2020-2021学年天津一中九年级上学期第一次月考数学试卷 (含解析)

2020-2021学年天津一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题）.
1．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．与y＝2x2+3x+1形状相同的抛物线解析式为（）
A．y＝1+x2B．y＝（2x+1）2C．y＝（x﹣1）2D．y＝﹣2x2
3．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57 4．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝0的一个根，则a的值为（）A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4
5．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根b，则a+b的值为（）A．1B．﹣1C．0D．一2
6．把抛物线有y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+6B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y＝﹣2（x+1）2+6D．y＝﹣2（x+1）2﹣6
7．某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（）
A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a
8．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20
9．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0）．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．二次函数y1＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1+y2＝2，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是（）
A．函数y2的图象开口向上
B．函数y2的图象与x轴没有公共点
C．当x＞2时，y2随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y2的值小于0
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P＝a+b+c，则P的取值范围是（）
A．﹣3＜P＜﹣1B．﹣6＜P＜0C．﹣3＜P＜0D．﹣6＜P＜﹣3二．填空题（共6小题）.
13．将抛物线y＝x2+2x﹣1绕其顶点旋转180°后，所得到的新的抛物线的解析式为．14．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根为．
15．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4≤x1≤﹣2，0≤x2≤2，则y1，y2的大小关系是：y1y2．
16．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．
17．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是．
18．对于实数p，q，且（p≠q），我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝3，则x＝．
三．解答题（共7小题）
19．已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），它与x轴的一个交点的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大．
20．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
21．抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若﹣4≤x≤1，求y2﹣2y1的取值范围．
22．已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1过定点H．
（1）求出H的坐标．
（2）若抛物线经过点A（0，1），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．
24．已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．
25．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
参考答案
一、选择题（共12小题，每题3分）
1．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标．
解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3，
∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）．
故选：A．
2．与y＝2x2+3x+1形状相同的抛物线解析式为（）
A．y＝1+x2B．y＝（2x+1）2C．y＝（x﹣1）2D．y＝﹣2x2
【分析】抛物线的形状只是与a有关，|a|＝2，形状就相同．
解：根据题意a＝±2．
故选：D．
3．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（）
A．（x+4）2＝9B．（x﹣4）2＝9C．（x﹣8）2＝16D．（x+8）2＝57【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．解：∵x2+8x+7＝0，
∴x2+8x＝﹣7，
⇒x2+8x+16＝﹣7+16，
∴（x+4）2＝9．
∴故选：A．
4．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝0的一个根，则a的值为（）A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4
【分析】将x＝﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝0，再解关于a的一元二次方程即可．
解：∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝0的一个根，
∴4+5a+a2＝0，
∴（a+1）（a+4）＝0，
解得a1＝﹣1，a2＝﹣4，
故选：B．
5．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根b，则a+b的值为（）A．1B．﹣1C．0D．一2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝b代入x2+ax+b＝0得b2+ab+b＝0，然后把等式两边除以b即可．
解：把x＝b代入x2+ax+b＝0得b2+ab+b＝0，
而b≠0，
所以b+a+1＝0，
所以a+b＝﹣1．
故选：B．
6．把抛物线有y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+6B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y＝﹣2（x+1）2+6D．y＝﹣2（x+1）2﹣6
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标间，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，6）
∴所得抛物线解析式是y＝﹣2（x+1）2+6．
故选：C．
7．某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（）
A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a
【分析】第一轮分裂成n个细胞，第二轮分裂成n•n＝n2个细胞，结合题意可得答案．解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为n2＝a，
故选：A．
8．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20
【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．
解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，
∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，
∴a+b＝8，ab＝5，
＝
＝
＝
＝﹣20．
故选：A．
9．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0）．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据题意可知一元二次方程的根应为整数ax2+bx+c＝p（p＞0），通过抛物线y ＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0）．可以画出大致图象判断出直线y＝p（0＜p≤﹣9a），观察图象当0＜y≤﹣9a时，抛物线始终与x轴相交于（﹣4，0）于（2，0）．故自变量x的取值范围为﹣4＜x＜2．所以x可以取得整数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，共5个．由于x＝﹣3与x＝1，x＝﹣2与x＝0关于对称轴直线x ＝﹣1对称，所以于x＝﹣3与x＝1对应一条平行于x轴的直线，x＝﹣2与x＝1对应一条平行于x轴的直线，x＝﹣1时对应一条平行于x轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y＝p时，p的值应有3个．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1
∴﹣＝﹣1，解得b＝2a．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）．
把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+4a+c
解得，c＝﹣8a．
∴y＝ax2+2ax﹣8a（a＜0）
对称轴h＝﹣1，最大值k＝＝﹣9a
如图所示，
顶点坐标为（﹣1，﹣9a）
令ax2+2ax﹣8a＝0
即x2+2x﹣8＝0
解得x＝﹣4或x＝2
∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（﹣4，0）与（2，0）
∴ax2+bx+c＝p
即常函数直线y＝p，由p＞0
∴0＜y≤﹣9a
由图象得当0＜y≤﹣9a时，﹣4＜x＜2，其中x为整数时，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）的整数解有5个．
又∵x＝﹣3与x＝1，x＝﹣2与x＝0关于直线x＝﹣1轴对称
当x＝﹣1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有3个．
故选：B．
11．二次函数y1＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1+y2＝2，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是（）
A．函数y2的图象开口向上
B．函数y2的图象与x轴没有公共点
C．当x＞2时，y2随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y2的值小于0
【分析】y2是y1关于x轴对称后向上平移两个单位得到的，由可以看出a＞0，△＜0，利用函数的性质即可求解；
解：∵y1+y2＝2，
∴y2＝2﹣y1＝2﹣ax2﹣bx﹣c＝﹣ax2﹣bx﹣c+2，
由可以看出a＞0，△＜0，
∴y2开口向下；
∴b2﹣4ac＜0，
∴b2﹣4a（c﹣2）＝b2﹣4ac+8a，无法端点△的取值情况；
y2是y1关于x轴对称后向上平移两个单位得到的，
从图象看，当x＞2时，y1随x的增大而减小，
∴y2随x的增大而减小；
当x＝1时，0＜y1＜1，
∴当x＝1时，1＜y2＜2；
故选：C．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P＝a+b+c，则P的取值范围是（）
A．﹣3＜P＜﹣1B．﹣6＜P＜0C．﹣3＜P＜0D．﹣6＜P＜﹣3【分析】利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，a+b+c＜﹣3，把x＝﹣1代入求出b＝a﹣3，把x＝1代入得出P＝a+b+c＝2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），
∴0＝a﹣b+c，﹣3＝c，
∴b＝a﹣3，
∵当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c，
∴P＝a+b+c＝a+a﹣3﹣3＝2a﹣6，
∵顶点在第四象限，a＞0，
∴b＝a﹣3＜0，
∴a＜3，
∴0＜a＜3，
∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜P＜0．
故选：B．
二．填空题（共6小题，每题3分）
13．将抛物线y＝x2+2x﹣1绕其顶点旋转180°后，所得到的新的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣3．
【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论．
解：y＝x2+2x﹣1，
＝（x2+2x+1）﹣2，
＝（x+1）2﹣2，
将原抛物线绕顶点旋转180°后，得y＝﹣（x+1）2﹣2，
即：y＝﹣x2﹣2x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣3．
14．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的根为﹣1，3．
【分析】将x＝﹣1，y＝0代入抛物线的解析式可得到c＝﹣3a，然后将c＝﹣3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可．
【解答】解法一：将x＝﹣1，y＝0代入y＝ax2﹣2ax+c得：a+2a+c＝0．
解得：c＝﹣3a．
将c＝﹣3a代入方程得：ax2﹣2ax﹣3a＝0．
∴a（x2﹣2x﹣3）＝0．
∴a（x+1）（x﹣3）＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝3．
解法二：已知抛物线的对称轴为x＝＝1，又抛物线与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则根据对称性可知另一个交点坐标为（3，0）；故而ax2﹣2ax+c＝0的两个根为﹣1，3
故答案为：﹣1，3．
15．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4≤x1≤﹣2，0≤x2≤2，则y1，y2的大小关系是：y1≥y2．
【分析】通过比较点M和点N到y轴的距离的远近判断y1与y2的大小．
解：抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，
而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远或者相同，
所以y1≥y2．
故答案为≥．
16．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝±4．
【分析】根据二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，可知顶点的坐标为0，即可得到＝0，从而可以得到b的值．
解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，
∴＝0，
解得b＝，
故答案为：±4．
17．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故答案为：x＜﹣3或x＞1．
18．对于实数p，q，且（p≠q），我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝3，则x＝﹣或1+．
【分析】分若x2＞（x﹣1）2，若（x﹣1）2＞x2讨论，列出方程，并检验，可得x的值．解：若x2＞（x﹣1）2，
则min{（x﹣1）2，x2}＝（x﹣1）2＝3，
∴x1＝+1，x2＝（不合题意舍去），
若（x﹣1）2＞x2，
则min{（x﹣1）2，x2}＝x2＝3，
∴x1＝（不合题意舍去），x2＝﹣．
故答案为：﹣或1+．
三．解答题（共7小题）
19．已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），它与x轴的一个交点的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大．
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣2）2﹣4，然后把（1，0）代入求出a即可；
