上海市各区2018届中考二模数学分类汇编：压轴题专题

上海市各区2018届中考二模数学分类汇编：压轴题专题(含答
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上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题
宝山区、嘉定区
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3
）小题5分）
在圆O 中，AO 、BO 是圆O 的半径，点C 在劣弧AB 上，
10=OA ，
12=AC ，AC ∥OB ，联结AB .
（1）如图8，求证：AB 平分OAC ∠；
（2）点
M 在弦AC 的延长线上，联结BM ，如果△AMB 是直角三角形，请你
在如图9中画出 点M 的位置并求CM 的长；
（3）如图10，点D 在弦AC 上，与点A 不重合，联结OD 与弦AB 交于点E ，
设点D 与点C 的
距离为x ，△OEB 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值
范围.
图8 图9
图
25.（1）证明：∵AO 、BO 是圆O 的半径 ∴BO AO =…………1分
∴B OAB ∠=∠…………1分 ∵AC ∥OB
∴B BAC ∠=∠…………1分 ∴BAC OAB ∠=∠
∴AB 平分OAC ∠…………1分
(2)解：由题意可知BAM ∠不是直角，
所以△AMB 是直角三角形只有以下两种情况:
︒=∠90AMB 和︒=∠90ABM
① 当︒=∠90AMB ，点M 的位置如图9-1……………1分 过点O 作AC OH ⊥,垂足为点H ∵OH 经过圆心 ∴AC HC AH 2
1
== ∵12=AC ∴6==HC AH 在Rt △AHO 中，2
2
2
OA HO AH =+ ∵10=OA ∴8=OH
∵AC ∥OB ∴︒=∠+∠180OBM AMB ∵︒=∠90AMB ∴︒=∠90OBM ∴四边形OBMH 是矩形 ∴10==HM OB
∴4=-=HC HM CM ……………2分
图8
图9-1
②当︒=∠90ABM ，点M 的位置如图9-2
由①可知58=AB ，552cos =
∠CAB 在Rt △ABM 中，55
2
cos ==
∠AM AB CAB ∴20=AM
8=-=AC AM CM ……………2分
综上所述，CM 的长为4或8.
说明：只要画出一种情况点M 的位置就给1分，两个点都画正确也给1分. （3）过点O 作AB OG ⊥,垂足为点G 由（1）、（2）可知，CAB OAG ∠=∠sin sin
由（2）可得：5
5sin =
∠CAB ∵10=OA ∴52=OG ……………1分
∵AC ∥OB ∴AD
OB
AE BE =……………1分 又BE AE -=58,x AD -=12,10=OB ∴
x BE
BE -=
-121058 ∴x
BE -=225
80 ……………1分 ∴52225802121⨯-⨯=⨯⨯=x OG BE y ∴x
y -=
22400
……………1分 自变量x 的取值范围为120<≤x ……………1分
长宁区
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
图
在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8． （1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBD
ACO
=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8， ∴OD ⊥AB ，42
1
==
AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO ，AO =5，
∴322=-=AC AO CO （1分）
O A
C D
B
O B
A C D
B
A
O
5=OD ，2=-=∴OC OD CD （1分）
（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH
在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO ，AO =5，
∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）
∴5
25882+-⋅
-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO x x x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）
（3）①当
OB AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=
∆2121 OF OB OH AB AE ==⋅=5
24︒=∠90AFO 5722=-=OF AO AF 5
14
2==AF AD （3分）
②当OA 524=
=BM DG ︒=∠90DGO 5722=-=DG DO GO 518575=-=-=GO AO AG ︒=∠90DGA 622=+=DG AG AD 6
5
14
或=AD ABC △8AB =10BC =12AC =2AB AD AC =⋅AEF C ∠=∠ABC ∠BE x =CF y =y x
GEF △8AB =12AC =2
AB AD AC =163AD =1620
1233
CD =-=2AB AD AC =AD AB AB AC =BAC ∠ADB ABC △∽△ABD C =∠∠BD AD BC AB =20
3
BD =BD CD =DBC C =∠∠ABD DBC =∠∠BD ABC ∠A AH BC ∥BD H AH BC ∥16432053
AD DH AH DC BD BC ====203BD CD ==8AH =16
3
AD DH ==12BH =AH BC
∥AH HG BE BG =812BG x BG -=128
x
BG x =+BEF C EFC =+∠∠∠（第25题图）
A B
C
D
G E
F （备用图） A
B
C
D
BEA AEF C EFC +=+∠∠∠∠AEF C =∠∠BEA EFC =∠∠DBC C
=∠∠BEG CFE △∽△BE BG CF EC =12810x
x x y x
+=-228012x x y -++=GEF GE GF
=23GE
BE EF CF ==23
x y =4BE =EG EF =BE CF =x y =5105BE =-+FG FE =32GE BE EF CF ==3
2
x y =389BE =-+BC
BO BE ⋅=2知
AD =1，AB =2.
