2023届河南省信阳市固始县高级中学第一中学高三上学期教学质量检测数学(文)试题(解析版)

2023届河南省信阳市固始县高级中学第一中学高三上学期教学质量
检测数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}2log 1M x x =<，集合1222x
N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭
，则M N ⋂=（ ）
A ．()0,1
B ．()0,2
C ．()1,1-
D ．
1,2
【答案】A
【分析】分别解不等式可得集合M 与N ，进而可得M N ⋂.
【详解】因为{}()2log 10,2M x x =<=，()1221,12x
N x ⎧⎫=<<=-⎨⎬⎩⎭，
所以()0,1M
N =，
故选：A ．
2．已知偶函数()f x 在[0,]+∞上为增函数，在不等式2(1)(2)f ax f x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．(2)-
B ．(-
C ．(2,2)-
D ．(2,-
【答案】C
【详解】由偶函数可知,可知不等式()()
212f ax f x -<+ 恒成立,即2
12ax x -<+恒成立,则可得
()
22
12{12ax x ax x
->-+-<+ 恒成立.即210x ax ++> 且230x ax -+> 恒成立.由根的判别式可得22a -<<.故本题选C .
点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性.对于抽象函数不等式,一般根据函数的奇偶性将它转化为
()()12f x f x <的形式,然后利用函数的单调性将抽象函数不等式转化成具体的不等式12x x <,但不能改变变量的定义域. 对于奇函数,其图像关于原点中心对称,由图知其在关于原点对称的区间单调性相同;偶函数的图像关于y 轴对称,偶函数在关于原点对称的区间单调性相反.
3．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若
AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为
A ．
212
+ B ．
312
+ C ．32
D ．52
【答案】B
【分析】由题意得出13
44
AP AB AC =
+，再由AM AB λ=，AN AC μ=，可得出
1344AP AM AN λμ=+，由三点共线得出13
144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ
+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.
【详解】如下图所示：
3BP PC =，即()
3AP AB AC AP -=-，13
44
AP AB AC ∴=
+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1
AB AM λ
∴=，1AC AN μ
=， 1344AP AM AN λμ
∴=
+，M 、P 、N 三点共线，则
13144λμ+=. ()13333
1211444444λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=
++≥⋅= ⎪⎝⎭
， 当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+3
1，故选：B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.
4．已知函数()cos 2sin (0)6πωωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭f x x x 的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象向左平移
π
6个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =在区间ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭
上的值域为（ ）
A ．12⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭ B ．⎛ ⎝⎦
C ．⎛ ⎝
D ．⎛ ⎝ 【答案】C
【分析】根据最小正周期为π可得2ω=，再根据三角函数图象平移的性质可得()y g x =，结合三角函数图象的性质即可得值域
【详解】因为ππ()cos 2sin 66ωωω⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭f x x x x 的最小正周期为π，所以2ω=．将
π
()26⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭f x x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数
ππ
()2266⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y g x x x 的图象，当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2ππ2,33⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭x ，所以()y g x =的
值域为⎛ ⎝． 故选：C
5．已知π02θ<<
，若πsin 24θ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
，则sin 2θ=（ ） A ．3
5
B ．4
5-
C ．35或45-
D ．
35或45
【答案】A 【分析】以π24θ-
为整体，结合题意判断其象限，并求πcos 24θ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，利用两角和的正弦公式求
ππsin 2sin 244θθ⎡⎤
⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦．
【详解】因为π02θ<<
，所以ππ3π
2444
θ-<-<，
又πsin 204θ⎛
⎫-=< ⎪⎝
⎭，所以ππ2044θ-<-<，πcos 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
所以ππππππsin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦35=．
故选：A ．
6．函数222
x x
x
y --=的部分图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，再对0x <和0x >时函数值的情况讨论，利用排除法即可判断；
【详解】解：因为()222x x x y f x --==定义域为R ，又()()()2222
22
x x x x x x
f x f x -------===-， 所以()222
x x
x
y f x --==为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B ； 当0x <时021x <<，21x
，21x >，所以220x x --<，所以()0f x <，故排除D ；
当0x >时()1
222
121242x x
x
x x x
x
f x ---==
=-，因为1
014x <<，所以10114
x <-<，即()01f x <<，故
排除C ； 故选：A
7．已知函数()2
222
()1m m f x m m x --=--是幂函数，且为偶函数，则实数m =（ ）
A ．2或1-
B ．1-
C ．4
D ．2
【答案】D
【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.
