(3)讲义参数估计
经济学中效用函数的
矩估计法
定义
矩估计法是一种利用样本矩来估计总体参数的方法。它通过比较样本矩和总体矩的关系来估计总体参数。矩估计法的一个主要优点是它不需要知道数据的分布 假设，因此可以用于任何类型的数据。
优点
矩估计法的优点包括：简单易行、不需要知道数据的分布假设、可以用于任何类型的数据。此外，在某些情况下，矩估计法的解具有唯一性。
要点二
单调递减
如果对于所有的商品组合X和Y，只要X中的商品总价值 低于Y，那么消费者对于X的效用也低于Y。
03
效用函数的应用场景
消费者选择理论
01
描述消费者的偏好
效用函数能够量化描述消费者的 偏好，为研究消费者行为提供依 据。
02
消费者选择模型
基于效用函数构建消费者选择模 型，解释消费者如何在有限的资 源下做出最优的购买决策。
最大似然估计法
定义
优点
缺点
最大似然估计法是一种参数估计方法 ，它通过找到一组参数值，使得模型 预测的结果与实际观察到的数据之间 的似然性最大。换句话说，它试图找 到最有可能产生观察数据的参数值。
最大似然估计法是一种强大的参数估 计方法，因为它可以充分利用已知的 数据信息，并且对于大多数分布假设 ，其估计量是渐近正态的，这意味着 随着样本大小的增加，估计量的精度 也会提高。此外，最大似然估计法还 可以方便地处理缺失数据和异常值。
03
凸函数
一种常见的效用函数，其形式为U(x) = e^(ax)，其中a为常数。凸函数
的特点是随着商品数量的增加，效用值的增加速度逐渐加快。
02
效用函数的基本性质
偏好关系
完全偏好关系
如果消费者对于所有的商品组 合A和B，都更偏好A，那么我 们称A在偏好关系中完全优于B
SPSS讲义05总体参数的估计
§5.3 区间估计
• 两个总体均值估计量的样本均值分别 为170.56和165.60,样本标准差分别为 6.97857 和 7.55659 ； 还 得 到 均 值 的 置 信 区 间 分 别 是 <168.5767, 172.5433>,<163.4524, 167.7476>.
用计算机可以很容易地得到挂面重量的 样本均值、总体均值的置信区间等等. 下面是SPSS的输出：
Descriptives（ 描 述 统 计 量 ）
结果变量 统计量
weight
Mean（ 样 本 均 数 ）
统计 量值 449 .0104
标准 误差 .794 35
95% Confidence Interval for MLeoawner B ound（ 下 限 ） （ 总 体 均 数 的 95%可 信 区 间 ）
§5.4 关于置信区间的注意点
• 一个描述性例子：有10000个人回答的调查 显 示 , 同 意 某 观 点 人 的 比 例 为 70%〔 有 7000 人同意〕,可算出总体中同意该观点的比例 的95%置信区间为〔0.691,0.709〕；
• 另一个调查声称有70%的比例反对该种观点, 还说总体中反对该观点的置信区间也是 〔0.691,0.709〕.
§5.1 用估计量估计总体参数
• 点估计<point estimation>,即用估计 量的实现值来近似相应的总体参数.
• 区间估计<interval estimation>；它 是包括估计量在内〔有时是以估计量 为中心〕的一个区间；该区间被认为 很可能包含总体参数.
