2014年10月全国自考高等数学(工本)真题试卷(题后含答案及解析)

2014年10月全国自考高等数学（工本）真题试卷(题后含答案及解
析)
题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题
单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．平面2x一3y+z一1=0的法向量为( )
A．{2，3，一1}
B．{4，一6，2}
C．{一2，一3，一1}
D．{2，3，1}
正确答案：B
解析：平面2x一3y+z一1=0的法向量为n={2，一3，1}，所以{4，一6，2}也是其法向量．
2．设函数f(x，y)=φ(x)g(y)在点(x0，y0)的某邻域内有定义，且存在一阶偏导数，则fx(x0，y0)= ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：
3．设积分区域D：1≤x2+y2≤4，则二重积分( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
正确答案：C
解析：积分区域D：1≤x2+y2≤4，如图所示，则二重积分=∫θ2πdθ
∫12rdr=3π．
4．微分方程y”=sinx的通解是y= ( )
A．sinx+C1x+C2
B．sinx+C1+C2
C．一sinx+C1x+C2
D．一sinx+C1+C2
正确答案：C
解析：y”=sinx,则y’=∫y”dx=∫sinxdx=-cosx+C1 y=∫y’dx=∫(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2．
5．设无穷级数发散，则在下列数值中p的取值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：A
解析：
填空题请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．已知向量a={2，1，2}，b={一1，3，5}，则a.(2b)=_______．
正确答案：22
解析：a.(2b)=2a.b=2×[2×(一1)+1×3+2×5]=22．
7．函数f(x，y)=+ln(x2+y2一1)的定义域是________．
正确答案：1＜x2+y2≤4
解析：由题意知得1＜x2+y2≤4．
8．设积分区域D：0≤x≤2，|y|≤1，则二重积分
正确答案：
解析：积分区域D：0≤x≤2，|y|≤1，则
9．微分方程y”+y=e-2x的特解y*=______．
正确答案：
解析：齐次微分方程y”+y=0的特征方程r2+1=0，显然λ=一2不是特征方程的根，则设特解y*=Ae-2x．y*”=4Ae-2x，代入原微分方程得
5Ae-2x=e-2x,
10．已知无穷级数，则un=______．
正确答案：
解析：
计算题
11．求过点A(一2，1，4)及点B(6，一5，7)的直线方程．
正确答案：直线过点A(一2，1，4)和B(6，一5，7)，则其方向向量n=(8，
一6，3)，则直线方程为=t，化简得直线方程为12．求函数z=e2ycos3x的全微分dz．
正确答案：z=e2ycos3x，z’x=一3e2ysin3x，z’y=2e2ycos3x，则dz=z’xdx+z’ydy=一3e2ysin3xdx+2e2ycos3xdy．
13．求曲面z=3xy在点处的切平面方程．
正确答案：F(x，y，z)=z—3xy，则Fx=-3y，Fy=一3x．Fz=1，则
所以法向量n=(一1，一3，1)，所求切平面方程为一1×(x一1)一3×+1×(z一1)=0，即x+3y—z一1=0．14．求函数f(x，y)=的梯度gradf(x，y)．
正确答案：
15．计算二重积分．其中D是由y=x，=2及xy=1所围成的区域．正确答案：积分区域D如图所
示．=∫12一
4x+4x3dx=(-2x2+x4)|12=9．
16．计算三重积分，其中Ω是由x2+y2=1，z=0及z=1所围成的区域．
正确答案：积分区域如图示在柱面下的积分区域Ω：0≤r≤1，0≤θ＜2π，
0≤z≤1，
17．计算对弧长的曲线积分∫C(x2y一2)ds，其中C为从点A(一2，1)到B(1，1)的直线段．
正确答案：C为直线y=1，则C的参数方程所以∫C(x2y一2)ds=∫-21(x2一2)dx=一3.
18．计算对坐标的曲线积分∫C(y2一xy)dy，其中C为抛物线y=x2上从点A(一1，1)到点B(1，1)的一段弧．
正确答案：曲线C的方程为y=x2，则dy=2xdx，于是∫C(y2一xy)dy=∫-11(x4一x3)2xdx=
19．求微分方程=e3x-2y的通解．
正确答案：，得e2ydy=e3xdy,两边同时程分得∫e2ydy=∫e3xdx，则
20．求微分方程y”+2y’+2y=0的通解．
正确答案：微分方程y”+2y’+2y=0的特征方程为r2+2r+2=0，解之得r1,2=一1±i，所以微分方程的通解为y=e-x(C1cosx+C2sinx)．
21．判断无穷级数的敛散性．
正确答案：
22．已知f(x)是周期为2π的周期函数，它在[一π，π)上的表达式为
求f(x)傅里叶级数(ancosnx+bnsinnx)中的系数b4．
正确答案：
综合题
23．求函数f(x，y)=14x+32y一8xy一2x2一10y2一26的极值．
正确答案：求对x，y的偏导数得fx=14—8y一4x，fy=32-8x-20y，
二阶偏导数A=fxx(x0，y0)=一4，B=fxy=一8，C=fyy=一20，△=B2-AC=-16＜0则点是函数的极值点，A＜0，此驻点为极大值点，代入函数得极大值为
24．证明对坐标的曲线积分∫C(3x2y+8xy2一20)dx+(x3+8x2y+14)dy在整个xOy面内与路径无关．
正确答案：P=3x2y+8xy2一20，Q=x3+8x2y+14，
25．将函数f(x)=展开为x的幂级数．
正确答案：已知=1一x+x2+…+(一1)nxn+…(一1＜x＜1)，用2x代替
x得=1—2x+(2x)2+…+(一1)n(2x)n+…=1—2x+4x2+…+(一2)nxn+…(一1＜x＜1)．。