【详解】由幂函数的定义知211m m --=，解得1m =-或2m =．
又因为()f x 为偶函数，所以指数222m m --为偶数，故只有2m =满足． 故选：D ．
8．下列结论中，正确的是（ ）
A ．命题“23,230x x x ∀>-->”的否定是“2
0003,230x x x -≤∃-≤”
B ．若命题“p q ∨”为真命题,则命题“p q ∧”为真命题
C ．命题“若0x >，则2320x x -+>”的否命题是“若0x >，则2320x x -+≤”
D ．“a<0”是“命题‘2[1,2],0x x a ∀∈-≥’为真命题”的充分不必要条件 【答案】D
【分析】A. 写出全称命题的否定即可判断A 不正确.B. 若命题“p q ∨”为真命题,则命题,p q 至少有一个为真命题，可判断B 不正确.C. 写出命题“若0x >，则2320x x -+>”的否命题，可判断C 不正确.D. 先求出命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≥”为真命题时，参数a 的范围，从而可以判断D 正确.
【详解】命题“3x ∀>，2230x x -->”的否定是“03x ∃>，2
00230x x --≤”，则A 错误；
若命题“p q ∨”为真命题，则p 、q 一真一假或全真， 则命题“p q ∧”可能为真命题，也可能为假命题，则B 错误；
命题“若0x >，则2320x x -+>”的否命题是“若0x ≤，则2320x x -+≤”，则C 错误； 由“[1,2]x ∀∈，20x a -≥”，得“()
2
min
1a x ≤=”，故“a<0”是“命题‘[1,2]x ∀∈，20x a -≥’为真命题”
的充分不必要条件，D 正确. 故选：D.
【点睛】本题考查全称命题的否定、否命题的书写，根据充分条件求参数的范围，属于中档题. 9．如图，某校数学建模社团对该校旗杆的高度进行测量，该社团的同学在A 处测得该校旗杆顶部P 的仰角为α，再向旗杆底部方向前进15米到达B 处，此时测得该校旗杆顶部P 的仰角为β．若11
tan ,tan 32
αβ==，则该校旗杆的高度为（ ）
A ．14米
B ．15米
C ．16米
D ．17米
【答案】B
【分析】利用直角三角形中的边角关系列式求解旗杆高度即可. 【详解】解：如图
由题可知：15AB =（米）， 则在Rt POB △中，1
tan 2
PO BO β==①， 在Rt POA △中，1
tan 153
PO PO AO BO α=
==+②， 联立①②解得：30BO =（米），15PO =（米）. 即该校旗杆的高度为15米. 故选：B.
10．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22x
f x =-，
则()()()12...2023f f f ++的值为（ ） A ．2- B ．1
C ．1-
D ．2
【答案】C
【分析】由函数()f x 的图像关于点()1,0对称得到()()2f x f x =--，结合()f x 是偶函数得到
()()2f x f x =-+，进一步得到()f x 的周期是4，再利用周期性计算即可得到答案.
【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x -=， 又()f x 的图象关于点()1,0对称，则()()2f x f x =--，
所以()()2f x f x -=--，则()()2f x f x =-+，得()()42()f x f x f x +=-+=， 即()4()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，且周期4T =，
由[]0,1x ∈时，()22x f x =-，则()()401f f ==，()10f =，()()201f f =-=-，
()()()3310f f f =-==，
则()()()()12340f f f f +++=，
则()()()()()()12202312350501f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+++⨯=-. 故选：C
11．已知函数()31sin 131
x x f x x x =-++-+，若()()
2
122f a f a -+≤-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1[1,]2-
B ．(]1,1,2⎡⎫
-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
C ．1
[,1]2
-
D ．[)1,1,2⎛
⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
【答案】A
【分析】利用()1f x +是奇函数，再证()1f x +为增函数可求解. 【详解】令()31
si )1
(n 13x x x h x f x x -+++=+=，
因为311331
sin sin sin ()31133()1
x x x x x x x x x x x x h x h x -------=--=---=-++=+-，
所以()h x 为奇函数，原不等式化为：
()()2112,1f a f a ≤---+即2(2)(1)h a h a ≤--，即2(2)(1)h a h a ≤-， 下证()h x 为增函数，
313122
sin sin 1sin 313(131
)x x x x x x x x x h x x x -+-++=++=-+++++=，
3x 为增，∴所以231x
+为减，∴2
31
x -+为增， 又
sin y x x =+，1cos 0,y x '=+≥ ∴sin x x +为增，所以()h x 在x R ∈上单调递增，
2
21a a ∴≤-即2210a a ∴+-≤，解得11,2a ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦
. 故选：A.
