x dx 等
0
x2,0 x 1,
们所占据的区域都是有限的，因此可用 “比例解法 ”求解几何概型的概率．
17 ．若
A.
B.
【答案】 C
【解析】
的展开式中含有常数项，且 的最小值为 ，则