第七章大位移变形弹性理论的变分原理基础(16K)概述

150
第七章 大位移变形弹性理论的变分原理基础
§7.1 大位移变形弹性理论的Lagrange 法
大位移变形也称为有限变形。

一般研究弹性体的大位移变形时多采用Lagrange 法。

在Lagrange 法中，利用变形前物体内一点的坐标，来决定该点在随后变形中的位置。

本节首先说明了大位移变形的应变、位移、应力之间的关系式以及相关方程式的简要推导过程。

将卡氏直角坐标)3,2,1(=i x i 固定在空间，这个坐标值在变形过程中不改变，但随着各点在移动，坐标架的形状发生改变。

研究弹性体的变形，就是研究坐标架的变形。

变形前弹性体任一点A 0的位置可由坐标系原点o 至该点的矢量),,(3210x x x r 表示，设卡氏直角坐标系的基向量（单位矢量）为321i i i ，，，则0
r 可表示为
λλ=++=x x x x i i i i r 3322110 （7-1）
现假定A 0点变形后移至新的位置A 点，并用),,(321x x x r 表示A 点的位置矢量，过A 0点的微小正六面体的三个正交边11d x i ，22d x i ，33d x i 也均发生相应的变形，从而形成过A 点的一个新的平行六面体（注意一般不再是正六面体），平行六面体的三个边可分别由11d x E ，22d x E ，33d x E （1E ，2E ，3E 称为格向量）给出，如图7-1所示。

设u =A A 0
，u 是位移向量，可表示为
λλ=++=u u u u i i i i u 332211 （7-2）
图7-1 无限小平行六面体的几何图形及平衡
151
而
λ
μλλλλ==∂∂=dx x x
i i r r μλ00
δd dx d （7-3）
式中μλδ称为Kronecker 算子，
⎩⎨⎧≠==λ
μ0
λ
μ1
δμλ
（7-4） 又因为u r r +=0
，有
λλλ
λ+∂∂=∂∂=
x x x x d )(d 0u r r dr （7-5） 而
λ
λμμλλ
=∂∂x u x x d d ,i u （7-6） 式中及本章中，记号λ,)(表示对于λ
x 的微分，即λλ∂∂=x )()(,。

将(7-3)、（7-6）式代入（7-5）式中，得
λ
λλμ,μλd dx )δ(d x u E i r =+=λμ （7-7）
式中
μ,μλλ)(δi E λμ
+=u （7-8）
且有
μλμλλμE E =⋅=E E （7-9）
在大位移条件下，应变可定义为
)δ(2
1
λμλμλμ-=
E e （7-10） 式中
k
μk λλμδδδ⋅= （7-11）
将（7-8）、（7-9）式代入（7-10）式中，可得应变与位移之间的关系式
μλ,k ,k ,,λλμ][2
1
e u u u u e =++=μλλμμ
为了以后需要，将上式改写为下面形式
ji k,j i k i j j i ij e u u u u e =++=
)(2
1
,,, （7-12） （7-12）式就是我们熟知的大位移应变位移关系式，展为一般形式为下面六个方程
152
xz
zx zy
yz yx
xy zz yy xx e x w z w x v z v x u z u x w z u e e z w y w z v y v z u y u z v y w e e y w x w y v x v y u x u y u x v e z
w z v z u z w e y w y v y u y v e x w x v x u x u e 222222]
)()()[(21]
)()()[(21])()()[(21222222222=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂==∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=
（7-13）
下面导出平衡方程。

作用在变形后六面体上的面力分别可写出如下
()
3
2133213213213221321321
3211321321d d d d d d d d )d d (d d d d d )d d (d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x σ∂∂
+σσ-σ∂∂
+σσ-σ∂∂+
σσ-，
，，
作用在变形六面体内的体力为3
21
d d d x x x P 。

则变形六面体的力的平衡平衡方程式为
0P σ=+λλ, （7-14）
而λ
σ沿三个格向量方向上的分量分别为
33221
1E E E λλλσσσ，， （7-15）
于是λ
σ可写为
k k
k u i E σλμμμμλμλσ+=σ=),δ( （7-16）
而体力也可以用其分量λ
P 表示为
λλ=i P P （7-17）
将（7-16）、（7-17）式代入（7-14）式中，得
0]),δ[(,=+σ+λμλ
μλμP u k k （7-18）
为了以后使用方便，将上式改写为如下形式
0])δ[(,,=+σ+i j kj k i ik F u （7-19）
这里要注意的是，面积和体积都是对未变形的状态而言的。

153
外力已知的表面边界条件（在σS 上）可写为
i j kj k i ik T n u =σ+)δ(, （在σS 上） （7-20）
显然，在式（7-19）和(7-20)中，如果略去k i ik u ,δ+中之k i u ,，则化简为小位移的平衡条件和力的边界条件。

位移已给的边界条件（在u S 上）可写为
i i u u = （在u S 上） （7-21）
§7.2 大位移变形弹性理论的最小位能原理
小位移变形的最小位能原理同样也适用于大位移变形。

大位移变形的最小位能原理与小位移变形的最小位能原理相同，只是将平衡方程（7-19）和表面外力边界条件（7-20）两式分别替代原方程中的平衡方程和力的边界条件即可。

