4.1.1立体图形与平面图形(原卷版)

4.1.1 立体图形与平面图形
2.了解多面体可由平面图形围成,进一步认识立体图形与平面图形之间的关系
3.通过丰富的实例,认识点、线、面、体,初步感受它们之间的关系.逐步由感性认识上升到对抽象的数学图形的认识,从而提高空间想象能力和几何直观能力
知识点一立体图形的认识
几何图形是从实物中抽象出的各种图形，分为立体图形和平面图形
有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形合并同类项解方程的方法与步骤
几种常见的立体图形如下表:
图例
即学即练（2022上·广东河源·七年级校考期中）观察下列实物模型，其整体形状给我们以圆柱的形象的是（）
A．B．C ．D．
知识点二平面图形
有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形
名称图形名称图形
直线射线
线段三角形
长方形正方形
梯形平行四边形
圆扇形
一些简单的平面图形可以组合成许多优美的图案,如某些国家的国旗、各种银行标志、由各种形状的地砖铺成的漂亮的地面等。

即学即练（2023上·山东济南·七年级校考阶段练习）下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（）
A．B．
C．D．
知识点三从不同方向看物体
一般地，从立体图形的正面、左面、上面三个角度观察立体图形,往往会得到不同形状的平面图形
看得见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线.从不同方向看同一物体，所看到的平面图形可能不同,也可能相同。

2.分别从正面左面和上面看几种常见几何体得到的平面图形
即学即练（2023上·山东青岛·七年级统考期中）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的，从上面看到的几何体的形状图是（）
A．B．C．D．
知识点四立体图形的展开图
有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

对于同一个立体图形，展开图不是唯一的,按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形,如正方体的展开图就有以下11种情况,可分为四类:
（1）“二二二”型（2）“三三”型
（3）“一三二”型
（4）“一四一”型
注意：
不能作为正方体展开图的有以下几种常见情况:
（1）“五子连”型,四个以上的正方形排成一排,如或等。