2014年自考 概率论与数理统计串讲讲义 第七章 参数估计
第七章 参数估计1．矩法估计：矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量设X 为总体，μ=EX ，2σ=DX ，n x x x ,,,21 为其样本则μ的矩估计 x =μˆ 2σ的矩估计 2122)(1ˆ∑=-==ni i n x x n S σ例1 设总体X ～),(2σμN ，其中2,σμ皆未知，n x x x ,,,21 为其样本，求2,σμ的矩估计解：因为μ=EX ，故x =μˆ 2σ=DX ，故22ˆn S =σ例2 设总体X ～),0(θU ，0>θ未知，求θ的矩估计 解：因为2θ=EX ，故x =2θ（矩法方程），由此解得x 2ˆ=θ，即为θ的矩估计例3 设总体X ～),1(P B ，其中10<<P ，未知n x x x ,,,21 为其样本，求P 的矩估计解：由P EX =，故P 的矩估计x P=ˆ2．极大似然估计设总体X ，具有概率密度函数);(θx f ，∈θ○H 其中θ为未知参数，其变化范围为○H ，n x x x ,,,21 为其样本，则似然函数为ni i x f L 1);()(==θθ若存在L θˆ使ˆ()max LL θ=｛∈θθ),(L ○H ｝，则称L θˆ为θ的极大似然估计 一般求法：①由题设，求出 ni ix f L 1);()(==θθ的表达式②取对数：1ln ()ln (;)nii L f x θθ==∑ *③求导并令其等于0，建立似然方程ln ()0dL d θθ= * ④解之即得θ的极大似然估计2ˆθ例4 设n x x x ,,,21 是总体X 的样本，总体概率密度为)1(,,01,);()1(>⎪⎩⎪⎨⎧>=+-θθθθ其他x x x f求θ的矩估计1ˆθ和极大似然估计2ˆθ解：（1）由x dx xx EX =-=⋅=+-+∞⎰ˆ1)1(1θθθθ 解得1ˆ1-=x xθ为θ之矩估计 （2）似然函数∏∏∏=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===ni ni i n ini ix xx f L 1)1(1)1(1);()(θθθθθθ1ln ()ln (1)ln n i i L n x θθθ==-+∑ *∑==-=ni i x n d L d 10ˆln )(ln θθθ 解得θ的极大似然估计∑==ni ixn12ln ˆθ例5 设总体X ～),0(θU ，0>θ，n x x x ,,,21 为其样本，求θ的极大似然估计θˆ 解： 由于按常规方法建立的似然方程无解，故用极大似然估计的定义解之设{}n x x x n x ,,,m ax )(21 = 欲使似然函数nni i x f L θθθ1);()(1==∏=达最大，取)(ˆn x =θ即可［注］⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,,,0,1)(21θθθn n x x x L3．估计量的评价标准（1）无偏性：若θθ=ˆE ，则θˆ为θ的无偏估计（2）有效性：若1ˆθ、2ˆθ皆为θ之无偏估计，且D 21ˆˆθθD <，则称1ˆθ较2ˆθ有效 （3）相合性：若θ的估计量),,(ˆˆ1n n x x θθ=满足θθ=∞→n n E ˆlim ，0ˆlim =∞→n n D θ，则称nθˆ为θ之相合估计4．参数的区间估计设总体X ～),(2σμN ，n x x x ,,,21 为其样本 则μ的置信度)1(α-的区间估计为 （1）2σ已知时；⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2/2/,αασσu n x u nx （2）2σ未知时；⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--)1(),1(22n t n sx n t ns x αα （见书中P.162表）例6 设总体X ～),(2σμN ，且212,12,4===n x σ，则μ的0.95置信区间为[]653.12,347.1196.1124122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±ασu n x［注］请查看教材中正态总体参数的区间估计一览表。
参数估计与非参数估计的联系与区别
参数估计与非参数估计的联系与区别参数估计要求明确参数服从什么分布，明确模型的具体形式，然后给出参数的估计值。
根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
和参数估计不同，非参数估计并不加入任何先验知识，而是根据数据本身的特点、性质来拟合分布，这样能比参数估计方法得出更好的模型。
非参数估计对解释变量的分布状况与模型的具体形式不做具体规定，运用核密度函数与窗宽去逐步逼近，找出相应的模型。
统计学中常见的一些典型分布形式不总是能够拟合实际中的分布。
此外，在许多实际问题中经常遇到多峰分布的情况，这就迫使必须用样本来推断总体分布，常见的总体类条件概率密度估计方法有Parzen窗法和Kn 近邻法两种。
非参数估计也有人将其称之为无参密度估计，它是一种对先验知识要求最少，完全依靠训练数据进行估计，而且可以用于任意形状密度估计的方法。
最简单的直方图估计，把所有可能取值的范围分成间隔相等的区间，然后看每个区间内有多少个数据？这样就定义出了直方图，因此直方图就是概率密度估计的最原始的模型。
直方图用的是矩形来表示纵轴，当样本在某个小区间被观测到，纵轴就加上一个小矩形。
非参数估计更适合对原函数关系进行模拟，但不能预测；而参数估计则可以预测。
正态分布-讲义(学生版)
正态分布一、课堂目标1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．2．理解正态分布和标准正态分布的概念．3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和原则求随机变量在某一范围内的概率．4．掌握正态分布的实际应用问题．二、知识讲解现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.1. 正态曲线知识精讲（1）正态曲线的概念如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数和为参数）．显然，对于任意的称，，它的图象在轴的上方．我们称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的性质①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值（最大值）；④曲线与轴之间的面积为；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图所示；⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．经典例题1.关于正态曲线的性质：①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．A.①②B.②③C.③④D.①③其中正确的是（）．巩固练习A.B.C.D.2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（）．2. 