（2）利用二次函数的性质求解．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
把（1，0）代入得a•（1﹣2）2﹣4＝0，解得a＝4，
所以抛物线的解析式为y＝4（x﹣2）2﹣4；
（2）当x＞2时，y随x的增大而增大．
20．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利
润为480元？
【分析】设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10×）件，根据总利润＝每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10×）件，
依题意，得：（1+x）（200﹣10×）＝480，
化简，得：x2﹣9x+14＝0，
解得：x1＝2，x2＝7．
又∵要让顾客得到实惠，
∴x＝2．
答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．
21．抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若﹣4≤x≤1，求y2﹣2y1的取值范围．
【分析】（1）把B的坐标代入直线y2＝﹣2x+m求得m的值，然后代入A（﹣2，n）求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）求得y2﹣2y1＝﹣2x2+2x+7，即可求得最大值，代入x＝﹣4的求得所对应的函数值，即可求得结果．
解：（1）将B（2，﹣3）代入直线y2＝﹣2x+m得，﹣3＝﹣4+m，
解得m＝1，
∴直线y2＝﹣2x+1，
∵直线y2＝﹣2x+1经过点A（﹣2，n），
∴n＝4+1＝5；
∵抛物线y1＝x2+bx+c过点A和点B，
∴，解得，
∴y1＝x2﹣2x﹣3．
（2）y2﹣2y1＝﹣2x+1﹣2（x2﹣2x﹣3）＝﹣2x2+2x+7，
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
∴y2﹣2y1的最大值是：﹣2×+2×+7＝，
当x＝﹣4时，y2﹣2y1＝﹣2x2+2x+7＝﹣33，
∴若﹣4≤x≤1，y2﹣2y1的取值范围是﹣33≤y2﹣2y1≤．
22．已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1过定点H．
（1）求出H的坐标．
（2）若抛物线经过点A（0，1），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．
【分析】（1）把解析式y＝x2﹣mx+2m﹣1整理成y＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3，即可求得H的坐标；
（2）把（0，1）代入y＝x2﹣mx+2m﹣1求得m＝2，设y1＝x2﹣x+1，y2＝﹣2x+1，计算y1﹣y2＞0即可证明结论成立．
解：（1）∵y＝x2﹣mx+2m﹣1
＝x2﹣4﹣m（x﹣2）+3
＝（x+2）（x﹣2）﹣m（x﹣2）+3
＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3，
∴抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点（2，3），
故H的坐标为（2，3）；
（2）证明：∵抛物线经过点A（0，1），
∴2m﹣1＝1，解得m＝1，
∴抛物线y＝x2﹣x+1，
设y1＝x2﹣x+1，y2＝﹣2x﹣1，
则y1﹣y2＝（x2﹣x+1）﹣（﹣2x﹣1）＝x2+x+2＝（x+）2+＞0，
∴y1＞y2，
∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．
【分析】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG＝CE，连接BG．求证△BEC≌△BMG，△ABE≌△ABG，设CE＝x，在直角△ADE中，根据AE2＝AD2+DE2求x的值，可以求CE的长度．
解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG＝CE，连接BG，
易知四边形BCDM是正方形，
则△BEC与△BGM中，
，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，
∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，
即∠ABE＝∠ABG＝45°，
在△ABE与△ABG中，
，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AG＝AE＝10，
设CE＝x，则AM＝10﹣x，
AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，
即x2﹣10x+24＝0；
解得：x1＝4，x2＝6．
故CE的长为4或6．
24．已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．
【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；
（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．
解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）．
将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：，解得，
所以此函数解析式为：y＝x2+x﹣4．
（2）如图所示：
∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为：（m，），
∴S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB
＝×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4
＝﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8
＝﹣m2﹣4m，
＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣4＜m＜0，
当m＝﹣2时，S有最大值为：S＝﹣4+8＝4．
答：m＝﹣2时S有最大值S＝4．
（3）设P（x，x2+x﹣4）．
当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y＝﹣x，
则Q（x，﹣x）．
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|＝4，
解得x＝0，﹣4，﹣2±2．
x＝0不合题意，舍去．
如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP＝4．四边形PBQO为平行四边形则BQ＝OP＝4，Q横坐标为4，代入y＝﹣x得出Q为（4，﹣4）．
由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．25．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；
（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．
解：
（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0），
∴0＝1﹣b﹣3，解得b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t＝m2﹣2m﹣3，
∵点P′与P关于原点对称，
∴P′（﹣m，﹣t），
∵点P′落在抛物线上，
∴﹣t＝（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t＝﹣m2﹣2m+3，
∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得m＝或m＝﹣；
②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，
∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∴﹣4≤t＜0，
∵P在抛物线上，
∴t＝m2﹣2m﹣3，
∴m2﹣2m＝t+3，
∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），
∴P′A2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m2﹣2m+1+t2＝t2+t+4＝（t+）2+；∴当t＝﹣时，P′A2有最小值，
∴﹣＝m2﹣2m﹣3，解得m＝或m＝，
∵m＞0，
∴m＝不合题意，舍去，
∴m的值为．。