相似三角形性质与判定专项练习30题

相似三角形性质和判定专项练习 30题(有答案)
1 已知：如图，在 △ ABC 中，点D 在边BC 上，且/ BAC= / DAG ，/ CDG= / BAD
2.如图，已知在 △ ABC 中，/ ACB=90 °点D 在边BC 上，
CE 丄AB , CF 丄AD , E 、 2
(1) 求证：AC =AF?AD ;
3 .如图， △ ABC 中，PC 平分/ ACB , PB=PC .
(1) 求证：△ APCACB ;
(2) 若 AP=2 , PC=6，求 AC 的长.
F 分别是垂足
. (1) 求证：乂=」；
AB AC
(2) 当 GC 丄 BC 时，求证：/ BAC=90 °
(2) 联结 EF ，求证：AE?DB=AD?EF .
4.如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE丄CD，垂足为点E,连接AE , F为AE上一点，且/ BFE= / C.
(1)求证：△ ABF EAD ;
(2)若AB=4，/ BAE=30 ° 求AE 的长.
5.已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=2 / C, BD 平分/ ABC . 求证：AB?BC=AC?CD .
6.已知△ ABC，/ ACB=90 ° AC=BC，点E、F 在AB 上，/ ECF=45 ° 设厶ABC 的面积为S,说明AF?BE=2S 的理由.
7 •等边三角形 ABC 的边长为6,在AC , BC 边上各取一点 E , F ,连接AF , BE 相交于点P .
(1) 若 AE=CF ;
① 求证：AF=BE ，并求/ APB 的度数；
② 若AE=2，试求 AP?AF 的值；
(2) 若AF=BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长.
9.已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC , DE // BC ,点F 在边AC 上, DF 与BE 相交于点 G ,且/ EDF= / ABE .
求证：(1) △ DEFBDE ； (2) DG?DF=DB?EF
. AD , BE 是钝角△ ABC 的边BC , AC 上的高，求证: AD =AC
77=「
&如图所示,
10.如图，△ ABC、△ DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H 两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？
11.如图，AB和CD交于点O,当/ A= / C时，求证：OA?OB=OC?OD .
12 .如图，已知等边三角形△ AEC，以AC为对角线做正方形ABCD (点B在厶AEC内，点D在厶AEC夕卜).连接EB,过E作EF丄AB，交AB的延长线为F.
(1)猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想.
(2)证明：△ BEFABC，并求出相似比.
2
13.已知：如图，△ ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分/ ECB，且BC =BD ?BA .
(1)求证：△ CEDACD ;
⑵求证：：:
£ D
14.如图，△ ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且/ BAD= / BGD= / C,联结AG .
(1)求证：BD?BC=BG ?BE ;
(2)求证：/ BGA= / BAC .
15.已知：如图，在△ ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD丄BC, BE丄AC , BE, AD相交于点G , 过点B作BF // AC交AD的延长线于点F, DF=6 .
(1)求AE的长；
(2)求字丄的值.
'△FBG
16.如图，△ ABC 中，/ ACB=90 ° D 是AB 上一点，M 是CD 中点，且/ AMD= / BMD , AP // CD 交BC 延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN .
(1)求证：MN=MA ;
17.已知：如图，在△ ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得/ CAD= / B, DC=3且S AACD : S^ADB= 1 ：2.
(1)求AC的值；
(2)若将△ ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB // DE，求二2—的值.
18.在△ ABC中，D是BC的中点，且AD=AC , DE丄BC ,与AB相交于点E, EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ ABC FCD;
(2)若DE=3 , BC=8，求△ FCD 的面积.
19 .如图，△ ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作/ ADE=60 ° DE与厶ABC的外角平分线CE 交于点E.
(1)求证：/ BAD= / FDE ;
(2)设DE与AC相交于点G,连接AE，若AB=6 , AE=5时，求线段AG的长.
20.如图所示，△ ABC中，/ B=90°点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以
2cm/s的速度移动.
(1)如果P, Q分别从A , B同时出发，经几秒，使△ PBQ的面积等于8cm2?