正态分布知识精讲（1）正态分布的概念若随机变量的概率分布密度函数为：，（其中实数和为参数），则称随机变量服从正态分布，记为．正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．注意：若，则．若，如下图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积．（2）原则若，则对于任何实数，为下图阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围概率越大．特别有，①，②，③．由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．经典例题3.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．4.设随机变量，则服从的总体分布可记为 ．巩固练习A.B.C.D.5.随机变量服从正态分布，且，则（ ）．A.B.C.D.6.设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为（ ）．，，，，经典例题（1）（2）7.已知随机变量，且正态分布密度函数在上是增函数，在上为减函数，．求参数，的值．求．A.人B.人 C.人D.人8.某校高三年级的名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩服从正态分布，则该年级学生数学成绩在分以上的学生人数大约为（ ）．（附数据：，）巩固复习A. B.C.D.9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则果实直径在内的概率为（）．附：若 ，则，．10.某市高二名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为，标准差为，成绩服从正态分布，则成绩在的人数为．参考数据：，，．经典例题11.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒．年月日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能（1）（2）成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示．频率组距成绩分由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中，分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求．（精确到）附：①，；②，则，；③，．12.年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．（1）12（2）频率组距竞赛成绩（分）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数（结果四舍五入到整数）．若从所有参赛学生中(参赛学生数大于)随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．附：若随机变量服从正态分布，则，，．巩固练习（1）（2）13.从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：质量指标值频率组距求这件产品质量指标的样本平均数 和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．12由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数 ，近似为样本方差．利用该正态分布，求．已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值的定价为元；若为次品（质量指标值，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元．若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求．附：．若，则，．（1）12（2）14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望．一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．试说明上述监控生产过程方法的合理性．下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：附：若随机变量服从正态分布，则，，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．3. 标准正态分布知识精讲若随机变量，则当，时，称随机变量服从标准正态分布，简称标准正态分布．标准正态分布的密度函数为，，其相应的密度曲线称为标准正态曲线．如图所示：由于标准正态总体在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，相应于的值是指总体取值小于的概率，即，如图左边的部分所示．由于标准正态曲线关于轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值的值，因此，如果，那么由下图根据面积相等知．知识点睛一般的正态分布均可以化成标准正态分布来进行研究．事实上，可以证明，对任一正态分布来说，取值小于的概率．所以，可以利用公式可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．经典例题15.随机变量服从标准正态分布，如果，则．巩固练习16.设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，则在内取值的概率为．A.B.C.D.17.已知随机变量，记，则下列结论不正确的是（）．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测18.已知随机变量服从正态分布，且，则．A.B.C.D.19.设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（ ）．，，，，A. B.C.D.20.某小区有户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在度以上的居民户数约为（ ）．（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）21.11频率组距质量指标值（1）（2）从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．①利用该正态分布，求；②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求．附：．若～，则，．。
概率论与数理统计讲义 (27)
原点矩
由矩法,
0
X 1
2
总体矩
样本矩
2
从中解得 ˆ 2X 1 , 即为 的矩估计.
1 X
例2 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
X
~
f
(
x)
1
e( x
)
,
x
, 为未知参数
0,
其它
其中 >0,求 , 的矩估计.
