定积分的简单应用(教学设计)

§1.7定积分的简单应用

教学目标

1.会利用定积分的几何意义求定积分的值，通过数形结合的思想

方法，加深对定积分几何意义的理解;

2.会用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积;

3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用;

重难点：求多条曲线围成的分割型图形的面积，将几何问题

和物理问题转化为定积分问题

一、复习回顾

1.微积分的基本思想

2.微积分基本定理--------牛顿－莱布尼茨公式

利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是_____________

3.定积分的几何意义：____________

4.微积分的性质

(1) ______________________ (2) ______________________

(3) ______________________ (4) ______________________

思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值.

图1 图2 _______________________ ________________________

图3 图4 _______________________ ________________________

归纳

定积分()b

a f x dx ⎰的几何意义

它是介于x 轴、函数()f x 的图象及________________________之间的各部分面积的_________(在x 轴上面的____________，在x 轴下面的____________).

二、自主探究

探究一：定积分的计算

例1．(1)若0,a > 则

0=⎰____________

(2)10)x dx =⎰____________

练习：(1)sin xdx ππ-=⎰______ (2) 2

2

cos xdx π

π-=⎰________ (3)20cos xdx π=⎰ _________ 探究二：求面积

例2.计算由曲线y =，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.

练习1（课本变式题）：

计算由曲线22y x = ，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.

练习2.计算由曲线36y x x =- 和2y x =所围成的图形的面积.

例3．已知抛物线22y x x =-及直线0,,0x x a y === 围成的平面图形的面积为43 ,求a 的值.

探究三：物理学方面的应用

微积分在物理方面的应用十分广泛，中学阶段主要掌握求物体的路程（位移）、变力作功等问题

例1.一物体的运动速度随时间的变化关系为32()2532,V t t t t =-+-则该物体在0至3秒, 的位移和路程分别为多少？

例2. 如图，在弹性限度内，倔强系数为k,将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L 米处，求克服弹力所作的功．

练习：一物体从0至1小时内运动的速度（千米/小时）随时间t （小时）

的关系式为12)(2+-=t t t V

（1） 求这1个小时该物体所走的路程S ；

（2）问该物体从开始运动经历多长的时间走过一半路程.

三、课堂小结

求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:

(1)画草图;

(2)求曲线的交点定出积分上、下线;

(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的;

(4)写出定积分并计算.

四、训练案

1．求下列曲线所围成的图形的面积:

(1)2,23;y x y x ==+ (2),,0;x y e y e x ===

(3)求由抛物线28(0)y x y => 与直线60x y +-= 及0y =所围成的图形的面积.

2． 抛物线24y x =-与直线3y x =的两个交点为,A B ，点P 在抛物弧上从A 向B 运动

(1)求使△PAB 的面积为最大时P 点的坐标(,)a b ;

(2)证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x a =分为面积相等的两部分.

3.求)0(321lim 1

>+++++∞→p n n p p

p p p n