(2)如果P, Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△ PCQ的面积等于12.6cm2?
21.已知：如图，△ ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60。

得到线段DE，延长ED 交AC于点F，连接DC、AE .
(1)求证：△ ADE ◎△ DFC;
(2)过点E作EH // DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH .求/ AHE的度数；
(3)若BG= ：，CH=2，求BC 的长.
3
3
22.如图，在△ ABC中，CD平分/ ACB，BE // BC交AC于点E.
(1)求证：AE?BC=AC ?CE;
(2)若S^ADE : S^CDE=4 : 3.5，BC=15，求CE 的长.
23.如图，四边形ABCD中，AC平分/ DAB，/ ADC= / ACB=90 ° E为AB的中点,
2
(1)求证：AC =AB ?AD ;
(2)求证：CE// AD ;
(3)若AD=4 , AB=6，求二的值.
24.在△ ABC中，/ CAB=90 ° AD丄BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G,点F在BC 上.
(1)如图1, AC : AB=1 : 2, EF 丄CB,求证：EF=CD .
(2)如图2, AC : AB=1 : 二，EF丄CE,求EF: EG 的值.
25 .如图，M、N、P分别为△ ABC三边AB、BC、CA的中点, (1)求
BP与MN、AN分别交于E、F.
证：BF=2FP ;
26.在Rt△ ABC 中，/ ACB=90 ° CD 丄AB，垂足为D, E、F 分别是AC , BC 边上一点，且CE」AC , BF=丄BC ,
4 4
(1)求证：二一二
B L BD
(2)求/ EDF的度数.
27 .如图，△ ABC是等边三角形，且AB // CE .
(1)求证：△ ABD CED ;
(2)若AB=6 , AD=2CD ,
①求E到BC的距离EH的长.
②求BE的长.
28.如图，Rt △ AB C 是由Rt △ ABC 绕点A 顺时针旋转得到的,
;
连接CC'交斜边于点E , CC 的延长线交BB 于点F . (1) 若 AC =3, AB =4，求 证明：△ ACEFBE ;
B 满足什么关系时, △ ACE 与厶FBE 是全等三角形，并说明理由.
(2) (
30.如图，在 Rt △ ABC 中，/ C=90°且AC=CD= 伍，又E , D 为CB 的三等分点.
(1) 证明：△ ADE BDA ;
(2) 证明：/ ADC= / AEC+ / B ;
(3) 若点P 为线段AB 上一动点，连接 PE ,则使得线段PE 的长度为整数的点 P 的个数有几个？请说明理由.
29.如图，△ ABC 是等边三角形，/ DAE=120 °求证: (1) △ ABD s\ ECA ; (2) BC 2=DB?CE
.
相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案: 1 解：(1)vZ ADC= / B+ / BAD , 且/ CDG= / BAD ,
•••/ ADG= / B;
•••/ BAC= / DAG ,
•△ ABC ADG ,
•匚=打
…匸L
(2)vZ BAC= / DAG ,
•••/ BAD= / CAG ;
又•••/ CDG= / BAD ,
•••/ CDG= / CAG ,
•A、D、C、G四点共圆，
•••/ DAG+ / DCG=180 °
•/ GC 丄BC ,
•••/ DCG=90 °
•••/ DAG=90 ° / BAC= / DAG=90 °
2.解：(1)如图，•••/ ACB=90 ° CF丄AD ,
•••/ ACD= / AFC，而/ CAD= / FAC,
•△ ACD AFC ,
…
AF AC
2
•- AC =AF ?AD .
(2)如图，T CE丄AB , CF丄AD ,
•••/ AEC= / AFC=90 °
•A、E、F、C四点共圆，
•••/ AFE= / ACE ;而/ ACE+ / CAE= / CAE+ / B,
•••/ ACE= / B ,Z AFE= / B ;
•••/ FAE= / BAD ,
•△ AEF ADB ,
•AE : AD=BD : EF ,
•AE?DB=AD ?EF.
3.解:(1)T PB=PC, •••/ B= / PCB ;
•/ PC 平分/ ACB ,
:丄 ACP= / PCB ，/ B= / ACP ,
•••/ A= / A ,
•••△ APCACB .