12．设函数()f x '是奇函数()f x ()R x ∈的导函数，0x >时，()()1
ln xf x f x x
'<-
，则使得()()2
90x
f x -<成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()()3,03,-⋃+∞
B ．()(),33,-∞-+∞
C ．()()3,00,3-
D ．()
(),30,3-∞-
【答案】A
【分析】令()()ln g x f x x =，()0x >，根据已知条件可得当0x >时，()()ln g x f x x =单调递减，且
()10g =，根据单调性和奇偶性可得()()0,11,x ∈+∞时，()0f x <；当()(),11,0x ∈-∞--时，
()0f x >，再分情况讨论即可求解.
【详解】令()()ln g x f x x =，()0x >，
则()()()1
ln 0g x f x x f x x
''=+⋅<对于0x >恒成立，
所以当0x >时，()()ln g x f x x =单调递减， 又因为()()11ln10g f ==，
所以当()0,1x ∈时，()0g x >；此时ln 0x <，所以()0f x <； 当()1,x ∈+∞时，()0g x <，此时ln 0x >，所以()0f x <； 又因为()f x 是奇函数，
所以()1,0x ∈-时，()0f x >；当(),1x ∈-∞-时，()0f x >；
因为()()2
90x f x -<，
所以当0x <时，290x -<，解得30x -<<；① 当0x >时，290x ->，解得3x >；②
综合①②得()()2
90x f x -<成立的x 的取值范围为()()3,03,-⋃+∞，
故选：A.
二、填空题
13．已知向量(1,3)a =-，(1,)b t =，R t ∈，若a b ⊥，则|3|a b +=_________.
【答案】【分析】利用向量垂直的坐标表示求出t ，再利用模的坐标表示计算作答. 【详解】向量(1,3)a =-，(1,)b t =，而a b ⊥，则130a b t ⋅=-=，解得13t =，1(1,)3
b =， 则有3(1,3)(3,1)(4,2)a b +=-+=-，
所以2|3|4(a b +=+
故答案为：14．已知函数()2sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭（0ω>）的部分图像如图所示，则ω的值为______.
【答案】2
【分析】根据函数的图像建立关于ω的方程，求出ω的值.
【详解】由函数()2sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的部分图像知
11112sin 012126f πππω⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 由五点作图可知()1122,Z 126k k ππωππ⋅
+=+∈,解得：2422
,Z,11
k k ω+=∈ 又由图像可知1112T π>
,所以21112
ππω>，解得：2411ω<
. 又0ω>,所以k =0, 2ω=. 故答案为：2
15．函数cos26cos y x x =-的值域是___________． 【答案】[5,7]-
【分析】根据二倍角公式将原式化简，得22(cos 11
2
3)2y x --=，利用换元法和二次函数的性质即可求
解.
【详解】2
2cos 26cos 2cos 6cos 12(cos )22311y x x x x x =-=-=---，
令cos 11t x =∈［-，］，所以原函数22()22
311
y t --=，
函数22()22311
y t --=在3(,]2-∞上单调递减，在3[,)2+∞上单调递增，
当1t =时，22()22311
y t --=能取到最小值5-，
当1t =-时，22()22
311
y t --=能取到最大值7，
所以函数的值域为[]5,7-. 故答案为：[]5,7-.
16．已知函数()322
3f x x mx nx m =+++在=1x -处取得极值0，则m n +=______．
【答案】11
【分析】求出导函数()f x '，然后由极值点和极值求出参数,m n 值即可得，注意检验符合极值点的定义．
【详解】()2
36f x x mx n '=++，则()()10,10f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩
，即360130m n m n m -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得1,3,m n =⎧⎨=⎩或2,9.m n =⎧⎨
=⎩ 当1,3m n =⎧⎨=⎩时，()()2
2363310f x x x x '=++=+≥，不符合题意，舍去； 当2,9
m n =⎧⎨=⎩时，()()()23129331x x x x f x =++=++'， 令0f
x
，得3x <-或1x >-；令()0f x '<，得31x -<<-．
所以()f x 在(),3-∞-，()1,-+∞上单调递增，在()3,1--上单调递减，符合题意，则2911m n +=+=． 故答案为：11．
三、解答题
17．已知集合A 是函数y =lg （20﹣8x ﹣x 2）的定义域，集合B 是不等式x 2﹣2x +1﹣a 2≥0（a >0）的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B .