取最小位能泛函的一阶变分为
⎰⎰σ
--∂∂=∏S i i V
i i ij ij
S u T V u F e e A
d δd ]δδ[
δI （7-22）
根据（7-12）式的应变位移关系
k j i k i k ij
j k i k ki ij j k i k ki ij
j k i k j i ij
i k j k j k i k i j j i ij
ij ij u u e A u u e A u u e A
u u u e A
u u u u u u e A e e A δ)]([]δ)([
δ)()δδ()δδδ(21δ,,,,,,,,,,,,,,,,+δ∂∂-+δ∂∂=+δ∂∂=
+∂∂=+++δ∂∂=∂∂
同时，利用格林公式，可以证明
⎰
⎰+∂∂=+∂∂V
S j k i k ki ij
j k i k ki ij S n u u e A V u u e A d δ)δ(d ]δ)δ([
,,, （7-24）
注意到u σS S S +=，且在u S 上由于k k u u =，所以0δ=k u ，上述积分只有在σS 上有值，
于是有
⎰
⎰σ+∂∂=+∂∂V
S j k i k ki ij
j k i k ki ij S n u u e A
V u u e A d δ)δ(d ]δ)δ([
,,, （7-25）
（7-22）式可以写为
（7-23）
154
⎰
⎰σ
-+∂∂+-+∂∂-
=∏S k k j i k ki ij
V
k k j i k ki ij
S u T n u e A
V u F u e A
d }δ])δ({[
d δ})]δ({[δ,,,I
由泛函极值条件给出下面欧拉方程和边界条件
0)]δ([
,,=-+∂∂k j i k ki ij
F u e A
（在V 内） （7-27） 0)δ(,=-+∂∂k j i k ki ij
T n u e A
（在σS 上） （7-28） 将（7-27）式与（7-19）式、（7-28）式与（7-20）式相比较，显然可知
ij ij
e A
σ=∂∂ (7-29) (7-29)式为应力应变关系，故由最小位能原理泛函I ∏的极值条件可以得到平衡方程（7-19）式和力的边界条件（7-20）式。

以下证明它是最小。

将i i u u δ+代入位能泛函
⎰⎰σ
--=∏S i i V
i i ij i S u T V u F e A u d d ])([)(I
中可得
()()I 2I I I δδδ∏+∏+∏=+∏i i i u u u
注意，这里的i u 是满足所有条件和方程的真解。

根据（7-22）式，有
0δI =∏
而
⎰⎰σ=∂∂∂=∏V
ij ij V kl ij kl
ij V e V e e e e A
d δδd δδδ2I 2
(7-30)
对于线性物理关系，则有
kl
ijkl ij kl ijkl ij e a e a δδ=σ=σ
将上式代入（7-30）式，有
⎰≥=∏V
kl ij ijkl V e e a 0d δδδI 2 （7-31）
由应力ij σδ与应变ij e δ所造成的应变能密度，一定为正值。

而对于非线性的物理关系，一般材料的应力应变关系可以使得
（7-26）
155
0δδ2≥∂∂∂kl ij kl
ij e e e e A
（7-32）
所以I 2δ∏也是正值，这就证明了在极值函数i u 时
)()δ(I I i i i u u u ∏≥+∏ （7-33）
于是，大位移弹性理论的最小位能原理得到证明。

最小位能原理可叙述为：在满足大位移应变关系（7-12）式和边界条件中位移已给定的条件（7-21）式的所有允许的i u 和ij e 中，实际的i u 和ij e 必使弹性体的总位能
⎰⎰σ
--=∏V
S i i i i ij S u T V u F e A d d ])([I （7-34）
为最小值。

这里的应力应变关系应用（7-29）式。

这一原理与线性的最小位能原理相似，其差别只是采用了非线性的应变位移关系而已。

§7.3 大位移变形弹性理论的余能驻值定理
余能原理在大位移变形弹性体并不存在着极小值原理，而存在有余能驻值定理。

大位移变形弹性理论的余能原理可叙述为：在满足大位移变形的平衡方程（7-19）式及边界外力已给的边界条件（7-20）式的所有允许的i ij u ,σ中，实际的应力ij σ及位移i u 必使弹性体的泛函
⎰⎰σ+δ-σ+σ=∏u
S j kj k i ik i V ij j k i k ij S n u u V u u B d )(d ]2
1
)([,,,II （7-35）
为驻值。

)(ij B σ为余能密度，它满足
⎪⎭
⎪
⎬⎫=σ∂∂-σ=σij
ij
ij ij ij ij e B
e A e B )()( （7-36） 注意到该原理属于两变量变分原理，原因是应力分量和位移是偶合的，不能再单纯地用应力分量表达了。

下面我们将证明，使（7-35）式的泛函II ∏为驻值的ij σ和i u ，必将满足边界位移（7-21）式。

在证明中，我们引用了应力应变关系（7-36）式中的第二个式子，和应变位移关系（7-21）式。

对II ∏的变分式为
⎰⎰σ+-σ+σ+σσ∂∂=∏u
S j kj k i ik i V ij j k i k ij j k i k ij ij S
n u u V u u u u B d ])δ(δ[d )δδ21
δ(
δ,,,,,II （7-37）
156
利用了（7-36）式中的第二式及（7-12）式以后
ij
j k kj i k ij
j k i k i j j i ij j k i k ij ij u u u u u u u u B σ+=σ++=σ+σσ∂∂δ)δ(δ)2(21
δ21δ,,,,,,,,
而且，因为kj δ为一常数，所以（7-37）式第三项可化为
)δ(δδ,,,,j k kj ij i k j k ij i k u u u u +σ=σ （7-39）
所以，有
i
j k kj ij k i j k kj ij k j k kj ij i k j
k ij i k ij j k i k ij ij u u u u u u u u u u B ,,,,,,,,,,])δ(δ[}])(δ[{]
)δ(δ[δδ21
δ+σ-+δσ=+σ=σ+σ+σσ∂∂
（7-40）式中等号右侧第一项利用格林公式化简后的形式如
⎰⎰+δσ=+δσ
S
i j k kj ij k V
i j k kj ij
k
S n u u V u u d ])(δ[d }])(δ[{,,,
将上式代入（7-40）式后，II δ∏可进一步化简为
⎰
⎰
⎰+σ-+σ+
σ+-=∏u
S i j k kj ij k S
i j k kj ij k V
i ij j k kj k S
n u u S n u u V u u d ])δ(δ[d ])δ(δ[d ])δ[(δδ,,,,II 因为自变函数ij k u σ,满足平衡方程（7-19）式，而且i F 为不变的，故只有
0])(δ[,,=+δσi j k kj ij u （在V 内） （7-42）
另外，因为在σS 边界上，满足外力已知条件（7-20）式，所以只有
0,])δ(δ[,=+σi j k kj ij u （在σS 内） （7-43）
因为，u S S S +=σ，将（7-42）、（7-43）式代入（7-41）式，（7-41）式可化为
⎰+σ--=∏u
S j k kj ij k k S n u u u d ])δ(δ[)(δi ,II （7-44）
根据驻值条件0δII =∏，给出
0=-k k u u （7-45）
（7-45）式就是（7-21）式，也就是我们所需要证明的，于是以上余能驻值定理得到证明。