("•: △ APCACB ,
• J T
• •—=二 >
AC AB
•/ AP=2 , PC=6, AB=8 ,
AC=4 .
•/ AP+AC=PC=6 ,
这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾， •该题无解.
4. (1)证明：T AD // BC ,
•••/ C+Z ADE=180 °
•••/ BFE= Z C,
• Z AFB= Z EDA ,
•/ AB // DC ,
• Z BAE= Z AED ,
• △ ABF EAD ;
(2)解：T AB // CD , BE 丄 CD ,
• Z ABE=90 °
•/ AB=4 , Z BAE=30 °
• AE=2BE ,
由勾股定理可求得 AE=:：
3
5 .证明：T Z ABC=2 Z C , BD 平分Z ABC ,
• Z ABD= Z DBC= Z C,
• BD=CD ,
在厶ABD 和△ ACB 中, • △ ABD ACB ,
即 AB?BC=AC ?BD ,
• AB?BC=AC ?CD .
6 .证明：T AC=BC ,
• Z A= Z B ,
T Z ACB=90 °
• Z A= Z B=45 ° T Z ECF=45 °
• Z ECF= Z B=45 ° ,
• Z ECF+ Z 1 = Z B+ Z 1,
；Z A =Z A \Z ABD =Z C
•••/ BCE= / ECF+ / 1,/ 2= / B+ / 1 ;
•••/ BCE= / 2,
•••/ A= / B ,
• △ ACF BEC .
•「肯
BE BC
• AC?BC=BE?AF ,
•- S ^ABC ==AC?BC=：BE?AF ,
_ 2 2
• AF?BE=2S .
7. (1)① 证明：•••△ ABC 为等边三角形，
• AB=AC ，/ C= / CAB=60 °
又••• AE=CF ,
在厶ABE 和厶CAF 中，
r AB=AC
• ZBAE=ZACF ,
AE=CF
• △ ABE ◎△ CAF (SAS ),
• AF=BE ，/ ABE= / CAF .
又•••/ APE= / BPF= / ABP+ / BAP ,
• / APE= / BAP+ / CAF=60 °
• / APB=180。

-/ APE=120 °
② I/ C= / APE=60 ° / PAE= / CAF , •△ APE ACF ,
•・ 即匚 …，所以AP?AF=12
AC AF 6 AF
(2)若AF=BE ，有AE=BF 或AE=CF 两种情况.
又••• AB=6 ,
• 0A= • _；,
点P 的路径是 ②当AE=BF 时，点P 的路径就是过点 C 向AB 作的垂线段的长度；因为等边三角形 ABC 的边长为6,所以点P
的路径为： & m J .
所以，点P 经过的路径长为 ①当AE=CF 时，点P 的路径是一段弧，由题目不难看出当
△ ABP 为等腰三角形，且/ ABP= / BAP=30 °
• / AOB=120 °
E 为AC 的中点的时候，点 P 经过弧AB 的中点，此时
nJTjrJ20% "273,473 i=l30 = 180
8证明：••• AD , BE是钝角△ ABC的边BC , AC上的高, •••/ D= / E=90 °•••/ ACD= / BCE ,
•△ ACD BCE ,
■-:：,
9.证明：(1 )T AB=AC ,
•••/ ABC= / ACB ,
•/ DE // BC ,
•••/ ABC+ / BDE=180 ° / ACB+ / CED=180 °
•••/ BDE= / CED ,
•••/ EDF= / ABE ,
•△ DEFBDE ;
(2)由△ DEFBDE，得' -：，.
DE EF
2
•- DE =DB ?EF,
由厶DEFBDE，得/ BED= / DFE .
•••/ GDE= / EDF ,
•••△ GDEEDF .
•［匸
… ,
DE DF
2
•- DE =DG?DF ,
•DG?DF=DB ?EF.
