高中数学专题突破练习《函数的极值》含详细答案解析

5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
基础过关练
题组一　函数极值的概念及其求解
1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)　( )
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
x2,则f(x)( )
3.(2019天津高二上期末)已知函数f(x)=ln x-1
2
A.有极小值,无极大值
B.无极小值,有极大值
C.既有极小值,又有极大值
D.既无极小值,又无极大值
4.函数f(x)=x+2cos x在0,( )
A.0B.π
6C.π
3
D.π
2
5.求下列函数的极值.
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
(2)f(x)=2x
x2+1
-2;
(3)f(x)=x2-2ln x.
题组二　含参函数的极值问题
6.(2019海南海口高二上期末)已知f(x)=ln x+a
x
(a≠0),则( )
A.当a<0时,f(x)存在极小值f(a)
B.当a<0时,f(x)存在极大值f(a)
C.当a>0时,f(x)存在极小值f(a)
D.当a>0时,f(x)存在极大值f(a)
7.(2020浙江湖州高二上期末)若函数y=e x-2mx有小于零的极值点,则实数m的取值范围是( )
A.m<1
2B.0<m<1
2
C.m>1
2
D.0<m<1
8.(2020浙江杭州七校高二下联考)若函数f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在极值点,则a的取值范围是 .
9.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则
m= ,n= .
10.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=ln x-1
2
ax2+x,a∈R.
(1)当a=0时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.
题组三　函数极值的综合应用
11.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )
A.2
B.3
C.6
D.9
12.(2019云南昆明高三月考)已知函数f(x)=(x2-m)·e x,若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,则f(x)的极大值是( )
A.4e-2
B.4e2
C.e-2
D.e2
13.(2019辽宁省实验中学高二上期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n=n2+k+1
2
(n∈N*),则f(x)=x3-kx2-2x+1的极大值为( )
A.5
2B.3C.7
2
D.2
14.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则f'(1)
f'(0)
= .
15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在点x0处取得极小值-5,其导函数y=f'(x)的图象经过点(0,0),(2,0).
(1)求a,b的值;
(2)求x0及函数f(x)的表达式.
16.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.
深度解析
17.已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.
能力提升练
题组一　函数极值的求解及其应用
1.(2020湖南长沙麓山国际学校高二上检测,)函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.()已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于(1,0)点,则f(x)的极
小值为( )
A.0B.-4
27C.-5
27
D.1
3.(多选)()如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确
的是( )
A.f(x)在(-3,1)上是增函数
B.f(x)在(1,3)上是减函数
C.f(x)在(1,2)上是增函数
D.当x=4时,f(x)取得极小值
4.(2019北京大兴高三上期末,)已知函数f(x)=x-aln x.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,求a的值;
(2)求函数y=f(x)在区间[1,4]上的极值.
题组二　含参函数的极值问题
5.(2019福建泉州高三月考,)已知函数f(x)=ax3-bx+2的极大值和极小值分别为M,m,则M+m=( )
A.0B.1
C.2
D.4
6.(2020浙江杭州高三检测,)已知a>0且a≠1,则函数f(x)=(x-a)2ln x( )
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值,又有极小值
D.既无极大值,又无极小值
7.(2019湖南湘潭高三一模,)若函数f(x)=x 2-(3m+1)x+3,x≤0,
mx2+xln x,x>0
恰有三个极值点,则m的取值范围是( )
A.-1
2
,-
B.-1
2
,0
C.-1,-
D.-1,-
8.(2020河北保定高二上期末,)已知x=1是函数f(x)=a
x
+x2的极值点,则实数a的值为 .易错
9.(2020北京海淀高三上期末,)已知函数f(x)=e x(ax2+1)(a>0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若函数f(x)有极小值,求证:f(x)的极小值小于1.
10.(2020江西高安中学高二上期末,)已知函数f(x)=1
x2-ax+ln
2
x(a∈R).
(1)若f(x)在定义域上不单调,求a的取值范围;
(2)设a<e+1
,m,n分别是f(x)的极大值和极小值,且S=m-n,求S的取值
e
范围.