十分明显，当k u 是小位移时，从（7-35）式中略去高级小量，即是第四章的小位移最小余能原理。

以上证明可适用于线性与非线性弹性体。

（7-38）
（7-40）
（7-41）
157
§7.4 大位移非线性弹性理论的广义变分原理
我们也可以仿照小位移线性弹性理论一样，利用拉格朗日乘子法，导出大位移非线性弹性理论的有关的广义变分原理。

最小位能原理（见§7-2）泛函中的ij i e u ,必须满足应变位移关系（7-12）式和边界位移已知的条件（7-21）式。

设ij λ和i μ为拉格朗日乘子，于是，可导出无条件广义变分泛函为
⎰
⎰⎰⎰μ-+λ++-+
--=∏σ
*I u
S i i i V ij i k j k i j j i ij S i i V
i i ij S
u u V u u u u e S u T V u F e A d )(d )](21
[d d ])([,,,,
把i ij i ij u e μλ,,,当作独立变量进行变分，得
⎰⎰
⎰⎰μ+μ-+
--λ+-λ++-+λ+∂∂=∏σ
*I u
u
S i i S i i i S i i i i j k ij i k ki V
ij j k i k i j j i ij ij ij ij S
u S u u S u T V u F u u u u u u e e e A d δd δ)(d δd }δδ)δ(δ)](2
1
[δ){(
δ,,,,,,
其中，利用应力应变关系（7-29）式，有
ij ij ij ij
e A
λ+σ=λ+∂∂ （7-48） 其次，利用格林公式
⎰
⎰⎰λ+-
λ+δ=λ+-S
k j ij i k ki V
k j ij i k ki V
j k ij i k ki S
u n u V u u V u u d δ)δ(d δ],)[(d δ)δ(,,,,
其中j n 为表面外向法线单位矢量。

把（7-48）、（7-49）式代入（7-47）式得
d δ])δ[(d δ])δ[(d δ)(d δ}],)δ{[(d ]}δ)(21
[δ){(δ,,,,,,,=μ-λ+-
+λ+-μ--
-λ++
λ++-+λ+σ=∏⎰
⎰⎰⎰⎰σ
*I u
u
S k i j ij i k ki S k i j ij i k ki S i i i V
k k j ij i k ki V ij j k i k i j j i ij ij ij ij S u n u S u T n u S u u V u F u V u u u u e e
因为i k ij ij e μμλδδδδ，，，都是独立变分，由上式可得
（7-46）
（7-47）
（7-49）
（7-50）
158
0=λ+σij ij 在V 内
0)(2
1
,,,,=++-j k i k i j j i ij u u u u e 在V 内
0],)δ[(,=-λ+k j ij i k ki F u 在V 内 0==i i u u 在u S 内
0)δ(,=+λ+i j ij i k ki T n u 在σS 内 0)δ(,=μ-λ+i j ij i k ki n u 在u S 内 （7-51a,b,c,d,e,f ）
(7-51a ，f)给出了待定的拉格朗日乘子ij λ及i μ，即
j ij i k ki i ij ij n u σ+-=μσ-=λ)δ(,, （7-52）
其余各式满足应变位移关系（7-51b ），平衡方程（7-51c ），位移已给定的边界条件（7-51d ）和外力已给定的边界条件（7-51e ），即满足了（7-12）、（7-19）、（7-20）、（7-21）各式，推导过程中我们只引用了物理关系（7-29）式。

将（7-52）式代入（7-46）式，即得到广义变分原理的泛函。

于是，可得
变分原理*
I （基于最小位能原理导出的大位移非线性弹性理论的完全广义变分原理） 满足（7-12）、（7-19）、（7-20）、（7-21）式的解i ij ij u e ,,σ必使下述泛函*I ∏
⎰⎰⎰σ+δ----σ++--=∏σ
*I u
S j ij k i ik i i S i i V i i ij j k i k i j j i ij ij S
n u u u S u T V u F u u u u e e A d ))((d d })](21
[)({,,,,,
为驻值。

变分原理*
II （基于余能驻值原理导出的大位移非线性弹性理论的完全广义变分原理） 满足（7-12）、（7-19）、（7-20）、（7-21）式的解ij ij i e u σ,,必使下述泛函*∏
⎰⎰⎰σ
σ+--σ+-+σ++σ+σ=∏*S S i k jk j i ij i i k jk j i ij V
i i i k jk j i ij ij j k i k ij u
S
u n u S u T n u V u F u u u u B d )δ(d ])δ[(d }],)δ[(21
)({,,,,,
为驻值。