10.解：设EC=x , CH=y，贝U BE=2 - x,
•••△ ABC、△ DEF都是等边三角形，
•••/ B= / DEF=60 °
•••/ B+ / BDE= / DEF+ / HEC ,
•••/ BDE= / HEC ,
•••△ BED CHE ,
•CE CH
•三H，
••• AB=BC=2，点D为AB的中点，
•BD=1 ,
•二一’
_ - !,，
2 2
即：y= - x +2x= -( x- 1) +1.
•••当x=1时，y最大.此时，E在BC中点
11.解：I/ A= / C,/ AOD= / BOC ,
•••△ OAD s\ OCB ,
••• 1= I'
oc丽
•OA?OB=OC?OD .
12 .解：(1)猜测BE和直线AC垂直. 证明：•••△ AEC是等边三角形，•AE=CE,
•••四边形ABCD是正方形，
•AB=CB ,
•/ BE=BE ,
•△ AEB ◎△ CEB (SSS).
•/ AEB= / CEB ,
•/ AE=CE ,
•BE 丄AC ;
(2)v^ AEC是等边三角形，
•/ EAC= / AEC=60 °
•/ BE 丄AC ,
•/ BEA= / AEC=30 °
2
•••四边形ABCD是正方形，
•/ BAC=45 °
•/ BAE=15 ° ,
•/ EBF=45 °
•/ EF 丄BF ,
•/ F=90 ° °
•/ EBF= / BAC , / F= / ABC ,
•△ BEFACB ,
延长EB 交AC 于G ,设AC 为2a ,贝U BG=a , EB= :a- a ,
•相似比是：」=「［"=」「「= '
AC 2s 2a 2
2
13 .证明：(1)v BC =BD?BA ,
•BD: BC=BC : BA ,
•••/ B是公共角，
•△ BCDBAC ,
•/ BCD= / A ,
•/ CD 平分/ ECB,
•/ ECD= / BCD ,
:丄 ECD= / A ,
•••/ EDC= / CDA , •••△ CED s\ ACD ;
(2)T A BCD s\ BAC , △ CED s\ ACD ,
AB^C CE^C
：■ : l，H H，
AB CB
BC^ED
14.证明：(1)V Z DBG= / EBC,/ BGD= / C, •••△ BDG s\ BEC , • ■::,
贝U BD?BC=BG ?BE ;
(2)V Z DBA= / ABC，/ BAD= / C,
•△ DBA ABC ,
•••：' = "'，即AB2=BD?BC,
AB BC
•/ BD?BC=BG?BE ,
•- AB2=BG?BE，即：，^ _l',
AB BE
•••/ GBA= / ABE ,
•△ GBA ABE ,
•••/ BGA= / BAC .
15 .解：(1)V在△ ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD丄BC , BE丄AC , •AC=AB=BC ,
•△ ABC是等边三角形，
•••/ C=60 °
•/ BF // AC ,
•••/ CBF= / C=60 °
•/ AD 丄BC ,
•••/ FDB=90 ° ,
•••/ F=30 ° °
•/ DF=6 ,
•BD=2 ；,
•/ AE=EC=BD=DC ,
•AE=2 二；
(2)V Z BDF=90 ° / F=30 ° BD=2 ■:,
•BF=2DB=4 :,
•/ AC // BF ,
•△ AEG FBG ,
2 -
… =(---------) =
'△FEG BF 4
16 .证明:(1)v AP // CD,
•••/ AMD= / MAN，/ BMD= / MNA , •••/ AMD= / BMD , •••/ MAN= / MNA ,
• MN=MA .
•/ AP // CD，且PN=AN .
•vi= ' r
•MC=MD ,
•CN为直角△ ACP斜边AP的中线，
•CN=NA，/ NCA= / NAC ,
•/ AP // CD ,
•/ NAC= / ACD ,
•/ NCM=2 / ACD ,
•••/ CMN= / DMB，/ DMA= / BMD ,
•/ CMD= / DMA ,
在厶CMN和厶DMA中，
r dI=MD
•ZCMN=ZDHA,
,MN=MA
•△ CMN ◎△ DMA (SAS),
/ ADM= / NCM=2 / ACD .即：/ CDA=2 / ACD .