题组三　函数极值的综合应用
11.(2020福建三明高二上期末质量检测,)函数y=1
-x2的图象大致是
x
( )
12.(2020河北邯郸高三上期末,)已知函数f(x)为定义在
(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=(x-2e)ln x.若函数
g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,则m的取值范围是(深度解析)
A.(-e,e)
B.[-e,e]
C.(-1,1)
D.[-1,1]
13.(2020山东济宁高二上期末质量检测,)已知点A,B为曲线y=1
上
x
ax2-ax-ln x的两个极值两个不同的点,A,B的横坐标x1,x2是函数f(x)=1
2
+y2=1的位置关系是( )
点,则直线AB与椭圆x2
4
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
14.(多选)()已知函数f(x)=xln x+x2,x
是函数f(x)的极值点,则下列结
论正确的是( )
A.0<x0<1
e B.x0>1
e
C.f(x0)+2x0<0
D.f(x0)+2x0>0
15.(多选)()已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R),则下列说法正确的是( )
A.若a≤0,则函数f(x)没有极值
B.若a>0,则函数f(x)有极值
C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是-∞,
D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]
16.(2020山东青岛高三上期末,)已知函数f(x)=ln x-x+2sin x,f'(x)为f(x)的导函数.求证:
(1)f'(x)在(0,π)上存在唯一零点;
(2)f(x)有且仅有两个不同的零点.
答案全解全析
基础过关练
1.B 由极值点的定义可以得出,可导函数f(x)的极值点为x 0,则f'(x 0)=0,必要性成立;反过来不成立.故选B.
2.C 设y=f'(x)的图象与x 轴的交点从左到右的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,x 4,则f(x)在x=x 1,x=x 3处取得极大值,在x=x 2,x=x 4处取得极小值,故选C.
3.B 由题可得, f'(x)=1x -x=1―x 2
x (x>0),
当x>1时, f'(x)<0,当0<x<1时, f'(x)>0,
所以f(x)在x=1处取得极大值,无极小值.故选B.
4.B 由题意得, f'(x)=1-2sin x,令f'(x)=0,得x=π
6,当
0<x<π
6时, f'(x)>0;
当π6<x<π
2时, f'(x)<0.
∴当x=π
6时, f(x)取得极大值.5.解析　(1)由题意得, f'(x)=3x 2-6x-9,令f'(x)=0,即3x 2-6x-9=0,解得x=-1或x=3.
当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)
+
-
+
f(x)↗极大值↘极小值↗
∴当x=-1时,函数f(x)有极大值,且f(-1)=10;当x=3时,函数f(x)有极小值,且f(3)=-22.(2)由题意得,函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=2(x 2+1)―4x 2(x 2+1)2=-2(x -1)(x +1)
(x 2+1)2.
令f'(x)=0,得x=-1或x=1.
当x 变化时, f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1.(3)由题意得, f'(x)=2x-2
x ,且函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去),当x ∈(0,1)时, f'(x)<0,当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0,
∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f(1)=1,无极大值.
6.C 由题意得, f'(x)=1x -a x 2=x -a
x 2,且函数
f(x)的定义域是(0,+∞).
当a>0时,令f'(x)>0,解得x>a,令f'(x)<0,解得0<x<a,
∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故f(x)的极小值为f(a),无极大值,
当a<0时, f'(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.故选C.
7.B 由y=e x -2mx,得y'=e x -2m.由题意知e x -2m=0有小于零的实根,即e x =2m,得m=1
2e x .∵x<0,∴0<1
2e x <1
2,∴0<m<1
2.8.答案　[0,3]
解析　由f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R),得f'(x)=3x 2+2ax+a.
