八年级上册数学第五章 平行四边形 阶段核心题型 利用平行四边形的性质与判定的四种常见题型

解：根据折叠可得AE＝CE，∠AEF＝∠CEF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB.∴∠AFE＝∠CEF. ∴∠AEF＝∠AFE.∴AE＝AF. ∵AE＝CE，∴AF＝CE. 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形．
证明：∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形， ∴由勾股定理，得 BD＝ 2AB＝ 2· 2BC＝2BC＝2AC，∠CAB ＝∠ABD＝45°，∴AC∥BD. 又∵G 为 BD 的中点，∴BD＝2DG，∴AC＝DG. ∵AC∥DG，∴四边形 ACGD 为平行四边形．
(2)线段BE和线段CD有什么数量关系，请说明理由．
(1)如图①，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足
CD＝CP，求∠B的度数；
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠DPC＝∠PCB. ∵CP平分∠BCD，∴∠PCD＝∠PCB， ∴∠DPC＝∠DCP，∴DP＝CD. ∵CD＝CP，∴CP＝CD＝DP， ∴△PDC是等边三角形，∴∠D＝60°， ∴∠B＝60°.
②当3＜t≤6时，PD＝(6－0.5t)cm，BQ＝(2t－6)cm， ∴6－0.5t＝2t－6，解得t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝(6－0.5t)cm，BQ＝(18－2t)cm， ∴6－0.5t＝18－2t，解得t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝(6－0.5t)cm，BQ＝(2t－18)cm， ∴6－0.5t＝2t－18，解得t＝9.6. 综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D， Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
(2)连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数 量关系？请说明理由．
解：DE∥AB且DE＝AB.理由如下． ∵△ABD≌△CAE， ∴AE＝BD. 又∵AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形． ∴DE∥AB且DE＝AB.
已知在▱ABCD中，动点P在AD边上以每秒0.5cm的速度 5
从点A向点D运动．
【中考·青岛】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC 4
边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△ABD≌△CAE.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. 又∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°. ∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC. ∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°. ∴∠ADB＝∠CEA. 又∵AB＝CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)．
证明：∵四源自文库形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴AM∥CN， ∴四边形AMCN为平行四边形， ∴CM＝AN，∴BC－CM＝AD－AN， 即BM＝DN.
(2)求证：四边形AECF为平行四边形．
解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD. ∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠EMB＝∠FND＝90°. 在△BME 和△DNF 中，∠BME＝BMD＝N，∠FDN，
如图，在长方形纸片ABCD中，翻折∠B，∠D， 6
使BC，AD都恰好落在AC上，F，H分别是B，D
落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，
CD的交点．
(1)求证：四边形AECG是平行四边形；
证明：由翻折的性质可得∠GAH＝12∠DAC，∠ECF＝12∠ACB. ∵四边形 ABCD 是长方形， ∴DA∥BC，AB∥CD，∠B＝90°. ∴∠DAC＝∠ACB.∴∠GAH＝∠ECF.∴AG∥CE. 又∵AE∥CG，∴四边形 AECG 是平行四边形．
(2)如图②，另一动点Q在BC边上以每秒2cm的速度从点C 出发，在线段BC上往返运动，P，Q两点同时出发，当点 P到达点D时停止运动(同时Q点也停止运动)，若AD＝6cm， 求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四 边形是平行四边形？
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴PD∥BQ. 若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形， 则PD＝BQ. 设运动时间为t秒， ①当0＜t≤3时，PD＝(6－0.5t)cm，BQ＝(6－2t)cm， ∴6－0.5t＝6－2t，解得t＝0(不合题意，舍去)；
(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
解：由翻折的性质可得 BC＝CF＝3 cm，BE＝EF， ∠B＝∠CFE＝90°. 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得 AC＝5 cm，∴AF＝2 cm. 设 EF＝BE＝x cm，则 AE＝(4－x)cm， 在 Rt△AEF 中，根据勾股定理得 AE2＝AF2＋EF2，即(4－x)2＝ 22＋x2.解得 x＝32.∴线段 EF 的长为32 cm.
7 (1)如图①，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分 线，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E.求证： AB＝BE.
证 明 ： ∵ AD 是 ∠ BAC 的 平 分 线 ， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵BE∥AC，∴∠CAD＝∠E. ∴∠BAD＝∠E.∴AB＝BE.
(2)如图②，将平行四边形纸片ABCD折叠，使得点C落在点 A的位置，点D落在点G的位置，折痕为EF，连接CF.求证： 四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵BE＝13BC，FD＝13AD， ∴BE＝DF. ∵DF∥BE， ∴四边形 BEDF 是平行四边形．
如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交 2
BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF，CE.
(1)求证：BM＝DN；
∠EMB＝∠FND，
∴△BME≌△DNF(ASA)，∴EM＝NF. ∵四边形AMCN为平行四边形， ∴AM＝CN，AM∥CN，∴AE＝CF. 又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．
3 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，分 别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABD和等 腰直角三角形ACE，G为BD的中点，连接CG，BE， CD，BE与CD交于点F. (1)证明：四边形ACGD是平行四边形；
鲁教版八年级上
第五章平行四边形
阶段核心题型 利用平行四边形的性质与判定的四种常见题型
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答案呈现
1 【中考·岳阳】如图，点 E，F 在▱ABCD 的边 BC， AD 上，BE＝13BC，FD＝13AD，连接 BF，DE. 求证：四边形 BEDF 是平行四边形．
解：BE＝CD，理由如下． ∵△AEC和△ABD都是等腰直角三角形，∴AE＝AC，AB ＝AD，∠EAB＝∠EAC＋∠CAB＝90°＋45°＝135°， ∠CAD＝∠DAB＋∠BAC＝90°＋45°＝135°， ∴∠EAB＝∠CAD.在△DAC与△BAE中， ∵AD＝AB，∠CAD＝∠EAB，AC＝AE， ∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.