（7-54）式的证明可以按以下步骤进行。

上式的泛函是在（7-35）式的泛函基础上增加由拉格朗日乘子组成的附加部分而形成下面的泛函
⎰⎰⎰⎰μ-σ++λ+σ++
σ+-σ+σ=∏*u
u S i i k jk j i ij
V i i k jk j i ij
S k jk j i ij i V ij j k i k ij S
T n u V F u S n u u V u u B d ])δ
[(d }],)δ
{[(d )δ(d ]21
)([,,,,, 对（7-55）式中的i ij i ij u μλσ,,,取变分
（7-53） （7-54） （7-55）
159
S
n u S T n u V u V F u S n u u V u u u u B S k ij j i ij i S i i k jk j i ij V
k jk j i ij V
i i k jk j i ij S k jk j i ij i V
j k ij i k ij j k i k ij ij
ij u
d ])δ[(δd δ])δ[(d ,])δ[(δd δ}],)δ{[(d ])δ[(δd ]δδ2
1
δ)([
δ,,,,,,,,,⎰
⎰⎰⎰⎰⎰σ
*σ+μ+μ-σ++σ+λ+λ+σ++
σ+-
σ+σ+σσ∂σ∂=∏σ
上式等号右边第四个积分，利用分部积分可化为下式
V
u S n u V S n u V u j j k ij V
i S
j j k ij i V
jk k i S
k jk j i ij i V
k jk j i ij i d ,)δ(d )δ(d δd ])δ[(δd ,])δ[(δ,,,,,σλ+σλ-σλ-σ+λ=
σ+λ⎰⎰⎰⎰⎰
（7-56）式等号右边第一个积分中的第三项利用分部积分可化为
⎰
⎰
⎰⎰
σ-σ-
σ=σV
ij j k i k V
i ij j k k S
j j k ij k V
j k ij i k V u u V u u S n u u V u u d δd ,]δ[d )δ(d δ,,,,,,
将（7-57）式和（7-58）两式代入（7-56）式，经过整理可得下式
V
u u V F u S n u u S T n u S n u u S n u V u u e V
j j k ij i i V
i i k jk j i ij S
j j k ij i i S i i k jk j i ij S k jk j i ij i i S k jk j i ij i i V ij j k i k i j j i ij k
d ,)δ()(d δ}],)δ{[(d )δ()(d δ])δ[(d ])δ[(δ)(d ])δ[(δ)(d δ)](21
[δ,,,,,,,,,,⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰σ-λ+λ+σ++σλ--
μ-σ++σ+-λ+
σ+μ+λ+
σ+λ+λ-=∏σ
σ
*
取0δ=∏* ，因为i i i ij u λμσ,,,都是独立函数，相应的变分也是独立，故由（7-59）是为零的条件，并且由式中的第1、6、4项，可得
（7-56）
（7-57）
（7-58）
（7-59）
160
0)(2
1
,,,,=++-j k i k i j j i ij u u u u e （在V 内）
)δ(0],)δ[(,,=-σ+=+σ+i k jk j i ij i k jk j i ij T n u F u （7-60a,b,c ）
由（7-59）式的第二项，第五项及第七项可知拉格朗日乘子为位移，即
i i μ-=λ （在σS 上） （7-61） i i u =λ （在V 内和S 上） （7-62）
第三项给出了位移给定边界条件u i =λ，而（7-60a,b,c ）分别得到应变位移关系，平衡方程和力给定的边界条件。

显然，以上为无条件的完全变分原理，问题证毕。

将（7-61）、（7-62）式代入（7-55）式，即可求得泛函（7-54）式。

现在让我们证明大位移问题两个广义变分原理的等同性。

从（7-53）、（7-54）式，有
⎰⎰⎰⎰σ+-σ+δ=σ+-
σ++σ+=∏+∏+*
*I σS
i k jk j i ij
V
k
i
kj
j
i ij
S S i
k
jk
j
i ij
V
i k ik j i ij ij j k i k j i S
u n u V u u S
u n u V u u u u u u
d ])δ
[(d ],)[(d ])δ[(d }],)δ[(){(,,,,,,,
利用格林公式上式等号右边第一个积分可化为
⎰⎰
σ+=σ+S
i k jk j i ij V
k i kj j i ij S u n u V u u d ])δ[(d ],)δ[(,,
所以*
*
I ∏+∏II ＝0，这只是形式上的差别，实质上是解决相同物理问题的两个相同的泛函（只差一个符号）。

所以，对完全的广义变分原理来说，基于位能和基于余能的广义变分原理，因为其满足等同原理，两者无本质上的差别，这一概念是十分重要的，有时，对两种形式的泛函统称为广义变分原理泛函，而在形式上可指明以“位能形式”和以“余能形式”表示而已。

利用了（7-36）式第一式后，我们可以分别从*
I ∏导出*
*I ∏，从*
∏II 导出*
*II ∏，即
⎰⎰⎰σ+----σ+++σ-=∏σ
*
*I u
S j kj k i ik i i S i i V
i i ij j k i k i j j i ij S
n u u u S u T V u F u u u u B d )δ)((d d ])(21)([,,,,,
⎰
⎰⎰σ+-
-σ+-+σ++σ+-σ=∏σ
*
*u
S i k jk j i ij S i i k jk j i ij i i i k jk j i ij ij j k i k ij ij
ij S
u n u S u T n u V u F u u u u e A e d )δ(d ])δ[(d }],)δ[(2
1)({,,,v ,,II 以上四个广义泛函并没有本质上的差别，只是*
I ∏和*
*∏II 是以位能形式（)(ij e A ）表示，
（7-63）
（7-64） （7-65）
161
而*∏II 和*
*∏I 是以余能形式（)(ij B σ）表示。

前者独立变量为,,,ij ij i e u σ而后者独立变量
为ij i u σ,。

§7.5 大位移变形弹性理论的不完全的广义变分原理
对于大位移变形弹性理论也存在各种不同的不完全的广义变分原理，它们的泛函都可以通过拉格朗日乘子法来完成，也可以从广义位能原理和余能原理中追加变分条件来完成。