∵函数f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上,∴f'(x)≥0对x ∈R 恒成立,∴Δ=4a 2-12a ≤0,解得0≤a ≤3,∴a 的取值范围是[0,3].9.答案　2;9
解析　由题可得, f'(x)=3x 2+6mx+n,
∴f '(-1)=3-6m +n =0,
f (-1)=-1+3m -n +m 2=0,
解得m =1,n =3或m =2,n =9.当m =1,
n =3时,f'(x)=3x 2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,不满足题意.故m=2,n=9.
10.解析　(1)当a=0时, f(x)=ln x+x,所以f'(x)=1
x +1,则切线斜率k=f'(1)=2,
又f(1)=1,所以切点坐标为(1,1),所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)由题知,g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-1
2ax 2+(1-a)x+1(x>0),
所以g'(x)=1
x
-ax+(1-a)
=-ax2+(1―a)x+1
x
(x>0),
当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,无极值.
当a>0时
令g'(x)=0,得x=1
a
或x=-1(舍去),
所以当x∈0,,g'(x)>0;当x,+∞时,g'(x)<0,
所以当a>0时,函数g(x)的单调递增区间是0,单调递减区间是
,+∞,
所以当x=1
a 时,g(x)有极大值=1
2a
-ln a,
综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;
当a>0时,函数g(x)有极大值1
2a
-ln a,无极小值.
11.D　f'(x)=12x2-2ax-2b,
∵f(x)在x=1处有极值,
∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6.
又a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴2ab≤6,
∴ab≤9,当且仅当a=b=3时等号成立,
∴ab的最大值为9.
12.A　因为函数f(x)=(x2-m)e x,所以f'(x)=e x(x2-m+2x),由函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,得f'(1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.则f'(x)=e x(x2+2x)=e x(x+2)x,因为e x>0,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递
增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(-2)=4e -2.故选A.
13.A 由于等差数列前n 项和公式中,常数项为0,所以k+1
2=0,所以k=-1
2
,所以f(x)=x 3+
12
x 2
-2x+1,所以f'(x)=3x 2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数f(x)在
(-∞,-1),+∞上单调递增,在-1,
,故当x=-1时,f(x)
取得极大值,为f(-1)=5
2.故选A.14.答案　1
解析　由题意得,m ≠0,且f'(x)=3mx 2+2nx+p,
由题图可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,
由f '(-1)=3m -2n +p =0,f '(2)=12m +4n +p =0,
解得p =―6m ,2n =―3m ,
∵f'(0)=p=-6m, f'(1)=p=-6m,
∴f '(1)f '(0)=1.
15.解析　(1)由题意可得f'(x)=3x 2+2ax+b.∵f'(x)的图象过点(0,0),(2,0),∴b =0,12+4a +b =0,解得a =―3,b =0.(2)由(1)知f'(x)=3x 2-6x,令f'(x)>0,得x>2或x<0,令f'(x)<0,得0<x<2.
∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,∴f(x)在x=2处取得极小值.∴x 0=2.
由f(2)=-5,得c=-1,∴f(x)=x3-3x2-1.
16.解析　(1)由题意得,f'(x)=6x2+6ax+3b,
由函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,得f'(1)=6+6a+3b=0,
f'(2)=24+12a+3b=0,解
得a=―3,
b=4,经检验a,b均符合题意.
(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+c,
f'(x)=6x2-18x+12=6(x-2)(x-1),
令f'(x)=0,得x=1或x=2,
当x<1或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当1<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
∴f(x)在x=1处取得极大值,在x=2处取得极小值.又f(x)=0有三个不同的实根,
∴f(1)=5+c>0,
f(2)=4+c<0,解得-5<c<-4.
方法技巧　解决一元三次方程的实数根问题,常常要考虑两个方面:一是导数为零时一元二次方程实根的个数;二是一元二次方程有两个不等实根时,三次函数有极大值点和极小值点,判断极大值、极小值与0的大小关系.
17.解析　(1)由题可得,f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=b=4,
f'(0)=a+b-4=4,
解得a=4, b=4.
(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x, f'(x)=4e x(x+2)-2x-4
=4(x+2)e x-
令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.