（1）若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围；
（2）若￢p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}1|1a a ≥；（2）{}|01a a <≤.
【分析】（1）分别求函数y =lg （20﹣8x ﹣x 2）的定义域和不等式x 2﹣2x +1﹣a 2≥0 (a >0)的解集，化简集合A ，B ，由A ∩B =∅得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a 的取值范围；
（2）求出￢p 对应的x 的取值范围，由￢p 是q 的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a 的范围
【详解】解：（1）由条件得：A ={x |﹣10<x <2}，B ={x |x ≥1+a 或x ≤1﹣a }
若A ∩B =∅，则必须满足121100
a a a +≥⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩，解得：1
110a a a ≥⎧⎪
≥⎨⎪>⎩，所以11a ≥，
所以，a 的取值范围的取值范围为：{}1|1a a ≥； （2）易得：￢p ：x ≥2或x ≤﹣10， ∵￢p 是q 的充分不必要条件，
∴{x |x ≥2或x ≤﹣10}是B ={x |x ≥1+a 或x ≤1﹣a }的真子集，
则121100
a a a +≤⎧⎪-≥-⎨⎪>⎩，解得：1110a a a ≤⎧⎪
≤⎨⎪>⎩，所以0<a ≤1.
∴a 的取值范围的取值范围为：{}|01a a <≤.
18．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C
所对的边，b =()()222sin 2sin B
c a C b c a b
-=+- (1)求角B ﹔ (2)求2a c -的范围． 【答案】(1)3
B π=
(2)(-
【分析】（1）利用正弦定理将角化成边，整理得到222c a b ac +-=，再利用余弦定理得到cos B ，即可求B ；
（2）利用正弦定理将2a c -转化成8sin 4sin A C -
，再利用和差公式和辅助角公式整理得
6A π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，最后利用三角函数的性质和A 的范围求2a c -的范围即可.
【详解】（1）()()
()222
222222sin 2sin 2B
c a C b c a c a c b c a c a b ac b
-=+-⇒-=+-⇒+-=，又222
cos 2a c b B ac
+-=，所以1cos 2B =，因为()0,B π∈，所以3B π=.
（2）在ABC 中，由（1
）及b =
，得4
sin sin sin b a c B A C ===， 故4sin ,4sin a A c C ==
，28sin 4sin 8sin 28sin 2si 4si n 3n a c A A A A A A C π⎛⎫
-=---=-=- ⎪⎝⎭
6sin 6A A A π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
因为203A π
<<，则662
A πππ-<-<，
1sin 1,266A A ππ⎛⎫⎛
⎫-<-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 所以2a c -
的范围为(-.
19．已知函数44()32log ,()log f x x h x x =-=.
(1)当[1,16]x ∈时，求函数()[()1]()g x f x h x =+⋅的值域；
(2)如果对任意的[1,16]x ∈，不等式(
)2
()f x f m h x ⋅>⋅恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)[0,2]
(2)3m <-
【分析】（1）设4log t x =，把函数转化为二次函数，利用二次函数性质可得值域；
（2）设4log t x =换元，分类0=t 时不等式成立，在(0,2]t ∈时，分离参数后应用函数单调性求得最小值得结论．
【详解】（1）设4log t x =，由[1,16]x ∈得[0,2]t ∈， 22()(321)242(1)2g x t t t t t =-+=-+=--+，
所以1t =时，max ()2g x =，2t =或0时，min ()0g x =， 所以所求值域为[0,2]；
（2）设4log t x =，又[1,16]x ∈，所以[0,2]t ∈，
不等式()2
()f x f m h x ⋅>⋅为2444(32log )(32log log x m x -->，
即(34)(3)t t mt -->，
0=t ，不等式显然成立， (]0,2t ∈时，不等式化为(34)(3)9
415t t m t t t
--<
=+-，
9415153t t +-≥=-,当且仅当32t =时，等号成立，所以3m <-．
综上，3m <-．
20．已知定义域为R 的函数12()2x x n
f x m
++=+是奇函数．
（1）求实数m ，n 的值；
（2）判断()f x 的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()2
(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）2m =，1n =-（2）()f x 在R 上单调递增，证明见解析（3）k 的取值范围为(3,)+∞. 【分析】（1）根据()00=f 得到1n =-，根据()()11f f -=-计算得到2m =，得到答案. （2）化简得到1
1
()2
21
x
f x =-
+，12x x <，计算()()210f x f x ->，得到是增函数. （3）化简得到212kx x >-，参数分离212x k x ->
，求函数2
12()x
g x x -=的最大值得到答案.