17.解：(1)T S AACD : ADB= 1: 2,
•BD=2CD ,
•/ DC=3 ,
•BD=2 X3=6,
•BC=BD+DC=6+3=9 ,
•••/ CAD= / B ,Z C=Z C,
•△ ABC DAC ,
•： = ■::,
即_
解得AC=3 T；
(2)由翻折的性质得，/ E=Z C, DE=CD=3 ,
•/ AB // DE ,
• / B= / EDF ,
18. (1)证明：T D 是BC 的中点，DE 丄BC ,
• BE=CE ,
•••/ B= / DCF ,
•/ AD=AC ,
•••/ FDC= / ACB ,
• △ ABC s\ FCD ;
(2)解：过A 作AG 丄CD ，垂足为G .
•/ AD=AC ,
• DG=CG ,
• BD : BG=2 : 3,
•/ ED 丄 BC ,
• ED // AG ,
•••△ BDE BGA ,
• ED : AG=BD : BG=2 : 3,
•/ DE=3 ,
• AG= J
, 2
•/△ ABC FCD , BC=2CD ,
S
A ABC =[ >BC >7\G=p >8X'_
V FCD = j ABC ='.
4
2
•••/ B=60 °
由三角形的外角性质得，/ ADE+ / FDE= / BAD+ / B , •••/ ADE=60 °
• / BAD= / FDE ;
(2)解：如图，过点 D 作DH // AC 交AB 于H ,:( i 「)
^A APC AC
•- =( "I) ^A AEC BC
2=1
=- =18,
•••△ ABC为等边三角形，
•••△ BDH是等边三角形，
•••/ BHD=60 ° BD=BH ,
•••/ AHD=180 °- 60°120°
••• CE是厶ABC的外角平分线，
•••/ ACE=2 ( 180°- 60° =60°
2
•••/ DCE=60 °60 °120 °
•••/ AHD= / DCE=120 °
又••• AH=AB - BH , CD=BC - BD ,
•AH=CD ,
在厶AHD和△ DCE中，
<ZBAD=Z?DE
-AH=CD ,
ZAHD=ZDCE
L
•••△ AHD ◎△ DCE (ASA ),
•AD=DE ,
•••/ ADE=60 °
•△ ADE是等边三角形，
•••/ DAE= / DEA=60 ° AE=AD=5 ,
•••/ BAD= / BAC -Z CAD=60。

-/ CAD ,
/ EAG= Z DAE -Z CAD=60。

- Z CAD ,
•Z BAD= Z EAG ,
•△ ABD AEG ,
•二「I ■，即岂=',
5 6
解得AG= !，.
6
2
20 .解：(1)设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△ PBQ面积为8cm ,
由题意得(6 - x) ?2x=8，解之，得x i=2 , X2=4 ,
2
经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；
2
或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△ PBQ的面积为8cm , 综上所述，经过2秒或4秒，△ PBQ 的面积为8cm2;
(2)当P在AB 上时，经x 秒，△ PCQ 的面积为：沖B>CQ= X( 6-x) (8- 2x) =12.6,
2 2
解得：X1二二___ (不合题意舍去)，X2」" ',
5 5
经x秒，点P移动到BC上，且有CP= (14 -x) cm,点Q移动到CA上，且使CQ= (2x- 8) cm,
过Q作QD丄CB,垂足为。

，由△ CQD CAB得一- '',
2i- 3~AC
即QD「；,
10
由题意得'■ (14-x) ? 一=12.6，解之得X1=7, X2=11.
2 10
经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△ PCQ的面积等于12.6cm2.
经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14> 10,点Q已超出CA的范围，此解不存在. 综上所述，经过7秒和打_「'打秒时△ PCQ的面积等于12.6cm2
5
21.(1)证明：如图，
•••线段DB顺时针旋转60°得线段DE ,
•••/ EDB=60 °, DE=DB .
•/△ ABC是等边三角形，
•••/ B= / ACB=60 °
•••/ EDB= / B .
•EF // BC .
•DB=FC，/ ADF= / AFD=60 °
•DE=DB=FC，/ ADE= / DFC=120 ° △ ADF 是等边三角形.