（1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数； （3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.
图9 A B C D O E 备用
A
O
备用A
B
O
25. 解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，————————————————————（1分）
由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形.
在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，
所以2
2221y x =+-，—————————————————————
—（1分）
则()223
03y x x x =-++<<.———————————————
（2分）
（2）取CD 中点T ，联结TE ，————————————————————
（1分）
则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD .
∴∠AET =∠B =70°. ———————————————————————
（1分） 又AD =AE =1，
∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°. ——————————————————
（1分）
由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，————————————
（1分）
所以∠AEC =70°＋35°=105°. ——————————————————（1
分）
（3）当∠AEC =90°时，
易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，
得BH =1，于是BC =2. ——————————————————————
（2分）
当∠CAE =90°时，
易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =-=-，
则224117
2
4
AD CA x x AC CB x x -±=⇒=
⇒=
-（舍负）—————（2分）
易知∠ACE <90°. 所以边BC 的长为2或
117
+.——————————————————（1分）
金山区
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）
如图9，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =AD =5，3
sin 5
B =，P 是线段B
C 上
一点，以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线AD 的另一个交点为Q ，射线
PQ 与射线
CD 相交于点E ，设BP =x ． （1）求证△ABP ∽△ECP ；
（2）如果点Q 在线段AD 上（与点A 、D 不重合），设△APQ 的面积为
y ，
求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△QED 与△QAP 相似，求BP 的长．
25．解：（1）在⊙P 中，PA =PQ ，∴∠PAQ ＝∠PQA ，……………………………（1分）
∵AD ∥BC ，∴∠PAQ ＝∠APB ，∠PQA ＝∠QPC ，∴∠APB ＝∠
EPC ，……（1分）
∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B ＝∠C ，…………………………
（1分）
∴△APB ∽△ECP ．…………………………………………………………（1分）
A
B
C
D
图9
备用图
（2）作AM ⊥BC ，PN ⊥AD ，
∵AD ∥BC ，∴AM ∥PN ，∴四边形AMPN 是平行四边形， ∴AM =PN ，AN =MP ．………………………………………………………（1分）
在Rt △AMB 中，∠AMB =90°，AB =5，sinB =3
5
，
∴AM =3，BM =4，∴PN =3，PM =AN =x -4，……………………………………
（1分）
∵PN ⊥AQ ，∴AN =NQ ，∴AQ = 2x -8，……………………………………（1
分）
∴()11
28322
y AQ PN x =⋅⋅=⋅-⋅，即312y x =-，………………………（1
分）
定义域是13
42
x <<
．………………………………………………………（1分） （3）解法一：由△QED 与△QAP 相似，∠AQP ＝∠EQD ，
①如果∠PAQ ＝∠DEQ ，∵△APB ∽△ECP ，∴∠PAB ＝∠DEQ ， 又∵∠PAQ ＝∠APB ，∴∠PAB ＝∠APB ，∴
BP =BA =5．………………………（2分）
②如果∠PAQ ＝∠EDQ ，∵∠PAQ ＝∠APB ，∠EDQ ＝∠C ，∠B ＝∠
C ，
∴∠B ＝∠APB ，∴ AB =AP ，∵AM ⊥BC ，∴ BM =MP =4，∴
BP =8．………（2分）
综上所述BP 的长为5或者8．………………………………………………（1分） 解法二：由△QAP 与△QED 相似，∠AQP ＝∠EQD ，
在Rt △APN 中，AP PQ ===
∵QD ∥PC ，∴
EQ EP
QD PC
=
， ∵△APB ∽△ECP ，∴
AP EP PB PC =，∴AP EQ
PB QD
=， ①如果AQ EQ QP QD =，∴AQ AP
QP PB =
=，
解得5x =………………………………………………………………………（2分） ②如果
AQ DQ QP QE =，∴AQ PB QP AP =
=
，
解得8x =………………………………………………………………………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．…………………………………………………（1分）
静安区
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第
（3）小题满分4分）
如图，平行四边形ABCD 中，已知AB =6，BC =9，3
1
cos =
∠ABC ．对角线AC 、BD 交于点O ．动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．设BP = x ．
（1） 求AC 的长；
（2） 设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时， 求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ， 求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．
A 第25题图
B P
O
C
D
E
· 第25题备用图
A
B
O
C
D
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
解：（1）作AH ⊥BC 于H ，且3
1
cos =∠ABC ，AB =6， 那么23
1
6cos =⨯
=∠⋅=ABC AB BH …………（2分） BC =9，HC =9-2=7，
242622=-=AH ， ……………………（1分） 9493222=+=+=HC AH AC ﹒ ………（1分） （2）作OI ⊥AB 于I ，联结PO , AC =BC =9，AO = ∴∠OAB =∠ABC ,