解: 由密度函数知
X 具有均值为 的指数分布
故 E(X- )= 即 E(X)=
缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .
其主要原因在于建立矩法方程时， 选取那些总体矩用相应样本矩代替带 有一定的随意性 .
第 七 章第一节 矩估计
矩是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 .
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 大数定律
记总体k阶矩为 k E( X k )
样本k阶矩为
Ak
1 n
n i 1
X
k i
记总体k阶中心矩为 k E[ X E( X )]k
参数估计问题的一般提法
设有一个统计总体，总体的分布函数
为 F(x, )，其中为未知参数 ( 可以是
向量) . 现从该总体抽样，得样本 X1, X2 , … , Xn
要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个已知函数 g( ) .
这类问题称为参数估计.
点估计
参数估计
区间估计
假如我们要估计某队男生的平均身高.
1
n
n i 1
X
m i
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
量学特训班讲义_概述说明以及解释
量学特训班讲义概述说明以及解释1. 引言1.1 概述量学特训班是一种专门针对量子学习和训练的课程，旨在帮助学员全面了解量子力学并掌握其应用。
本讲义是为了与学员分享量学特训班的核心内容和教学方法而编写的。
通过本讲义，学员可以系统地学习量子力学的基本概念、原理和技术，并在实践中运用所学知识。
1.2 文章结构本文分为六个部分：引言、正文、第一部分- 量学特训班讲义概述、第二部分- 量学特训班讲义说明、第三部分- 量学特训班讲义解释以及结论。
每个部分将详细介绍相关内容，并给出相应的解释和说明，以确保读者对该课程有一个清晰而全面的认识。
1.3 目的本篇文章旨在向读者介绍并解释《量学特训班讲义》这一重要资源。
通过阅读本文，读者将了解到该资源是如何帮助人们深入了解量子力学，并培养他们在该领域中所需的技能和知识。
同时，读者还将了解到该讲义的结构和组织，以及它所包含的核心概念、实践案例和效果评估方法。
总之，本文将为读者提供一个全面的导引，帮助他们更好地理解和利用《量学特训班讲义》这一资源。
2. 正文正文部分将深入介绍量学特训班的相关内容。
在这门课程中，学员将通过系统化和深入的学习，掌握与量学相关的重要知识和技能，并在实践中运用和巩固所学。
本节将详细阐述课程的内容，包括教学方法、课程设置与安排以及学员要求和责任。
首先，我们将介绍教学方法。
为了提高学习效果，本课程采用多种教学方法相结合的方式进行教授。
其中包括理论讲解、案例分析、实践演示以及小组讨论等。
通过理论讲解，学员可以全面了解量学的基本概念和理论框架。
而案例分析则能够帮助学员更好地理解并应用所学知识。
通过实践演示，我们将展示如何使用量学工具进行数据分析和预测，并指导学员进行实际操作。
此外，在小组讨论环节中，学员将有机会与其他同学共同探讨问题、分享经验和思考创新。
其次，我们将详细介绍课程设置与安排。
该课程共分为若干模块，每个模块都涵盖了特定的主题和内容。
每个模块都会设立相应的学习目标，并安排适当的学习时间。
概率论与数理参数估计
概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。
矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。
这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。
最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。
区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。
置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。
预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。
在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。
样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。
样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。
在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。
在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。
综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。
罗斯《公司理财》重点知识整理上课讲义