•AD=DF .
•△ ADE ◎△ DFC .
(2)解：由△ ADE ◎△ DFC,
得AE=DC，/ 仁/ 2.
•/ ED // BC , EH // DC,
•四边形EHCD是平行四边形.
•EH=DC，/ 3=Z 4.
•AE=EH .
•/ AEH= / 1 + / 3=Z 2+ / 4=Z ACB=60 °
•△ AEH是等边三角形.
•/ AHE=60 °
(3)解：设BH=x，贝U AC=BC=BH+HC=x+2 ,
由(2)四边形EHCD是平行四边形，
•ED=HC .
•DE=DB=HC=FC=2 .
•/ EH // DC ,
•△ BGH BDC .
.EG BH
•:古
2
即
2 x+2 解得x=1 . ••• BC=
3 .
B --- H ------ C
22.(1)证明：T DE // BC ,
•••/ ADE= / B ,Z AEC= / ACB ,
• △ ADE ABC ,
•二='I：
AC BC
•/ DE // BC ,
•••/ EDC= / BCD , •/ CD 平分/ ACB , •••/ BCD= / DCE , •••/ DCE= / EDC , •DE=CE,
•' = '',!卩AE?BC=AC ?CE;
AC BC
(2)T ADE: S
^CDE=4: 3.5,
•AE : CE=4 : 3.5,
•• ■二■-
…一，
•—= 1，解得DE=6 ,
BC 7.5
•/ DE=CE ,
•CE=8.
23.
(1)证明：T AC平分/ DAB , •••/ DAC= / CAB ,
T/ ADC= / ACB=90 °
• △ ADC ACB ,
••• AD : AC=AC : AB ,
2
•- AC =AB ?AD ;
(2)证明：T E为AB的中点，
•CE=_AB=AE ,
2
•••/ EAC= / ECA ,
•••/ DAC= / CAB ,
•••/ DAC= / ECA ,
•CE // AD ;
(3)解：T CE / AD ,
•△ AFD CFE,
•AD : CE=AF : CF,
T CE= AB ,
2
•CE= >6=3,
2
T AD=4 ,
•二 z
•:，
…「J
24. (1)证明：如图1 ,
在厶ABC 中，T/ CAB=90 ° AD 丄BC 于点D, •/ CAD= / B=90 °-Z ACB .
T AC : AB=1 : 2,
•AB=2AC ,
T点E为AB的中点，
•AB=2BE ,
•AC=BE .
在厶ACD与厶BEF中，
r ZCAD=ZB
£ ZADC=ZBFE=90",
t QBE
•△ ACD ◎△ BEF ,
•CD=EF，即EF=CD;
(2)解：如图2，作EH丄AD于H , EQ丄BC于Q, T EH 丄AD , EQ 丄BC, AD 丄BC ,
•四边形EQDH是矩形，
•/ QEH=90 °
•/ FEQ= / GEH=90。

-/ QEG , 又T/ EQF= / EHG=90 °
•△ EFQEGH ,
••• EF: EG=EQ : EH .
•/ AC : AB=1 : / CAB=90 ° °
•••/ B=30°.
在厶BEQ 中，•••/ BQE=90 °
•sin B=J=_,
BE 2
•EQ=_BE.
2
在厶AEH 中，•••/ AHE=90 ° / AEH= / B=30 °•cos/ AEH=："=-：,
•EH=「AE .
2
•••点E为AB的中点，
•BE=AE ,
•EF: EG=EQ : EH= BE : —AE=1 :密=7： 3.
25. (1)证明：如图1，连接PN ,
•/ N、P分别为△ ABC边BC、CA的中点，
•PN // AB，且F'_<- t ：.
•△ ABF NPF,
.匸
•〒齐忑z
•BF=2FP.
(2)解：如图2，取AF的中点G,连接MG,
•MG // EF, AG=GF=FN .