从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
能力提升练
1.A　设y=f'(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为
x1,x2,x3,x4.由题图知,
当a<x<x1时,f'(x)>0,当x1<x<x2时,f'(x)<0,所以x1是极大值点;
同理,x2是极小值点,x4是极大值点.又当x2<x<x3时,f'(x)>0,当x3<x<x4时,f'(x)>0,所以x3不是极值点,所以f(x)在(a,b)内有1个极小值点.故选A.
2.A　由题知f'(x)=3x2-2px-q,f'(1)=3-2p-q=0,f(1)=1-p-q=0,
联立3―2p-q=0,
1―p-q=0,解得
p=2,
q=―1.
∴f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1.
令f'(x)=3x2-4x+1=0,
解得x=1或x=1
3
,
经检验知x=1是函数f(x)的极小值点,
∴f(x)极小值=f(1)=0.
3.CD　f'(x)的图象在(-3,1)上先小于0,后大于0,故f(x)在(-3,1)上先减后增,因此A错误;f'(x)的图象在(1,3)上先大于0,后小于0,故f(x)在(1,3)上先增后减,因此B错误;由题图可知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0,所以f(x)在
(1,2)上单调递增,因此C 正确;当x ∈(2,4)时, f'(x)<0,当x ∈(4,5)时, f'(x)>0,所以当x=4时, f(x)取得极小值,因此D 正确.故选CD.4.解析　(1)因为f(x)=x -aln x,所以
f'(x)=1
2x -a
x (x>0),
所以f'(1)=12-a.
因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,所以1
2-a=1
2,解得a=0.
(2)f'(x)=1
2x -a x =x -2a
2x .
①当2a ≤1,即a ≤1
2时, f'(x)≥0在[1,4]上恒成立,所以y=f(x)在[1,4]上单调递增,所以y=f(x)在[1,4]上无极值;
②当2a ≥2,即a ≥1时, f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,所以y=f(x)在[1,4]上单调递减,所以y=f(x)在[1,4]上无极值;③当
1<2a<2,即1
2<a<1
时,令f'(x)=0,得x=4a 2.当x 变化时, f'(x), f(x)的变
化情况如下表:
x (1,4a 2)4a 2(4a 2,4)f'(x)-0+f(x)
↘
极小值
↗
因此, f(x)的单调递减区间为(1,4a 2),单调递增区间为(4a 2,4),
所以当x=4a 2时, f(x)在[1,4]上取得极小值,且极小值为f(4a 2)=2a-2aln 2a,无极大值.
5.D 由题意得, f'(x)=3ax 2-b,设方程3ax 2-b=0的两个根分别为x 1,x 2,则f(x)在x 1,x 2处取到极值,
则M+m=4-b(x 1+x 2)+a(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2],又x 1+x 2=0,x 1x 2=-b
3a ,所以M+m=4,故选D.
6.C 由题意得, f'(x)=2(x-a)ln x+(x -a )2
x =(x-a)
2ln x +1―
令f'(x)=0,得x=a 或2ln x+1-a
x =0.作出
g(x)=2ln x+1和
h(x)=a
x 的图象(图
略),
易知g(x)=2ln x+1和h(x)=a x 的图象有交点,所以方程2ln x+1-a
x =0有解,所以根据函数的单调性和极值的关系可得,函数f(x)=(x-a)2ln x 既有极大值又有极小值,故选C.
7.A 由题可知f'(x)=2x -(3m +1),x ≤0,
2mx +ln x +1,x >0,当x>0时,令f'(x)=0,得-2m=ln x +1
x
,令g(x)=
ln x +1
x
,则g'(x)=
-ln x
x 2
,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(x)的图象如图所示,
所以当0<-2m<1,即-1
2<m<0时, f'(x)=0有两个不同的根.当x ≤0时,令f'(x)=0,得x=
3m +1
2
<0,解得m<-13.综上,m ∈-12,-1
3.
8.答案　2解析　由
f(x)=a
x +x 2,得
f'(x)=-a
x 2+2x.