1、大位移非线性弹性不完全广义位能变分原理
变分原理IA ：在满足给定位移的边界条件（7-21）式的所有允许的ij ij i e u σ,,中，实际的ij ij i e u σ,,必使下列广义泛函为驻值
--σ++--=∏⎰V i i ij j k i k i j j i ij ij V u F u u u u e e A d })](2
1
[)({,,,,IA
⎰
σ
S i i S u T d （7-66）
[证明] 泛函对自变量之一i u 只要求满足位移边界，即i i u u =（在S u 上），显然
0δ=i u （在S u 上） （7-67）
现在用拉格朗日乘子ij λ将应变位移关系引入泛函，于是形成以下泛函
⎰⎰⎰λ++-+
--=∏σ
V ij j k i k i j j i ij S i i V
i i ij V
u u u u e S u T V u F e A d )](21
[d d ])([,,,,IA
IA ∏的变分为
⎰⎰⎰⎰+-λλ++-+
--∂∂=∏σ
V
j k i k ij ij ij V ij j k i k i j j i ij S i i V
i i ij ij
ij V
u u u e V u u u u e S u T V u F e e e A d )]δδ(δ[d ]δ)(21[d δd ]δδ)([
δ,,,,,,IA
引用了（7-29）式，上式可化为
⎰⎰
⎰⎰⎰+λ-λ+λ++-+
--σ=∏σ
V
j k i k ki ij V
ij ij V ij j k i k i j j i ij S i i V
i i ij ij V
u u V e V u u u u e S u T V u F e d δ)δ(d δd δ)](21[d δd )δδ(δ,,,,,,IA
（7-69）式等号右边末项利用格林公式又可以化为
（7-68）
（7-69）
162
⎰
⎰⎰+λ+
+σ-=+λ-V
k j i k ki ij S
k j i k ki ij V
j k i k ki ij V u u S u n u V u u d δ)],δ([d δ)δ(d δ)δ(,,,,
（7-70）式等号右侧第一个积分为周边S 积分。

而u S S S +=σ，引用（7-67）式，显然（7-70）
式可写为
⎰
⎰⎰+λ+
+λ-=+λ-σ
V
k j i k ki ij S k i k ki ij V
j k i k ki ij V
u u S u u V u u d δ)],δ([d δ)δ(d δ)δ(,,,,
把（7-71）式代入（7-69）式中，经过整理后可得下式
⎰⎰
⎰⎰λ++-+
++λ-
+λ+--λ+σ=∏σ
V ij j k i k i j j i ij S k i i k ki ij V
i i j ij i k ki V
ij ij ij V
u u u u e S u T u V u F u V e d δ)](21
[d δ])δ([d δ}],)δ[({d δ)(δ,,,,,,IA 根据0δIA =∏的条件，且ij ij i e u λδ,δ,δ都是独立变分，所以得 (a) 0=λ+σij ij ，即ij ij σ-=λ （在V 内） (b) 0],)δ[(,=+σ+i j ij i k ki F u （在V 内） (c) i j ij i k ki T n u =σ+)δ(, （在σS 内）
(d) 0)(2
1
,,,,=++=
j k i k i j j i ij u u u u e （在V 内） （7-73a,b,c,d ） 上式（b ）、（c ）、（d ）中均引用了（a ）的结果。

显然（7-73）式中（a ）表示ij ij σ-=λ，
（b ）为平衡方程，（c ）为在给定力的边界上力的边界条件，（d ）为应变位移关系式。

于是证明了IA 的不完全变分原理。

将（7-73a ）式得到的ij ij σ-=λ代入（7-68）式即得到（7-66）式。

我们将不加证明地给出下面几个不完全广义变分原理。

变分原理IB ：在满足大位移应变关系（7-12）式的所有允许的ij ij i e u σ,,中，实际的
ij ij i e u σ,,必使下列广义泛函为驻值
⎰
⎰⎰σ+--
--=∏σ
u
S k jk j i ij i i S i i V
i i ij S
n u u u S u T V u F e A d )δ)((d d ])([,IB
变分原理IC ：在满足位移边界中的一个给定位移边界如011=-u u 的所有允许的
ij ij i e u σ,,须使下列广义泛函为驻值
（7-70）
（7-71） （7-72）
（7-74）
163
⎰⎰⎰σ+----σ++--=∏σ
u
S k ik i j ji S i i V i i ij j k i k i j j i ij ij S
n u u u S u T V
u F u u u u e e A d )δ)((d d })](21
[)({,22,,,,IC
变分原理ID ：在满足一个应变位移关系式如1,1,1,11122k k u u u e +=的所有允许的
ij ij i e u σ,,中，实际的ij ij i e u σ,,必使下列广义泛函为驻值
⎰
⎰⎰σ+----σ+-+
σ++--=∏σ
u
S j ij i k ki i i S i i i i k k V ij j k i k i j j i ij ij S
n u u u S u T V u F K u u e u u u u e e A d )δ)((d d })]2(2
1
[)](2
1
[)({,111,1,1,111,,,,ID
还有的不完全广义变分原理，满足一部分应变位移关系式或满足一部分已知的位移边界条件等等，这里不再一一列出。

2、大位移非线性弹性不完全广义余能变分原理
变分原理ⅡA ：在满足边界外力已知的条件（7-20）式的所有允许的ij i u σ,中，实际的ij i u σ,j 必使下列广义泛函为驻值
⎰⎰σ+-+
σ++σ+σ=∏u
S i j kj k i ik i i V i j kj k i ik ij j k i k ij S
u n u V u F u u u u B d )δ(d }],)δ[(21
)({,,,,IIA
[证明] 因为ij i u σ,满足力的边界i j kj k i ik T n u =σ+)δ(,（在σS 上），所以有
0])δ[(δ,=σ+j kj k i ik n u （7-78）
首先，利用拉格朗日乘子法，将平衡方程（7-19）式作为约束方程用拉格朗日乘子引
入到原有的余能泛函（7-35）式中，组成如下的泛函
()
⎰
⎰⎰λ+σ++
σ+-
σ+σ=∏-V
i i j kj k i ik S i j kj k i ik V ij j k i k ij V
F u S u n u V u u B u
d }],)δ{[(d )δ(d ]2
1)([,,,,IIA
（7-79）式的变分为
+
σ+-σ+σ+σσ∂σ∂=∏⎰
⎰u
S i j kj k i ik V
j k ij i k ij j k i k ij ij ij S u n u V u u u u B d ])δ[(δd ]δδ21
δ)
([
δ,,,,,IIA
㈠ 该式编者作了修改，与原著有别（增加了ij j k i k u u σ,,21项）。