（2）“7”字型，四个正方形排成一排,另两个在这一排同侧，如等。

（3）“田”字型，如等。

（4）“凹”字型，如等。

即学即练（2023上·广东深圳·七年级校考期中）下列各图形中，能折叠成圆锥的是（）A．B．
B．C．D．
题型1 几何体的识别
例1（2023上·河南郑州·七年级校考阶段练习）如图所示的几何体中属于柱体的是（）A．①④B．③④⑥C．①④⑥D．④⑥
举一反三1（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）在我们生活的现实世界中，有各种各样
的立体图形．如图所示的纸箱可以抽象成的几何体是（）
A．球B．长方体C．圆锥D．圆柱
举一反三2（2023上·广西桂林·七年级统考期末）下列立体图形中，是圆锥的是（）A．B．C．D．
题型2 平面图形形状的识别问题
例2（2021上·湖北宜昌·七年级统考期末）在下列所给的几何图形中，属于平面图形的是（）．A．三棱柱B．圆C．圆锥D．长方体
举一反三1（2022上·山西阳泉·七年级统考期末）围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（）
A．B．C．D．
举一反三2（2022上·湖南邵阳·七年级统考期末）下面几种几何图形中，属于立体图形的是（）
①三角形②长方形③正方体④圆⑤圆柱
A．①②④B．②③⑤C．③④⑤D．③⑤
题型3 组合几何体的构成
例3（2023上·河北保定·七年级统考期末）下列几何体由5个平面围成的是（）A．B．C．
D．
举一反三1（2023上·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图所示，①~④是由相同的小立方块搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选
择．（填序号即可）
举一反三2（2022上·湖南张家界·七年级张家界市民族中学校考开学考试）把4个棱长为2分米的正方体拼成长方体，拼成的长方体的表面积可能是平方分米，也可能是
平方分米．
题型4 立体图形的分类
例4（2023上·湖北随州·七年级统考期末）下列几何体中，含有曲面的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
举一反三1（2022上·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）下列说法：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤直
棱柱的侧面一定是长方形．其中正确的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
举一反三2（2022上·河北石家庄·七年级校考期末）如图所示的立体图形中，不是柱体的是（）
A．B．
C．D．
题型5 几何体中的点、棱、面
例5（2022上·陕西榆林·七年级校考期末）若一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和是40cm，则每条侧棱的长是（）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
举一反三1（2023上·河北邢台·七年级统考期末）下列几何体中，面数最少的是（）A．B．C．
D．
举一反三2（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）一个棱柱有7个面，则它的顶点数
是．
题型6 从不同方向看几何体
例6（2023上·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，这是一个由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，则从它的左面看到该几何体的形状图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
举一反三1（2021上·山西晋中·七年级统考期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块
搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
(1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：__________2cm ；
(2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
举一反三2（2023上·福建宁德·七年级校考期末）用相同的小立方体搭一个几何体，从正
面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题： (1)填空：=a _________，b =_________； (2)这个几何体最多由_________个小立方体搭成；
(3)当1d f ==，2e =时，画出这个几何体从左面看得到的形状图．
题型7 几何体展开图的认识
例7（2023上·湖南永州·七年级统考期末）某立体图形如图所示，则下列选项中是其展开图
的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
举一反三1（2023上·山西太原·七年级统考期末）如图是某个几何体的平面展开图，该几
何体可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
举一反三2（2023上·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）一个无盖的长方体
盒子的展开图如图所示．
(1)该盒子的底面的周长为______；（用含a 的代数式表示）
(2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式()21x +，3x ，2-，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x 的值．
题型8 由展开图计算几何体的表面积
例8（2023下·山东临沂·七年级统考期末）若一个正方体纸盒的表面积为224cm ，则该正方
体的棱长为 ．
举一反三1（2023上·湖南怀化·七年级统考期末）如图，是一个长方体及其展开图，已知
展开图阴影部分的面积为23100cm ． (1)求x 的值．
(2)若用一张长方形铁皮直接裁剪，然后做成这个长方体形状的储物盒，这张铁皮的长和宽至少要多少cm ？
举一反三2（2023上·陕西西安·七年级校考期末）将若干个棱长为a 的小立方块摆成如图
所示的几何体．
(1)如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图； (2)求该几何体的表面积；
(3)依图中摆放方法类推，如果几何体摆放了24层，求该几何体的表面积．
举一反三3（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）某种包装盒的形状是长方体，长AD 比高
AE 的三倍多2，宽AB 的长度为3分米，它的展开图如图所示．
（不考虑包装盒的黏合处） (1)设该包装盒的高AE 为m ，则该长方体的长AD 为_______分米，边FG 的长度为_______分米；（用含m 的式子表示）
(2)若FG 的长为12分米，现对包装盒外表面涂色，每平方分米涂料的价格是6元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色）
题型9 由展开图计算几何体的体积
例9（2023上·河南郑州·七年级统考期末）如图是一张边长为6cm 的正方形纸片，将其四个
角都减去一个边长为xcm 的正方形，沿虚线折成一个无盖的长方体盒子，这个盒子的体积(单位：3cm ) 为（ ）
A ．2(62)x -
B ．2(6)x x -
C ．26x
D ．2(62)x x -
举一反三1（2023上·河南安阳·七年级校考期末）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所
示（单位：cm ），则其容积为 3cm ．
举一反三2（2023上·广东韶关·七年级统考期末）如图，小华用若干个正方形和长方形准