因为x=1是f(x)的极值点,所以f'(1)=0,即-a+2=0,所以a=2.
此时f'(x)=2(x3-1)
x2
,当x<1时,f'(x)<0;当x=1时,f'(x)=0;当x>1时,
f'(x)>0.
因此x=1是极小值点,即a=2符合题意.
易错警示　已知极值点求参数的值,先计算f'(x)=0,求得x的值,再验证极值点.由于导数为0的点不一定是极值点,因此解题时要防止遗漏验证导致错误.
9.解析　(1)由已知得f'(x)=e x(ax2+2ax+1),因为f(0)=1,f'(0)=1,
所以所求切线的方程为y=x+1.
(2)证明:f'(x)=e x(ax2+2ax+1),令g(x)=ax2+2ax+1,则Δ=4a2-4a.
(i)当Δ≤0,即0<a≤1时,∀x∈R,f'(x)≥0,
所以函数f(x)在R上是单调递增函数,此时函数f(x)在R上无极小值. (ii)当Δ>0,即a>1时,记x1,x2是方程ax2+2ax+1=0的两个根,不妨设x1<x2,
则x1+x2=―2<0,
x1x2=1
a
>0,所以x1<x2<0.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞) f'(x)+0-0+ f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数y=f(x)的极小值为f(x2),
又因为函数y=f(x)在[x2,0]上单调递增,所以f(x2)<f(0)=1.
所以函数y=f(x)的极小值小于1.
10.解析　(1)由已知得f'(x)=x+1
x
-a(x>0,a∈R).
①若f(x)在定义域上单调递增,则f'(x)≥0,即a ≤x+1
x 在(0,+∞)上恒成立,
又x+1
x ∈[2,+∞),所以a ≤2.
②若f(x)在定义域上单调递减,则f'(x)≤0,即a ≥x+1
x 在(0,+∞)上恒成立,又
x+1
x ∈[2,+∞),所以
a ∈⌀.
因为f(x)在定义域上不单调,所以a>2,所以a ∈(2,+∞).
(2)由(1)知,要使f(x)在(0,+∞)上有极大值和极小值,必须满足a>2.又a<e+1
e ,所以
2<a<e+1
e .
设
f'(x)=x+1x -a=x 2-ax +1
x
=0的两根分别为x 1,x 2,即x 2-ax+1=0的两根分
别为x 1,x 2,于是x 1+x 2=a,x 1x 2
=1.不妨设0<x 1<1<x 2,则f(x)在(0,x 1)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在(x 2,+∞)上单调递增,所以m=f(x 1),n=f(x 2),所以S=m-n=f(x 1)-f(x 2)
2
1
-a x 1+ln x 122
-a x 2+ln x 2
=12(x 21-x 2
2)-a(x 1-x 2)+(ln x 1-ln x 2)
=-12(x 21-x 2
2)+ln x 1x 2
-+ln x 1x 2.
令t=x 1
x 2,t ∈(0,1),则
-
t.
又
t+1t =x 21+x 22x 1x 2
=(x 1+x 2)2-2x 1x 2
x 1x 2
=a 2-2∈2,e 2+所以1
e 2<t<1.
所以
++1t
-12
<0,
所以-
t ,1上为减函数.所以S ∈0,
11.D 令
y=1x -x 2
=0,得
x 3=1,解得x=1.
因此选项A 、C 中的图象不正确;
y'=-1
x 2-2x,令y'=0,得2x 3+1=0,解得x=-312
,因此,x=-312
是函数y=1
x -x 2的唯
一的极大值点,
因此,当x<-312
时,y'>0,当-312
<x<0时,y'<0,故B 错误,D 正确.故选D.
12.A 当x>0时, f'(x)=ln x+1-2e x , f″(x)=1x +2e
x 2>0,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.f(x)的大致图象如图所示.
由g(x)=f(x)-m 存在四个不同的零点知,直线y=m 与y=f(x)的图象有四个不同的交点,故m ∈(-e,e),故选A.