下面的（7-86）式类同。

（7-75）
（7-76）
（7-77） （7-79）
164
+λ+σ+⎰S
i i j kj k i ik S F u d δ}],)δ{[(, ⎰
λσ+V
i j kj k i ik V u d ],)δ[(δ, （7-80）
利用格林公式，上式等号右侧第一个积分中的第三项和最后一个积分可化为
⎰
⎰
⎰⎰σ-σδ-
σ=σV
ij j k i k V
j ij i k k S
j i k ij k V
i k ij j k V u u V u u S n u u V u u d δd ),(d )(δd δ,,,,,,
⎰
⎰⎰
⎰⎰σλ+σλ-σλ-σ+λ=σ+λV
j kj k i i S
j kj k i i V
kj j i S
j kj k i ik V
j kj k i ik i V u S n u V S n u V u d ,)δ(d )δ(d δd ])δ[(δd ],)δ[(δ,,,,i ,
将（7-81）、（7-82）式代入（7-80）式，并利用（7-78）式和（7-36）式第二式，经过整理
并移项后，可得
⎰
⎰⎰⎰⎰λ+σ++σ-λ+σλ-+
σ+-λ+
σ+λ+λ-=∏V
i i j kj k i ik V
j kj i k i i S
j kj k i i i S j ij k i ik i i V ij j k i k i j j i ij V
F u V u u S n u u S n u u V u u e u d δ}],)δ{[(d ),(δ)(d )(δ)(d ])δ[(δ)(d δ)](2
1
[δ,,,,,,,,IIA
上式等号右侧第一个积分是由下式得到
⎰⎰σ+λ+λ-=
σ+λ-V ij j k i k i j j i ij V ij j k i k j i ij V
u u e V u u e d δ)](21
[d δ)]2(21[,,,,,,,
根据（7-83）式，取0δIIA =∏时，i ij i u λσδ,δ,δ都是独立变分，所以，得 （a ） 0)(2
1
,,,,=+λ+λ-j k i k i j j i ij u u e （在V 内） （b ） 0=-i i u λ （在u S 上）
（c ） 0=-i i u λ
（在S 上）
（d ）
0=-i i u λ （在V 内）
（e ） 0],)δ[(,=+σ+i j kj k i ik F u （在V 内） （7-85a,b,c,d,e ）
（7-81）
（7-82）
（7-83）
（7-84）
165
上式（c ）、（d ）两式给出了拉格朗日乘子代表位移，（a ）式是应变位移关系式，（e ）式为平衡方程，（b ）式为位移给定的边界条件。

将上式（c ）、（d ）代入（7-79）式，即得到（7-77）式。

因此，IIA ∏的泛函得到证明。

变分原理ⅡB ：在满足平衡方程（7-19）式的所有允许的ij i u σ,中，实际的ij i u σ,必使下列广义泛函为驻值
()
--σ+-σ+σ=∏⎰⎰σ
-S i i j ij k i ik V ij j k i k ij S u T n u V u u B d ])δ[(d )]2
1([,,,IIB
⎰
σ+u
S i j kj k i ik S u n u d )δ(, （7-86）
证明上式并不困难，我们可以取拉格朗日乘子i λ，将给定力的边界条件作为约束条件，组成新的泛函如下：
-λ-σ++σ+σ=∏⎰⎰σ
S i i j kj k i ik V ij j k i k ij S T n u V u u B d ])δ[(d ]2
1
)([,,,IIB
⎰
σ+u
S i j kj k i ik S u n u d )δ(, （7-87）
对（7-87）式取变分
+
λ-σ++σ+-σ+σ+σσ∂∂=∏⎰⎰
⎰σ
S i i j kj k i ik S j kj k i ik i V
ij j k i k ij j k i k ij ij S T n u S n u u V u u u u B u
d δ])δ[(d ])δ[(δd ]δδ2
1
δ)[(
δ,,,,,,IIB
⎰σ
σ+λS j kj k i ik i S n u d ])δ[(δ, （7-88）
（7-88）式等号右侧最后一个积分可以化为下式
-σ+λ=σ+λ⎰⎰
σ
S
j kj k i ik i S j kj k i ik i S n u S n u d ])δ[(δd ])δ[(δ,,
⎰
σ+λu
S j kj k i ik S n u d ])δ[(δ,i （7-89）
（7-89）式等号右侧第一个积分又可化为下式
+σ+λ=σ+λ⎰⎰
V
kj k i ik j i S
j kj k i ik i V u S n u d ])δ[(δd ])δ[(δ,,,
⎰
σ+λV
j kj k i ik i V u d ],)δ([δ, （7-90）
因为i ij i u λσ,,满足平衡方程0],)δ[(,=+σ+i j kj k i ik F u 的条件，所以
0,])δ[(δ,=σ+j kj k i ik u （7-91）
根据上式，则（7-90）式可化为
⎰⎰
σ+λ=σ+λV
kj k i ik j i S
j kj k i ik i V u S n u d ])δ[(δd ])δ[(δ,,,
⎰⎰⎰σλ-σλ+σλ=V
j kj k i i S
j kj k i i V
ij j i V u S n u V d ),(δd )(δd δ,,, （7-92）
166
而（7-88）式等号右侧第一个积分中的末项，又可以化为
-σ=σ⎰⎰
S
j j k ij k V
ij j k i k S n u u V u u d )(δd δ,,,
⎰⎰
σ-σV
ij j k i k V
i ij j k k V u u V u u d δd ),δ(,,, （7-93）
把（7-92）式代入（7-89）式，再与（7-93）式一起代入（7-88）式，并引用（7-36）第二式，经过整理后，可化为下式
-
σ+λ+
λ-σ++
σ++λ-
σ+λ+λ-=∏⎰
⎰⎰⎰σ
S
j kj k i i i S i i j kj k i ik S j kj k i ik i i V ij j k i k i j j i ij S n u u S T n u S n u u V u u e u
d ]δ[)(d δ])δ[(d ])δ[(δ)(d δ)](2
1
[δ,,,,,,,IIB
⎰
σ+λV
j kj k i i i V u u d ],[δ)(, （7-94）
当取0δIIB =∏时，因为i ij i u λσδ,δ,δ都是独立变分，故有
（a ） 0)(2
1
,,,,=+λ+λ-
j k i k i j j i ij u u e （在V 内） （b ） 0)δ(,=-σ+i j kj k i ik T n u （在σS 上） （c ） 0=λ+i i u （在S 上） （d ） 0=+λi i u （在V 内）
（e ） 0=+λi i u （在u S 上） （7-95a,b,c,d,e ） 显然，上式中（a ）、（b ）分别表示应变位移关系和力给定的力的边界条件，（c ）、（d ）表示乘子i λ等于负的位移，（e ）表示位移给定的位移边界条件。