备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． (1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为2cm ，长方形的长为4cm ，宽为2cm ，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
题型10 正方体几种展开图的识
例10
（2023上·福建福州·七年级统考期末）下列图中，经过折叠后不能围成正方体的是（ ） A ． B ． C ． D ．
举一反三1（2023上·江西九江·七年级统考期末）某综合实践小组进行废物再利用的环保
小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究如下：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的_________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“小”字相对的字是_________． 举一反三2（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）
【综合与实践】我们在《几何图形初步》这一章的课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”．小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究：
【动手操作】小明用一张正方形的纸板，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
小亮用一张长方形的纸张，按如图2所示的方式在纸板的四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒． 【问题解决】现有一块长为cm a ，宽为cm b 的长方形纸张，请探究：
(1)若a b =，按图1所示的方式剪去的小正方形边长为cm c ，做成一个无盖的正方体纸盒，你发现c 与b 之间存在的数量关系为_________．
(2)若a b >，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，你发现a 与b 之间存在的数量关系为_________．
(3)在（2）的条件下，若36cm a =，求有盖正方体纸盒的表面积．
题型11 正方体相对两面上的字的问题
例11（2023上·云南红河·七年级统考期末）如图，是正方体的一种展开图，表面上的语句为北京2022年冬奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来！”，那么在正方体的表面中与“来”相对的是（）
A．一B．起C．！D．向
举一反三1（2023上·江苏常州·七年级统考期末）一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“您”相对的字为．
举一反三2（2023上·河南鹤壁·七年级统考期末）如图是一个正方体的展开图，将展开图
++的值为．
折成正方体后，相对的两个面上的数互为倒数，则a b c
题型12 含图案的正方体的展开图
例12（2023下·云南昭通·七年级校联考期末）在下列四个正方体中，只有一个是用左图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（）
A．B．C．
D．
举一反三1（2023上·河南商丘·七年级统考期末）如图，下面的图是正方体的展开图的是（）
A．B．C．D．
举一反三2（2023上·江西吉安·七年级统考期末）如图所示，正方体的展开图为() A．B．
C ．
D ．
题型13 求展开图上两点折叠后的距离
例13（2022上·重庆合川·七年级重庆市合川中学校考期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从A 点沿该正方体的棱．．．．．．爬行到B 点的最短距离为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
举一反三1（2023上·陕西西安·七年级校考期末）如图是一个正方体的表面展开图，若
6AB ，则该正方体上A
B 、两点间的距离为 ． 举一反三2（2020上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点A B ，在围成的正方体上的距离是 ．
题型14 补一个面使图形围成正方体
例14（2023上·山东济宁·七年级统考期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）．
举一反三1（2023上·江西赣州·七年级统考期末）如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面．
举一反三2（2022上·吉林长春·七年级校考期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同．
题型15 用七巧板拼图形
例15（2023上·河南南阳·七年级校联考期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为4cm ，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）
A ．28cm
B ．24cm
C ．22cm
D ．21cm
举一反三1（2023下·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，若七巧板面积为16，则图②中阴影部分的面积是（ ）
A．7B．8C．9D．10
举一反三2（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为．
一、单选题
1．（2021上·天津滨海新·七年级统考期末）下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（）
A．B．
C．D．
2．（2022上·湖北宜昌·七年级统考期末）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面上的字是（）．
A．五B．美C．设D．峰
3．（2022上·广东珠海·七年级校考期末）将如图所示的平面图折叠成一个正方体，则与“思”字所在的面相对的面上的字是（）
A．是B．量C．维D．力
4．（2022上·甘肃兰州·七年级校考期末）图是从三个不同方向看到的由几个相同的小立方块搭成的几何体的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是（）A．4B．5C．6D．7
5．（2015上·江苏盐城·七年级统考期末）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2018上·江苏无锡·七年级校联考期末）一个无盖的长方体的包装盒展开后如图所示（单位：cm）该长方体的体积为．
7．（2022上·河南郑州·七年级校考期末）下面的图形是某些几何体的表面展开图，写出这些几何体的名称：图1；图2；图3．
8．（2022上·湖北咸宁·七年级统考期末）在常见的几何体圆锥、圆柱、球、长方体中，从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形一定完全相同的几何体有（填编号）．
9．（2021上·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“个”字一面的相对面上的字是．
10．（2022上·北京海淀·七年级校联考期末）把正方体的六个面分别标上1，2，3，4，5，6，现将上述四个完全一样的正方体排成一个如图水平放置的长方体那么长方体的下底面的所有数字之和为．
三、解答题
11．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）创新作图：如图，在无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的不同展开图（填出三种互相不同的答案）
12．（2022上·辽宁大连·七年级统考期末）如图是由几个小立方块搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形的数字表示该位置小立方块的个数，请在左面的方格表中用阴影分别画出从正面和左面看到的图形．
13．（2023上·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图．。