罗斯《公司理财》重点知识整理上课讲义罗斯《公司理财》重点知识整理第一章导论1. 公司目标：为所有者创造价值公司价值在于其产生现金流能力。
2. 财务管理的目标：最大化现有股票的每股现值。
3. 公司理财可以看做对一下几个问题进行研究：1. 资本预算：公司应该投资什么样的长期资产。
2. 资本结构：公司如何筹集所需要的资金。
3. 净运营资本管理：如何管理短期经营活动产生的现金流。
4. 公司制度的优点：有限责任，易于转让所有权，永续经营。
缺点：公司税对股东的双重课税。
第二章会计报表与现金流量资产 = 负债 + 所有者权益（非现金项目有折旧、递延税款）EBIT（经营性净利润） = 净销售额 - 产品成本 - 折旧EBITDA = EBIT + 折旧及摊销现金流量总额CF(A) = 经营性现金流量 - 资本性支出- 净运营资本增加额 = CF(B) + CF(S)经营性现金流量OCF = 息税前利润 + 折旧 - 税资本性输出 = 固定资产增加额 + 折旧净运营资本 = 流动资产 - 流动负债第三章财务报表分析与财务模型1. 短期偿债能力指标（流动性指标）流动比率 = 流动资产/流动负债（一般情况大于一）速动比率 = (流动资产 - 存货)/流动负债（酸性实验比率）现金比率 = 现金/流动负债流动性比率是短期债权人关心的，越高越好；但对公司而言，高流动性比率意味着流动性好，或者现金等短期资产运用效率低下。
对于一家拥有强大借款能力的公司，看似较低的流动性比率可能并非坏的信号2. 长期偿债能力指标（财务杠杆指标）负债比率 = (总资产 - 总权益)/总资产 or (长期负债 + 流动负债)/总资产权益乘数 = 总资产/总权益 = 1 + 负债权益比利息倍数 = EBIT/利息现金对利息的保障倍数(Cash coverage radio) = EBITDA/利息3. 资产管理或资金周转指标存货周转率 = 产品销售成本/存货存货周转天数 = 365天/存货周转率应收账款周转率 = （赊）销售额/应收账款总资产周转率 = 销售额/总资产 = 1/资本密集度4. 盈利性指标销售利润率 = 净利润/销售额资产收益率ROA = 净利润/总资产权益收益率ROE = 净利润/总权益5. 市场价值度量指标市盈率 = 每股价格/每股收益EPS 其中EPS = 净利润/发行股票数市值面值比 = 每股市场价值/每股账面价值企业价值EV = 公司市值+ 有息负债市值- 现金EV乘数= EV/EBITDA6. 杜邦恒等式ROE = 销售利润率（经营效率）x总资产周转率（资产运用效率）x权益乘数（财杠）ROA = 销售利润率x总资产周转率7. 销售百分比法假设项目随销售额变动而成比例变动，目的在于提出一个生成预测财务报表的快速实用方法。
数模知识点归纳(笔记)
第1章数据与统计学一、统计学的分科1、描述统计Descriptive Statistics——将数据以表格、图形或，以便看出数据间的有用的关系。
例如：使用散点图、曲线图、饼图、条形图、表格等2、推断统计Inferential Statistics——利用从总体的一个样本中获得的信息来推断总体的特征，并进行假设检验。
例如：估计、假设检验、预测3、核心概念（1）总体Population：在一个特定研究中所有个体组成的集合（一个统计问题涉及的所有对象）-可能数量巨大-不一定仅限于人口（2）样本Sample：总体的一个子集（从总体中获得的一组数据）（3）参数Parameter：关于总体的概括性度量（描述总体的指标）（4）统计量Statistic：关于样本的概括性度量（样本的描述指标）二、统计学的基本方法1、大量观察法——从社会现象的总体出发，对其全部单位或足够多数单位进行数量观察的统计方法。
2、统计平均法——用平均数来反映总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------第2章描述统计：图表方法一、频数分布⏹统计分组及各组频数，频率，累计频数（率）二、数据的图形表示1、直方图；2、饼图——表示出总量的分类；3、折线图；4、散点图偏斜度---- 偏态.1. 表明数据是如何分布的 How Data Are Distributed？2. 形状的度量Measures of Shape☐偏态与对称Skew vs. Symmetry----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------第3章描述统计：数量方法一、统计平均数1、平均数的定义与作用反映总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。
参数估计方法
参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。
在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。
参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。
本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。
似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。