现在将（7-95）式（c ）、(d)式代入（7-87）式中，即可得到（7-86）式。

以上问题得到证明。

变分原理ⅡC ：在满足一个外力已知的条件如1,11)δ(T n u j kj k k =σ+的所有允许的
ij i u σ,中，实际的ij i u σ,必使下列广义泛函为驻值
-
-σ+--
σ++σ+σ=∏⎰⎰σ
S j kj k k i i V i j kj k i ik ij j k i k ij S u T n u V u F u u u u B d ])(δ[d }],)δ[(21
)({22,22,,,IIC ⎰
σ+u
S i j kj k i ik S u n u d )δ(, （7-96）
变分原理ⅡD ：在满足一个平衡方程如0],)δ[(1,11=+σ+F u j kj k k 的所有允许的ij i u σ,中，实际的ij i u σ,必使下列泛函为驻值
167
-
-σ+--
σ++σ+σ=∏⎰⎰σ
S i i j kj k i ik V k ik i i ij j k i k ij S u T n u V u F u u u u B d ])δ[(d }],)δ[(21
)({,222,22,,IID ⎰
σ+u
S i j kj k i ik S u n u d )δ(, （7-97）
还有其它情形的不完全广义余能泛函，此处就不一一列举了。

除了上述的变分泛函外，尚有大位移变形非线性弹性理论的分区完全或不完全（有的专著称为无条件或部分条件）广义变分原理，其实质上与小位移情形有些类似，同样这里也是由于非线性应变位移关系引起的某些物理量之变化。

限于篇幅，这里不再介绍，读者可参阅文献[1]。

§7.6 弹性动力学问题的变分原理
对于弹性体动力学问题，所有位移i u ，应变ij e 和应力ij σ，都是空间坐标)3,2,1(=i x i 和时间坐标t 的函数，即
⎪
⎭
⎪
⎬⎫σ=σ==),,,(),,,()
,,,(321321321t x x x t x x x e e t x x x u u ij ij ij ij i i （7-98）
而体积力i F 一般也可以是时间坐标t 的函数，即
),,,(321t x x x F F i i = （7-99）
物体的单元体积V d 在运动时，除了受体积力V F i d 作用外，还受到惯性力)d d (22t u i ρ-的作用，其中),,,(321t x x x ρ=ρ为物体的密度。

对于弹性体的平衡方程（4-1）式或（7-19）式应该改写为动力方程
0d d 22,=ρ-+σt
u F i
i j
ij （小位移时） （7-100）
0d d ],)δ[(22,=ρ-+σ+t
u F u i
i j kj k i ik （大位移时） （7-101）
其它关系如旧，如
（A ）小位移问题 （1）应变位移关系为
)(2
1
,,i j j i ij u u e +=
（7-102） （2）应力应变关系
ij ij
e A
σ=∂∂ （7-103）
168
kl ijkl ij e a =σ （各向异性） （7-104） ij ij kk ij e e μ+λ=σ2δ （7-105）
或用应力表示应变
ij ij
e B
=σ∂∂ （7-106） kl ijkl ij b e σ= （7-107）
ij kk ij ij E
E e δ1σν-σν+= （7-108）
（3）边界条件
i j ij T n =σ （在σS 上） （7-109） i i u u = （在u S 上） （7-110）
（B ）大位移问题
（1）应变位移关系式
)(2
1
,,,,j k i k i j j i ij u u u u e ++=
（7-111） （2）应力应变关系与小位移时相同。

（3）边界条件
i j kj k i ik T n u =σ+)δ(, （在σS 上） （7-112） i i u u = （在u S 上） （7-113）
在动力学问题中，还必须知道物体在某一时刻的位移和速度，才能使解唯一地确定，这个条件就是动力学问题的初始条件。

一般的，把已知初始值的时间取为0=t ，则初始条件可表示为
在0=t 时：00i i i
i i u u t
u u u ==∂∂=，
（7-114） 式中0i u ，0i u
是已知的z y x ，，的函数。

如果把一个系统看作是能量守恒系统，位能泛函可以写为
⎰⎰σ
--=S i i V
i i ij S u T V u F e A U d d ])([ （7-115）
动能应该是
⎰ρ=
V i i V dt
u dt u T d )d )(d (21 （7-116） 作用量为
⎰⎰σ
++-ρ=-=S i i V i i ij i i S u T V u F e A t
u
t u U T L d d ])()d d )(d d (21[ （7-117）
169
它也称为拉格朗日函数。

最小作用量定理要求
0δ=∏， ⎰=∏2
1
d t t t L （7-118）
这里的i u 在1t t =和2t t =两个积分限假定是已给定的，即
⎭
⎬⎫======0)(δ0)(δ222111t u u u t t t u u u t t i i i i i i 或时：在或时：在 （7-119）
所以，弹性动力学的哈密顿（Hamilton ）原理为：
在边界u S 上满足给定边界位移（7-110）式或（7-113）式，在V 内满足应变位移关系（7-102）式和（7-111）式，在1t t =和2t t =时满足限定条件（7-119）式的条件下，使泛函
⎰⎰⎰σ
++-ρ=∏21d }d d ])()d d )(d d (21[{t t V S i i i i ij i i t S u T V u F e A t
u
t u （7-120）
为极值的i u 必导出问题的正确解。