∴Rt △AIO 中， 3
1
cos cos ==
∠=∠AO AI ABC IAO ∴AI =，IO =2322=AI ……………………（1分） ∴PI =AB -BP -AI ==x -2
9
， ……………………（1分） ∴Rt △PIO 中，
4
153
9481918)29()23(2222222+-=+-+=-+=+=x x x x x OI PI OP ……（1
分）
∵⊙P 与⊙O 外切，∴y x x x OP +=+
-=4
153
92 ……………………（1分） ∴y =x x x x x x -+-=-+
-1533642
1
4153922 …………………………（1分） ∵动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．∴定义域：0<x ≤3…………（1分）
（3）由题意得：∵点E 在线段AP 上，⊙O 经过点E ，∴⊙O 与⊙P 相交
D
A · 第25题图
B
P
O
C
H E
第25题图
B
C
H
∵AO 是⊙O 半径，且AO ＞OI ，∴交点E 存在两种不同的位置，OE =OA =2
9
① 当E 与点A 不重合时，AE 是⊙O 的弦，OI 是弦心距，∵AI =，AE =3， ∴点E 是AB 中点，321==
AB BE ,2
3
==PE BP ,3=PI , IO =23 3327)23(32222==+=+=IO PI OP ……………………（2分）
② 当E 与点A 重合时，点P 是AB 中点，点O 是AC 中点,2
9
21==
BC OP ……（2分） ∴33=OP 或
2
9
． 闵行区
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）
如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB = 90o ，AC =6，BC = 8，点F 在线段
AB 上，以点B 为圆心，BF 为半径的圆交BC 于点E ，射线AE 交圆B 于点D （点D 、E 不重合）．
（1）如果设BF = x ，EF = y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）如果2ED EF =，求ED 的长；
（3）联结CD 、BD ，请判断四边形ABDC 是否为直角梯形说明理由．
（备用图）
C
B
A （第25题图）
C
B
E
F D
A
25．解：（1）在Rt △ABC 中，6AC =，8BC =，90ACB ∠=
∴10AB =．……………………………………………………………（1分） 过E 作EH ⊥AB ，垂足是H ，
易得：35EH x =，45BH x =，15
FH x =．…………………………（1分）
在Rt △EHF 中，2
2
2
2
2
3155EF EH FH x x ⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴(08)y x <<．………………………………………（1分+1分） （2）取ED 的中点P ，联结BP 交ED 于点G
∵2ED EF =，P 是ED 的中点，∴EP EF PD ==． ∴∠FBE =∠EBP =∠PBD ．
∵EP EF =，BP 过圆心，∴BG ⊥ED ，ED =2EG =2DG ．…………（1
分）
又∵∠CEA =∠DEB ，
∴∠CAE =∠EBP =∠ABC ．……………………………………………（1分） 又∵BE 是公共边，∴BEH BEG ∆∆≌．∴3
5
EH EG GD x ===． 在Rt △CEA 中，∵AC = 6，8BC =，
tan tan AC CE
CAE ABC BC AC
∠=∠=
=
， ∴66339
tan 822
CE AC CAE ⨯⨯=⋅∠===．……………………………（1分） ∴91697
82
222BE =-=
-=．……………………………………………（1分） ∴66721
25
52
5
ED EG x ===⨯=
．……………………………………（1分） （3）四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………………（1分）
①当CD ∥AB 时，如果四边形ABDC 是直角梯形，
只可能∠ABD =∠CDB = 90o
在Rt △CBD 中，∵8BC =，
D
E
B
A
C
F ∴32cos 5
CD BC BCD =⋅∠=
， 24
sin 5
BD BC BCD BE =⋅∠=
=． ∴321651025CD AB ==，32
8153245
CE BE -
=
=； ∴
CD CE
AB BE
≠
． ∴CD 不平行于AB ，与CD ∥AB 矛盾．
∴四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………（2分） ②当AC ∥BD 时，如果四边形ABDC 是直角梯形， 只可能∠ACD =∠CDB = 90o ． ∵AC ∥BD ，∠ACB = 90o ， ∴∠ACB =∠CBD = 90o ． ∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o ． 与∠ACD =∠CDB = 90o 矛盾．
∴四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………（2分）
普陀区
25．（本题满分14分）
已知P 是O ⊙的直径BA 延长线上的一个动点，P ∠的另一边交O ⊙于点C 、
D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP m ＝，1
sin 3
P ＝，如图11所示．另一个半径为6的1O ⊙经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当6m ＝时，求线段CD 的长；
（2）设圆心1O 在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；
（3）△1POO 在点P 的运动过程中，是否能成为以1OO 为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．
D
25．解：
（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，联结OC ．
在Rt △POH 中，∵1sin 3
P ＝，6PO =，∴2OH =． ······························（1分） ∵AB ＝6，∴3OC ＝． ···························································································（1分）
由勾股定理得 CH =． ·····················································································（1分）
∵OH ⊥DC ，∴2CD CH ==． ····························································（1分） （2）在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝， PO m ＝，∴3
m OH ＝． ·························（1分）
在Rt △OCH 中，2