最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。
换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。
最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。
但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。
另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。
贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。
在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。
但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。
对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。
而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。
当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。
最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。
高中数学必修2《统计》知识点讲义
高中数学必修2《统计》知识点讲义一、引言高中数学必修2中的《统计》部分是我们在日常生活中应用广泛的数学知识。
通过学习统计，我们可以更好地理解世界，做出更明智的决策。
本篇文章将详细讲解统计部分的重要知识点。
二、知识点概述1、描述性统计描述性统计是统计学的基石，它主要研究如何用图表和数值来描述数据的基本特征。
这部分内容将介绍如何制作频数分布表、绘制条形图、饼图和折线图等。
2、概率论基础概率论是统计学的核心，它研究随机事件发生的可能性。
在本部分，我们将学习如何计算事件的概率，了解独立事件与互斥事件的概念。
3、分布论基础分布论是研究随机变量及其分布的数学分支。
本部分将介绍如何计算随机变量的期望和方差，了解正态分布的特点及其在日常生活中的应用。
三、知识点详解1、描述性统计本文1)频数分布表：频数分布表是一种用于表示数据分布情况的表格，其中每一列表示数据的一个取值，每一行表示该取值的频数。
通过频数分布表，我们可以直观地看到数据分布的集中趋势和离散程度。
本文2)图表：图表是描述数据的一种有效方式。
通过绘制条形图、饼图和折线图，我们可以直观地展示数据的数量关系和变化趋势。
2、概率论基础本文1)概率：概率是指事件发生的可能性，通常用P表示。
P(A)表示事件A发生的概率，其值在0和1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
本文2)独立事件与互斥事件：独立事件是指两个事件不相互影响，即一个事件的发生不影响另一个事件的概率；互斥事件是指两个事件不包括共同的事件，即两个事件不可能同时发生。
3、分布论基础本文1)期望：期望是随机变量的平均值，通常用E表示。
E(X)表示随机变量X的期望，它是所有可能取值的概率加权平均值。
期望对于预测随机变量的行为非常有用。
本文2)方差：方差是衡量随机变量取值分散程度的指标，通常用D表示。
D(X)表示随机变量X的方差，它是每个取值与期望之差的平方的平均值。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，取值越集中。
建设项目经济评价方法与参数讲义(第三版)
或通过制定销售（运营）计划确定。
1.6 补贴收入
➢ 先征后返的增值税； ➢ 按销量或工作量等依据国家规定的补助定
额计算并按期给予的定额补贴； ➢ 属于财政扶持而给予的其他形式的补贴等
1.7 建设投资
2.项目投资估算应采用含增值税价格，包括建设投 资、流动资金和运营期内的维持运营投资。
3.项目运营期内投入与产出采用的价格可以 是含增值税的价格，也可以是不含增值税的 价格。
4.在计算期内同一年份，无论是有项目还是 无项目的情况，同种（质量、功能无差异） 产出或投入的价格应取得一致。
1.5 营业收入
年修理费+年其他制造费用）／在产品周转次数 产成品＝（年经营成本－年营业费用）／产成品周转次数
(2)应收帐款估算
应收账款＝年经营成本／应收账款周转次数
(3)预付账款估算
预付账款＝外购商品或服务年费用金额／预付账款周转次数
(4)现金需要量估算
现金＝（年工资及福利费十年其他费用）／现金周转次数 年其他费用＝制造费用十管理费用十营业费用－（以上三项 费用中所合的工资及福利费、折旧费、摊销费、修理费）
建设项目经济评价 方法与参数 第三版
主讲人：XXX
教材结构：
➢关于建设项目经济评价工作的若干 规定
➢建设项目经济评价方法 ➢建设项目经济评价参数
1 财务效益与费用估算
财务效益与费用是财务分析的重要 基础，其估算的准确性与可靠程度 直接影响财务分析结论。
1.1 财务效益与费用