即必可导出满足动力学方程的（7-100）式或（7-101）式和边界外力已知的条件（7-109）式和（7-112）式的i u 。

П的变分极值给出
⎰
⎰⎰⎰σ
++σ-21
d }d δd δd δδ{t t S i i V
i i V
ij ij t S u T V u F V e T （7-121）
上式也称为弹性动力学的虚功原理。

现在让我们考虑问题的一个近似解。

设
),,.........,;,,(21321t q q q x x x u u n i i = （7-122）
其中n q q q ,,,21 为时间函数，也称为广义坐标。

而且不论n q q q ,,,21 是多少，i u 一定
满足u S 上的位移已给定的边界条件。

从（7-122）式，我们得到
∑=∂∂+∂∂==n
k i k k
i i i t u q
q u t u u 1d d （7-123） ∑=∂∂=n
k k i
i i q q u u 1δδ （7-124）
将（7-123）式和（7-124）式代入（7-116）式和)(ij e A 中，我们就可以用k q
和k q 来表示拉格朗日函数为
⎰-=*V
ij V e A T L d )( （7-125）
对*
L 取
⎰
∑⎰
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==*
**
21
21
d δδd δ1t t n k k k k k
t t t q q L q q L t L
170
⎰
∑⎰∑∑=*
*
=**
*⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=21
21212
1d δd d d δd d |δ11t t k n k k k
t t k n k k k
t t t t k k t
q q L q L
t t
q q L q L t q q L （7-126）
这里我们已经使用了积分限定条件（7-119）式，即
0)(δ)(δ21==t q t q k k （n k ,,2,1 =） （7-127）
如果引进广义力k Q ，并定义广义力k Q 为
∑⎰⎰
==+σ
n
k k k S i i V
i i q Q S u T V u F 1
δd δd δ （7-128）
由上式，可以得到
0δd d 1=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-∂∂+∂∂∑⎰⎰=σk n
k k S k i
i V k i i q Q S q u T V q u F （7-129） 因为k q δ都是独立的，因此有
⎰⎰σ
∂∂+∂∂=S k
i i V
k i i
k S q u
T V q u F Q d d （7-130）
将（7-126）式和（7-128）式代入（7-121）式，得
0d δd d 21
1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎰
∑=*
*
t t k n
k k k k
t q Q q L q L t （7-131）
根据变分预备定理，可以得到n 个独立的弹性体拉格朗日运动学方程
0d d =-∂∂-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂*
*k k k Q q L q L t （n k ,,2,1 =） （7-132）
这个关系式适用于大位移理论和小位移理论，它是研究颤振的基本动力学方程式。

（7-120）式的泛函是在已给定边界位移i i u u =和应力应变关系（7-102）式或（7-111）
式条件下的变分原理。

显然，这是有条件的变分原理。

如果利用了拉格朗日乘子后，通过变分，也可以化为弹性动力学广义变分原理，该原理可以写成：
在1t t =和2t t =时，i u 是已给的条件下，弹性体动力学的ij ij i e u σ,,的正确解，必使泛函
+
++-σ+
+-ρ=∏⎰⎰V u u u u e u F e A t
u
t u j k i k i j j i ij ij t t V i i ij i i d )](2
1
[)(d d d d 21[{,,,,2
1
171
t S u u n u S u T u
S i i j kj k i ik S i i d }d )()δ(d ,⎰⎰
-σ++σ
（7-133）
为驻值。

或可以写成：
在1t t =和2t t =时，i u 是已给的条件下，使（7-133）式中的广义泛函达到驻值的
ij ij i e u σ,,必满足（1）动力学方程（7-101）式，
（2）应力应变关系（7-103）式，（3）应变位移关系（7-111）式，和有关边界条件（7-112）式和（7-113）式。

若略去（7-133）式中的非线性项，即可简化为小位移变形动力学的泛函。

值得指出的是，哈密顿原理族不是考虑弹性体动力学的初值问题，而是考虑时间上的边值问题，即不用初始条件（7-114）式，而用边值条件（限定条件）（7-119）式。

可以说，哈密顿原理族关心的是在t 瞬间运动方程和边界条件的推导，而初始条件并未作严格的考虑。

从这个意义上说，哈密顿原理及其有关的变分原理中，没有一个能完整地定义弹性体动力学问题。

工程中的动力学问题常常不是哈密顿原理中考虑的问题。

因此哈密顿原理很难直接用于具体的工程问题，其主要的用途在于推导运动方程，和其它理论方面的应用。

哈密顿原理和虚功原理常常被用到涉及动力响应问题的有限元素法的数学公式推导中。

把所研究的弹性体划分未若干个有限元素的集合体，并应用哈密顿原理求得一组线性代数方程，这组方程写成矩阵形式如下
}{}]{[}]{[}]{[F q K q C q
M =++ （7-134） 式中][M 、][C 和][K 分别是质量、阻尼和刚度矩阵，}{q 是结点位移向量，}{F 是外载
荷向量。

方程（7-134）可以用模态叠加法或逐步积分法求解。

详细内容可查阅有关文献。

弹性动力学问题的其它变分原理，可进一步参阅文献[2,3]的相关内容。

思考题及习题
7-1 余虚功原理和最小余能原理在小位移弹性理论中起着重要的作用，可是将其推广到大位移弹性理论却未获得成功，原因何在？
7-2 从基于最小位能原理导出的完全广义变分原理的泛函（7-53）中，试通过消去应变分量ij e ，导出大位移变形弹性理论的Hellinger-Reissner 原理的泛函
⎰⎰⎰-σ+---σ-σ++=∏σ
*u
S i i k jk j i ij S i i V i i ij ij j k i k i j j i S
u u n u S u T V u F B u u u u )d ()δ(d d ])()(21
[,,,,,R
式中经受变分的独立量是i u ,ij σ，而没有约束条件。

7-3 参考（7-46）式的证明，并注意到限定条件0)(δ)(δ21==t u t u i i ，证明弹性动力学广义变分原理。