•△ NEFNMG , • S^ NEF= j MNG
AE 2
26. (1)证明：T CD 丄AB , •••/ CDB= / ADC=90 °
•••/ ACD+ / BCD=90 °
•••/ ACB=90 °
•••/ A+ / ACD=90 °
•••/ A= / BCD ,
• △ ADC CDB ,
• AC_ CD.
= ;
CB DB
7AC _ _
.=「='1
':■ 1
.■ I. J ., 4叽
又 T / A= / BCD ,
•••/ ACD= / B ,
•••△ CEDBFD ,
•••/ CDE= / BDF ,
•••/ EDF= / EDC+ / CDF= / BDF+ / CDF= / CDB=90
27 .解；(1)T AB // CE ,
•••/ A= / DCE , 又 T / ADB= / EDC ,
• △ ABD CED ;
(2)解：T CE= AC ,
BF= BC 4
(2)① 过点E 作EH 丄BF 于点H ,
•/△ ABC 是等边三角形， △ ABD s\CED , AB=6 , AD=2CD , •••丄=_=二/ A= / ACB=60 °
CE CD 1
• CE=3,
•/ AB // CE ,
•••/ A= / DCE=60 °
•••/ ECH=180 ° -Z ACB -Z DCE=180 ° - 60°- 60°60 °
②在Rt △ ECH 中，
•••Z ECH=60 ° CE=3 ,
• CH=CE?cos60°3 丁 =；,
2 2
• BH=BC+CH=6+ '=- —
2 2
BB 7 AB 4'
(2)证明：• Rt △ AB C 是由Rt △ ABC 绕点A 顺时针旋转得到的, • AC=AC A , AB=AB ；Z CAB= Z C AB (1 分)
• Z CAC = Z BAB A ,
• Z ABB = Z AB B= Z ACC = Z AC C,
• Z ACC = Z ABB A , (3 分)
又 T Z AEC= Z FEB ,
• △ ACE FBE . (4 分)
28. (1)解：• AC=AC AB=AB :
•「
b ：• ■：'
由旋转可知：Z CAB= Z C'AB
• Z CAB+ Z EAC = Z C'AB '+ Z EAC 即Z CAC = Z BAB 又ACB= Z AC B =90 °
• △ ACC '"△ ABB
•/ AC=3 , AB=4 ,
•― \ • EH=CE?si n60
(3)解：当3=2 a 时，△ ACE ◎△ FBE .理由：在厶ACC '中，
•/ AC=AC :
•••/ACC= / ACC=「：，1' —=：：
2 2
在Rt △ ABC 中，
/ ACC + / BCE=90 °
即90°—a+ / BCE=90 °
•••/ BCE=90 ° - 90°+a= a,
ABC= a,
•••/ ABC= / BCE , (8 分)
•CE=BE,
由(2)知：△ ACEFBE ,
29.证明：(1)v^ ABC是等边三角形，/ DAE=120 °
•••/ DAB+ / CAE=60 °
•••/ ABC是厶ABD的外角，
•••/ DAB+ / D= / ABC=60 °
•••/ CAE= / D ,
•••/ ABC= / ACB=60 ° °
•••/ ABD= / ACE=120 °
• △ ABD ECA ;
(2)T A ABD ECA ,
=丄,即AB ?AC=BD ?CE ,
CE AC
•/ AB=AC=BC ,
2
• BC =BD ?CE
(1)证明：T AC=CD=DE=EB= .：, 又/ C=90 ° °
• AD=2 ,
2 W2
-/=，
•「二
•上.11,
又•••/ ADE= / BDA ,
= =90。

- a , ( 6 分
)
DEW2 DA
=■.， 11
30.
• △ ADE BDA ;
(2)证明：•••△ ADE s\ BDA ,
•••/ DAE= / B ,
又•••/ ADC= / AEC+ / DAE ,
•••/ ADC= / AEC+ / B ;
(3)解：•••点P为线段AB上一动点,
根据勾股定理得：AE
=t—」厂门* Ji, BE=:,
• PE的最大值为叮］
作EF丄AB，贝U EF='，贝U PE的最小值为’
5 5
•:年Pw —
5
•/ EP 为整数，即EP=1 , 2, 3,
结合图形可知PE=1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个.。