2
93m CH ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
＝．
······························································（1分） 在Rt △1O CH 中，2
2
363m CH n ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭＝． ·····················································（1分）
可得 22
36933m m n ⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝，解得23812n m n -＝． ··································（2分）
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：
● 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时
①1OP OO ＝，即m n ＝，由2381
2n n n
-＝解得9n ＝． ·································（1分）
即圆心距等于O ⊙、1O ⊙的半径的和，就有O ⊙、1O ⊙外切不合题意舍去． ····································································································································（1分）
②11O P OO ＝n ＝，
解得23m n ＝，即23n 23812n n
-＝，
解得n ． ··································（1分） ● 当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得 2
8132n m n
-＝．
∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即2
8132n n n
-＝
，解得n ．（2分）
综上所述，n
．
青浦区
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图9-1，已知扇形MON
MON =90，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且
OC =BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA = x ，∠COM 的正切值为y ．
（1）如图9-2，当AB ⊥OM 时，求证：AM =AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.
25．解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ··············（1分）
∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ··········（1分）
O
M
N
D C B
A
图9-1 O
M
N
D
C
B
A
图9-2
N
O
备用图
∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，
∴△OAC ≌△ABM ， ·············································································（1分） ∴AC =AM ． ····························································································（1分）
（2）过点D 作
DE
=MD ME
DM
AE
)
12
x
2==OA OC DM OE OD OD 2=DM OA OD
OE =y
0<≤x 111222=
==DM BM OC
x ==OD =DM y
OD 1=
x
=
x =x α90α︒-α90α︒-α45︒290α∠=>︒BOA 90∠≤︒BOA （1）求CE 的长；
（2）P 是 CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q.
① 如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；
② 如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP 的长.
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分） 解：（1）∵AE ∥CD
∴BC DC
BE AE
=…………………………………1分 (第25题图)
C
B
A D E
(备用图)
C
B
A
D
E
A D
∵BC=DC
∴BE=AE …………………………………1分 设CE =x 则AE =BE =x +2 ∵ ∠ACB =90°， ∴222AC CE AE +=
即229(2)x x +=+………………………1分
∴54x =
即5
4
CE =…………………………………1分
（2）①
∵△ACQ ∽△CPQ ，∠QAC>∠P ∴∠ACQ=∠P …………………………………1分 又∵AE ∥CD ∴∠ACQ=∠CAE
∴∠CAE=∠P ………………………………1分 ∴△ACE ∽△PCA ，…………………………1分 ∴2AC CE CP =⋅…………………………1分
即25
34CP =
⋅ ∴36
5
CP = ……………………………1分
②设CP =t ，则5
4
PE t =-
∵∠ACB =90°，
∴AP =
C
B
A D
E
P
Q
∵AE ∥CD ∴
AQ EC AP EP
=……………………………1分
5
545454t t ==--
∴AQ =……………………………1分
若两圆外切，那么1AQ == 此时方程无实数解……………………………1分
若两圆内切切，那么5AQ == ∴21540160t t -+=
解之得t =
1分 又∵54t >
∴t =1分 徐汇区
25. 已知四边形ABCD 是边长为10的菱形，对角线AC 、BD 相交于点E ，过点C 作CF ∥DB 交AB 延长线于点F ，联结EF 交BC 于点H .
（1）如图1，当EF BC ⊥时，求AE 的长；
（2）如图2，以EF 为直径作⊙O ，⊙O 经过点C 交边CD 于点G （点C 、G 不重合），设AE 的长为x ，EH 的长为y ；
① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
③ 联结EG ，当DEG ∆是以DG 为腰的等腰三角形时，求AE 的长.
杨浦区
25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
（1）如图9，在梯形ABCD中，AD当圆P过点A时，求圆P的半径；
（2）分别联结EH和EA，当△ABE△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P 相交，试求圆B的半径r的取值范围；
（3）将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值。