2021年河北省保定市高考数学一模试卷

2021年河北省保定市高考数学一模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知R 为全集，集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|x <3}，则(∁R A)∩B =( )

A. {x|2<x <3}

B. {x|2≤x <3}

C. {x|x <0或2≤x <3}

D. {x|x ≤−2或2≤x <3}

2. 设a ，b ∈R ，则“|a +bi|=|1+i|”是“a =b =1”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

3. 已知平面向量m

⃗⃗⃗ =(3−x,1)，n ⃗ =(x,4)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则下列正确的是( ) A. x =−1 B. x =−1或4

C. x =12

5

D. x =4

4. 已知a =log 70.3，b =0.70.3，c =70.3，则( )

A. a <b <c

B. a <c <b

C. c <a <b

D. b <c <a

5. 过圆O ：x 2+y 2=5外一点P(2,√5)作圆O 的切线，切点分别为A ，B ，则|AB|=( )

A. 2

B. √5

C. 4√5

3

D. 3

6. 已知函数f(x)=2sinx ，为了得到函数g(x)=2sin(2x −π

3)的图象，只需( )

A. 先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移π

6个单位 B. 先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的1

2，再向右平移π

6个单位 C. 先将函数f(x)图象向右平移π

6个单位，再将点的横坐标变为原来的1

2 D. 先将函数f(x)图象向右平移π3个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍

7. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，动点P 到直线AD 的距离与到平面BB 1C 1C 的距离相

等，则P 在平面CC 1D 1D 上的轨迹是( )

A. 线段

B. 椭圆一部分

C. 抛物线一部分

D. 双曲线一部分

8. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古

代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才”.北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、…，上面一粒珠(简称上珠)代表5，下面一粒珠(简称下

珠)是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠(上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨)，则算盘表示的整数能够被3整除的概率是( )

A. 3

8

B. 5

8

C. 2

9

D. 1

2

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知P 为△ABC 所在平面内一点，则下列正确的是( )

A. 若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点P 在△ABC 的中位线上

B. 若PA

⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则P 为△ABC 的重心 C. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC

⃗⃗⃗⃗⃗ >0，则△ABC 为锐角三角形 D. 若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1

3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2

3

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 与△ABP 的面积比为3：2 10. 函数f(x)=12x +cosx(x >0)的所有极值点从小到大排列成数列{a n }，设S n 是{a n }

的前n 项和，则下列结论中正确的是( )

A. 数列{a n }为等差数列

B. a 4=

17π6

C. sinS 2021=1

2

D. tan(a 3+a 7)=√3

3

11. 已知函数f(x)=cosx e x +sinx ，则下列选项中正确的是( )

A. f(x)在(0,π

2)上单调递减 B. x ∈(π

2,π)时，f(x)<0恒成立

C. (−π2,0)是函数f(x)的一个单调递减区间

D. x =−π是函数f(x)的一个极小值点

12. 已知曲线C 上的点P(x,y)满足方程x|x −1|+y|y −1|=0，则下列结论中正确的

是( )

A. 当x ∈[−1,2]时，曲线C 的长度为2√2+√2π2

B. 当x ∈[−1,2]时，y−1x+2的最大值为1，最小值为−1

2 C. 曲线C 与x 轴、y 轴所围成的封闭图形的面积和为π

4−1

2

D. 若平行于x 轴的直线与曲线C 交于A ，B ，C 三个不同的点，其横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是(2,3

2

+√2

2)

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知一组数据−3，2a ，4，5−a ，1，9的平均数为3(其中a ∈R)，则中位数为______ ． 14. (x 2+2

x )3展开式中的常数项为______ ．

15. 已知函数f(x)=xe 2x −e 的导函数为f′(x)，则f′(0)= ______ ；若lnx 0+2x 0=3，

则f(x 0)= ______ ．

16. 已知△ABC 为等边三角形，PA ⊥底面ABC ，三棱锥P −ABC 外接球的表面积为4π，

则三棱锥P −ABC 体积的最大值是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知数列{a n }满足：a 1=1

4，a n+1=3

2a n −1．

(1)求证数列{a n −2}是等比数列；

(2)若数列{b n }满足b n =2n+2⋅a n ，求{b n }的最大值．

18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sinB +bcosA =b ，a =2√3．

(1)求角A 的大小；

(2)若sinC =2sinB ，求△ABC 的面积．