解题模板　利用导数解决函数的极值问题,常见的解题步骤是:求导、求驻点(令导数为0时方程的解)、列表、回答问题,由表可得出函数的大致图象,借助数形结合可解决函数的极值问题.13.C 由f(x)=12ax 2
-ax-ln x,
得
f'(x)=ax-a-1x =ax 2-ax -1
x
,因为A,B 的横坐标x 1、x 2是函数f(x)=1
2ax 2-ax-ln x 的两个极值点,所以x 1、x 2是方程ax 2-ax-1=0的两根,因此x 1+x 2=1,
x 1x 2=―1
a ,
a ≠0,
又点A,B 为曲线
y=1
x 上两个不同的点,所以
k AB =
1x 1
-1x
2
x 1-x 2
=-1
x 1x 2=a,
因此直线AB 的方程为y-1
x 1=a(x-x 1),
即
y=ax-ax 1+1
x 1=ax-ax 1-ax 2
=ax-a(x 1+x 2)=ax-a=a(x-1),即直线AB 恒过定点(1,0),
显然点(1,0)在椭圆x 2
4+y 2=1
内,因此直线AB
与椭圆x 2
4+y 2=1
必相交.故
选C.
14.AD ∵函数f(x)=xln x+x 2(x>0),∴f'(x)=ln x+1+2x,
易得f'(x)=ln x+1+2x 在(0,+∞)上单调递增=2e >0,
∵当x →0时, f'(x)→-∞,∴0<x 0<1
e ,∴A 正确,B 错误.∵f'(x 0)=ln x 0+1+2x 0=0,
∴f(x 0)+2x 0=x 0ln x 0+x 20+2x 0=x 0(ln x 0+x 0+2)=x 0(1-x 0)>0,∴C 错误,D 正确.故选AD.
15.ABD 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a-1x =ax -1
x
,当a ≤0时, f'(x)<0恒成立,此时f(x)单调递减,没有极值.
又当x 趋近于0时, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于-∞,∴f(x)有且只有一个零点.
当a>0时,在0,
f'(x)<0, f(x)单调递减,,+∞上f'(x)>0, f(x)单
调递增,当x=1a 时, f(x)取得极小值,同时也是最小值,∴f(x)min =1+ln a,当x 趋近于0时,ln x 趋近于-∞, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞
时, f(x)趋近于+∞,当1+ln a=0,即
a=1
e 时, f(x)有且只有一个零点;当
1+ln a<0,即0<a<1
e 时, f(x)有且仅有两个零点,综上可知ABD 正确,C 错误.故选ABD.16.证明　(1)设
g(x)=f'(x)=1
x -1+2cos x,
当x ∈(0,π)时,g'(x)=-2sin x-1
x 2<0,所以g(x)在(0,π)上单调递减,
又因为=3π-1+1>0,g
=2
π-1<0,
所以g(x),α,即f'(x)在(0,π)上存在唯一零点α.
(2)①由(1)知,当x ∈(0,α)时, f'(x)>0,f(x)在(0,α)上单调递增;当x ∈(α,π)时, f'(x)<0, f(x)在(α,π)上单调递减,
所以f(x)在(0,π)上存在唯一的极大值点<α<
所以=ln π2-π2+2>2-π2>0,
又因为=-2-1e 2+2sin 1e 2<-2-1
e 2+2<0,
所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点,又因为f(π)=ln π-π<2-π<0,所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点,②当x ∈[π,2π)时,sin x ≤0, f(x)≤ln x-x,设h(x)=ln x-x,则h'(x)=1
x -1<0,所以h(x)在[π,2π)上单调递减,所以h(x)≤h(π)<0,
所以当x ∈[π,2π)时, f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立,所以f(x)在[π,2π)上没有零点.
③当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤ln x-x+2,
-1<0,
设φ(x)=ln x-x+2,φ'(x)=1
x
所以φ(x)在[2π,+∞)上单调递减,
所以φ(x)≤φ(2π)<0,
所以当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立,所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点.
综上,f(x)有且仅有两个零点.。