【详解】（1）因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以()00=f ，
即
102n m
+=+，所以1n =-．又由()()11f f -=-，即1
1
1214m m
-=-++， 所以2m =，检验知，当2m =，1n =-时11
212()()22212
x x
x x f x f x --++--===-++-，原函数是奇函数. （2）()f x 在R 上单调递增.证明：由（1）知12111
()22221
x
x x
f x +-==-++， 任取12x x <R ∈，则()()()()211
221
21121221212121x x x x x x f x f x ---=+=++++， 因为函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <，所以21220x x ->，
又()()
1221210x x
++>，
所以()()210f x f x ->，即()()21f x >f x ， 所以函数()f x 在R 上单调递增.
（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式()()2
210f kx f x +->等价于()
2(21)(12)f kx f x f x >--=-，
因为()f x 在R 上是增函数，由上式推得212kx x >-，
即对一切1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
有212x k x ->恒成立，设()()2212112x g x x x x -==-⋅， 令1t x =
，1,33t ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
则有2()2h t t t =-，1,33t ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
，所以max max ()()(3)3g x h t h ===，
所以3k >，即k 的取值范围为(3,)+∞.
21．已知2cos
1,sin()2x a x ϕϕ+⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，2cos 2x b ϕ+⎛=- 2
2π
πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，函数()f x a b =⋅. （1）若函数()f x 为偶函数，求()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛-⎫
⎪⎝⎭
，现将()f x 图象横坐标缩小为原来的13（纵坐标不变），
得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，求函数()g x 的值域.
【答案】（1）()2cos f x x =；（2）(1,2]-.
【解析】（1）先化简求出()2cos 3f x x πϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，再由()f x 为偶函数，可得3k πϕπ-=，即可求出ϕ，
得出解析式；
（2）将,03π⎛-⎫
⎪⎝⎭代入可求得6πϕ=，进而得出()2cos 36g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，即可根据余弦函数性质求出值
域.
【详解】（1）()2cos 11)22x x f x a b x ϕϕϕ++⎛
⎫=⋅=+-+ ⎪⎝⎭
22cos 1)cos())2
x x x x ϕ
ϕϕϕ+=-+=++
2cos 3x πϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭.
函数()f x 为偶函数，
3
k π
ϕπ∴-=，得3k π
ϕπ=
+，Z k ∈.
2
2
π
π
ϕ-
<<
，3
π
ϕ∴=，()2cos f x x ∴=.
（2）函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛-⎫
⎪⎝⎭，
332
k πππ
ϕπ∴-+-=+，得76k πϕπ=+，Z k ∈， 2
2
π
π
ϕ-
<<
，6
π
ϕ∴=
，
()2cos 6f x x π⎛
⎫∴=- ⎪⎝
⎭.
由()f x 图象横坐标缩小为原来的13（纵坐标不变）得()2cos 36g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
51818
x π
π
-
<<
，23363x πππ∴-<-<，
12cos 326x π⎛
⎫∴-<-≤ ⎪⎝
⎭，
∴函数()g x 的值域为(1,2]-.
22．已知函数()ln f x x x =，()2
3g x x ax =-+- （R a ∈）
(1)求()f x 在点()()e,e f 处的切线方程
(2)若对于任意的1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，都有()()2f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)2e y x =- (2)a ≤4
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出()e f ，最后利用点斜式求出切线方程；
（2）依题意参变分离可得32ln a x x x ≤++
对任意的1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，令()32ln h x x x x =++，1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解. 【详解】（1）解：因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+，
所以切线的斜率()e 2k f '==，()e e f =．
所以()f x 在()()e,e f 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；
（2）解：若()()2f x g x ≥对任意的1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则22ln 3x x x ax ≥-+-对任意的1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成
立，
即32ln a x x x ≤++
对任意的1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立， 令()32ln h x x x x =++，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需满足()min a h x ≤，1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 又()()()2231231x x h x x x x +-'=
+-=，
因为1,e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以由()0h x '=得1x =，
当1
1e x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当1e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，
所以当1x =时函数()h x 取得极小值即为最小值，即()()min 14h x h ==，所以a ≤4.。