高中数学 2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期中数学试卷

2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
A ．{1，2，3}
B ．{1，2}
C ．{2，3}
D ．{2}1
．（5分）设集合U ={0，1，2，3，4，5}，A ={1，2，3}，B ={x ∈Z |x 2-5x +4≥0}，则A ∩（∁U B ）=（ ）
A ．32
B ．22
C ．3
D ．2
2．（5分）已知复数z 的实部和虚部相等，且z （2+i ）=3-bi （b ∈R ），则|z |=（ ）
√√A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切
3．（5分）已知圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：x 2+y 2+6x -8y +16=0，则圆C 1和圆C 2的位置关系是（ ）
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
4．（5分）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（ ）
A ．15
B ．20
C ．25
D ．15或25
5．（5分）在等差数列{a n }中，已知a 4=5，a 3是a 2和a 6的等比中项，则数列{a n }的前5项的和为（ ）
A ．1
2B ．2C ．2
2D ．1
6．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x +2）=f （x ）对x ∈R 恒成立，当x ∈[0，1]时，f （x ）=2x ，则f (−9
2)=（ ）
√√7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形
的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数
点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程
序框图，其中n 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数
据：3≈1.732，sin 15°≈0.2588，sin 75°≈0.1305）（ ）
√
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
A ．2.598，3，3.1048
B ．2.598，3，3.1056
C ．2.578，3，3.1069
D ．2.588，3，3.1108
A ．22
3B ．20
3C ．16
3D ．6
8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．有最大值3，最小值-1
B ．有最大值2，最小值-2
C ．有最大值3，最小值0
D ．有最大值2，最小值0
9．（5分）关于函数f （x ）=2cos 2x
2+3sinx （x ∈[0，π]）下列结论正确的是（ ）√A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π
10．（5分）点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB =BC =6，∠ABC =90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
√A ．22B ．23C ．22或−22D ．23或−23
11．（5分）过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AF |=2|BF |，则直线AB 的斜率为（ ）
√√√√√√A ．0B ．2C ．4D ．6
12．（5分）若函数f (x )=3+2x −1
2x +1+sin 2x 在区间[-k ,k ]（k >0）上的值域为[m ,n ]，则m +n 等于（ ）
13．（5分）已知矩形ABCD ，AB =4，AD =1，点E 为DC 的中点，则AE •BE = ．
→→14．（5分）为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮
球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（5分）学校艺术节对A ，B ，C ，D 四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲
，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：
甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；
乙说：“B 作品获得一等奖”；
丙说：“A ，D 两件作品未获得一等奖”；
丁说：“是C 作品获得一等奖”．
评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．
16．（5分）我们把满足：x n +1=x n −
f (x n )f ′(x n )的数列{x n }叫做牛顿数列．已知函数f （x ）=x 2-1，数列{x n }为牛顿数列，设a n =ln x n −1
x n +1，已知a 1=2，则a 3= ．
17．（12分）如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AC =3DC ．
（Ⅰ）若∠DAC =30°，求角B 的大小；
（Ⅱ）若BD =2DC ，且AD =22，求DC 的长．
√√18．（12分）某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄
分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），
得到的频率分布直方图如图所示．
（ I ）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员
工人数分别是多少？
（ II ）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40）的
人数为ξ，求ξ的数学期望；
（ III ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）
喜欢阅读国学类不喜欢阅读国学类合计
男
14418女
81422合计221840
根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？
附：K 2=n (ad −bc )2
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d
P （K 2≥k 0）
0.050.0250.0100.0050.001k 0 3.841 5.024 6.6357.87910.828
19．（12分）如图1，菱形ABCD 的边长为12，∠BAD =60°，AC 与BD 交于O 点．将
菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B -ACD ，点M 是棱BC 的中点，DM =62
．
（Ⅰ）求证：平面ODM ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求二面角M -AD -C 的余弦值．
√
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]
[选修4-5：不等式选讲]
20．（12分）已知点A ，B 分别为椭圆E ：
x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右顶点，点P （0，-2），直线BP 交E 于点Q ，PQ =32
QB 且△A BP 是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．
→→21．（12分）已知函数f （x ）=
mx lnx ，曲线y =f （x ）在点（e 2，f （e 2））处的切线与直线2x +y =0垂直（其中e 为自然对数的底
数）．（1）求f （x ）的解析式及单调递减区间；（2）若存在x 0∈[e ,+∞），使函数g （x ）=aelnx +12x 2−a +e 2•lnx •f （x ）≤a 成立，求实数a 的取值范围．
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：V W X x =2cosθy =2sinθ
（θ为参数），点P 在直线l ：x +y -4=0上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足|OP |2=|OR |•|OQ |，求Q 点轨迹的极坐标方程．
23．（1）解不等式：|2x -1|-|x |<1；
（2）设f （x ）=x 2-x +1，实数a 满足|x -a |<1，求证：|f （x ）-f （a ）|<2（|a +1|）。