财务效益与费用的识别和估算应注意：
＝本年流动资金－上年流动资金1.周转次数的计算：周转次数＝ 360天／最低周转天数
第九章参数估计Parameter'sestimation-
是相互矛盾的两个方面。
1
一、有关区间估计的几个概念 1. 置信区间：区间估计是求所谓置信区间的方法。置
信区间就是我们为了增加参数被估计到的信心而在 点估计两边设置的估计区间。
2. 显著性水平 ：用置信区间来估计的不可靠程度。
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3. 置信度（水平）1 ：用置信区间估计的可靠性
在统计学中，常常用符号“S ” 来表示无偏估 计量。数学上可以证明，对于随机样本而言S，2 才是
总体方差 2 的无偏估计量，它称为修正样本方差 。
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4
[例]研究者要调查某社区居民家庭收入分 布的差异情况，现随机抽查了10户，得到样本 方差为＝200(元2)。试以此资料估计总体家庭 收入分布的差异情况。
23
3.整群抽样
总体可看作是以群为单位的简单随机抽样。
群间方差（群内方差不进入）：
R
(Xi )2
2 i1
整群抽样平均误差：
R
(Xcl)
r
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第五节 样本容量的确定
回置：
X
Z
n
不回置： p Z
pq n
n
Z 2
2 x
2
n
Z 2 pq
S n 1
＝52±2.064
12 ＝52±5.06 24
因此，置信水平95％的总体均值的置信区
间是从46.94到57.06。
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2. 大样本总体成数的估计
从总体的均值估计过渡到总体的成数估计，其方法和
思路完全相同，只要用 p代替 X
T-Test_T检验讲义
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虽然处理效应（ 1 - 2 ）未知，但试验的表 面效应是可以计算的，借助数理统计方法可以对
试验误差作出估计。所以，可从试验的表面效应
与试验误差的权衡比较中间接地推断处理效应是 否存在，这就是显著性检验的基本思想。 二、显著性检验的基本步骤 （一）首先对试验样本所在的总体作假设
综上所述，显著性检验，从提出无效假设与 备择假设到根据小概率事件实际不可能性原理来 否定或接受无效假设，这一过程实际上是应用所 谓“概率性质的反证法”对试验样本所属总体所 作的无效假设的统计推断。
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三、显著水平与两种类型的错误 在显著性检验中，否定或接受无效假设的依 据是“小概率事件实际不可能性原理”。用来确 定否定或接受无效假设的概率标准 叫 显 著 水 平（significance level），记作α。在生物 学研究中常取α=0.05或α=0.01。
S x1 x2 ( x1 x1 ) 2 ( x2 x2 ) 2 (n1 1) (n2 1) ( 1 1 ) n1 n2
28 21.6 1 1 ( ) 0.742 (10 1) (10 1) 10 10
x1 x 2 11 9.2 t 2.426 S x1 x2 0.742
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能否仅凭这两个平均数的差值 x1 - x2 =1.8 头，立即得出长白与大白两品种经产母猪产仔数 不同的结论呢？统计学认为，这样得出的结论是 不可靠的 。这是因为如果 我们再分别随机抽测 10 头长白猪和10头大白猪经产母猪的产仔数， 又可得到两个样本资料 。由于 抽样误差的 随机 性，两样本平均数就不一定是11头和9.2头，其 差值也不一定是1.8头 。造成这种差异可能有两 种原因，一是品种造成的差异，即是长白猪与大 白猪本质不同所致，另一可能是试验误差（或抽 样误差）。
计量经济学讲义（厦门大学）Chap3
Chapter 3 一元线性回归模型第一节回归分析与回归方程回归分析:1.根据经济理论或考察样本数据去设定回归方程Y: dependent variable ; :independent:random error or disturbance termε(,,)Y f X Z ε=+ ,X ZA special and simple case (univariate linear regression model) :这是本章研究的重点。
2. 参数估计(Estimation of parameter)3. Testing4. Predicting设有样本为，则01Y b b X ε=++{,}i i Y X 01(1,,)i i iY b bX i n ε=++=模型的假设：1.2. (同方差) 3.4. 满足这四条件的LRM 称为经典线性回归模型(CLRM)。
