小专题12 相似三角形的类比探究问题

小专题12相似三角形的类比探究问题

1.（驻马店期末）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止.

（1）特殊情形：如图2，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP △PCD（填“≌”或“∽”）；

（2）类比探究：如图3，在旋转过程中，PE

PF

的值是否为定值若是，请求出该定

值；若不是，请说明理由.

2.（周口期末）类比、转化、从特殊到一般等思想方法在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

原题：如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ

交DE于点P，求证DP PE

BQ QC

=.

（1）尝试探究：在图1中，由DP∥BQ，得△ADP△ABQ（填“≌”

或“∽”），则DP

BQ

= ,同理可得

PE AP

QC AQ

=，从而得到

DP PE

BQ QC

=；

（2）类比延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点，若AB=AC=1，则MN的长为；

（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点，AB＜AC，求证：MN2=DM·EN.

3.（许昌一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC m

AC n

=，CD⊥AB于点D，

点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F .

（1）探究发现

如图1，若m n

=，点E在线段AC上，则DE

DF

= .

（2）数学思考

①如图2，若点E在线段AC上，则DE

DF

= .（用含,m n的代数式表

示）；

②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立请仅就图3的情形给出证明；

（3）拓展应用

若AC，BC=，DF=，请直接写出CE的长.

4.（南阳期末）已知等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P处，三角板绕P点旋转. （1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时.求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.

①探究1：△BPE与△CFP还相似吗（只需写出结论）

②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似请说明理由；

③设EF=m，△EPF的面积为S，试用含m的代数式表示S.

参考答案

1.解:（1）∽

（2）在旋转过程中，PE

PF

的值为定值.

理由如下:过点F作FG⊥BC于点G，则∠B=∠FGP. ∵∠MPN=90°，∠B=90°，

∴∠BEP+∠EPB=∠GPF+∠EPB=90°.

∴∠BEP=∠GPF.

∴△EBP∽△PGF.

∴PE PB

PF FG

=.

∵矩形ABGF中，FG=AB=2，而PB=1，

∴

1

=

2 PB

FG

.

∴

1

=

2

PE

PF

，即

PE

PF

的值为定值

1

2

.

2.解:（1）∽AP AQ

（2

（3）证明: ∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF.

又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC.

∴DG BG

CF EF

=，即DG·EF=CF·BG.

又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF·BG，

由（1），得DM MN EN BG GF FC

==.

∴MN DM EN GF F

M GF BG C N =••. ∴2(

)MN DM EN GF BG CF =•. ∵2GF CF BG =•，

∴2MN DM EN =•.

3.解:（1）1

（2）①n m

②结论=DE n DF m 成立. 证明:∵∠ACB =90°. ∴∠A +∠ABC =90°.

又∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠ABC =90°. ∴∠A =∠DCB .

∵∠FDE =∠ADC =90°，

∴∠FDE +∠CDE =∠ADC +∠CDE ，即∠ADE =∠CDF .

∴△ADE ∽△CDF . ∴DF AD DF DC

=. ∵∠A =∠DCB ，∠ADC =∠BDC =90°，∴△ADC ∽△CDB . ∴=AD AC n DC BC m =，∴=DE n DF m

.

（3）CE 的长为54.解:（1）证明: ∵在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC ，∴∠B =∠C =30°. ∵∠B +∠BPE +∠BEP =180°，∴BPE +∠BEP =150°.

又∵∠EPF =30°，且∠BPE +∠EPF +∠CPF =180°，

∴∠BPE +∠CPF =150°，∴∠BEP =∠CPF .

∴△BPE ∽△CFP .

（2）①△BPE ∽△CFP . ②△BPE ∽△PFE .

理由如下:同（1），可证△BPE ∽△CFP ，得CP PF BE PE =，而CP =BP ，因此BP BE PF PE

=.