()0i E ε=()0i jE i j εε=≠2var()i εσ=()0i i E X ε=由假设得Population regression equation (function)The pity is the parameters are unknown.我们要利用样本来估计参数. 如得参数估计值, 则称为sample regression equation (function).How to estimate them?The OLS method.01()E Y b b X=+01ˆˆb b 和01ˆˆˆY b b X =+Where are the residuals.Example3.1(P39)(how to use Eviews)(i i e Y =-01ˆˆ()i i i e Y b b X =-+Forecasting(预测) 1. Point forecasting Since we knowand the sample regression equationthen given , what about and ? As(an unbiased estimator for )01Y b b X ε=++01ˆˆˆY b b X=+1n X +1n Y +1()n EY +101110111ˆˆˆ()()()n n n n n EY E b bX b bX EY ε+++++=++=+=1()n EY +and (误差均匀) Naturally, we use as a point predictor for both and .2. Interval forecasting(1) Forecast interval for Forecast error:1n Y +11ˆ()0n n E Y Y ++-=1ˆn Y +1()n E Y +1n Y +111ˆn n n e Y Y +++=-2σ。
研究生统计学讲义第3讲总体均数估计和假设检验
所谓小概率原理，就是“在一次试验中，概率很小 (接近于零)的事件认为是实际上不可能发生的事件” 。例如，假设在1000支复方大青叶注射液针剂中只有 一支是失效的，现在从中随机抽取一支，则取得“失 效的那支”概率为1/1000，这个概率是很小的，因此 ，可以认为在一次抽取中是不会发生的，若从中任取 一支恰好为“失效的那支”，我们就有理由怀疑“失 效概率为1/1000”的假设不成立，而认为失效率不是 1/1000，从而否定假设。否定假设的依据就是小概率 原例理4.3。已知正常成年男子脉博平均为72次/分，现随 机检查20名慢性胃炎所致脾虚男病人，其脉博均数 为75次/分，标准差为6.4次/分，能否认为此类脾虚 男病人的脉博快于健康成年男子的脉博？
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4.单个总体均数的估计 样本均数是总体均数μ的一个 点估计。σ已知时，按（式4-3）计算的统计量服从标 准正态分布，根据标准正态分布的规律
P（-uα/2< u <uα/2） =1-α ，有
σ已知时，正态总体均数μ的双侧（1－α）可信 区间计算公式为（4-7）
而σ往往未知
σ未知时，按（式4-4）计算的统计量服从 t 分布，由t 分布的规律 P（-tα/2<t<tα/2） =1-α
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有了抽样分布，对任何样本，在预先不知道总体特性
的任何知识时，利用抽样分布可以产生总体均数的置
信区间 ．
C
t
0
X
s/ n
t0
1
t0=tα/2
解这个不等式，把关心的参数μ从中间分离出来，就
得到置信度为1－α的总体均数的置信区间为：
X t0 s X t0 s （4-8）
n
n
S
注意－t 0和t 0由自由度n－1和置信水平确定，X 和 n
计量经济学讲义第一章 导论
计量经济学讲义计量经济学已经成了经济学专业中越来越热门的课程，是当今西方国家经济类专业三门核心课程（宏观、微观、计量）之一。
现在我们随手翻一翻《经济研究》这类经济专业刊物，就会发现，大部分的文章都采用了计量经济学的分析方法.计量经济学的重要地位还可以从诺贝尔经济学奖获得者的数量中反映出来，从1969年设立诺贝尔经济学奖，首届获得者就是计量经济学的创始人弗里希和荷兰经济学家丁伯根，表彰他们开辟了用计量经济方法研究经济问题这一领域，之后，直接因为对计量经济学的发展作出贡献而获奖者达十几人，包括去年获奖的Engle和Granger。
这些都说明了计量经济学越来越得到广泛的认可和高度的重视，经济科学日益朝着用数学表达经济内容和统计定量的方向发展。
所以这是一门值得大家付出努力去学好的课程。
大家随便翻一下手中的教材，就会发现这门课程中会有大量的数学推导过程。
我想这可能会是一个大家都很头疼的问题，根据这个特点，我把计量经济学这门课程做了一个定位：课程定位：用于研究经济问题的一种工具所谓的工具，就好象我们常用的office软件一样，我们用它是为了编辑文件，而我们大多数人并不知道它的每一条程序是如何编写的。
如果我们把计量经济学仅仅当成我们研究经济问题的一种工具的话，我们就可以把很多的数学推导过程装进一个个“黑箱”中，只需要学会用它的结果就够了。
我们用一个word软件，要能够打印出一篇漂亮的文章出来，那我们用一个学期的时间来学习如何使用计量经济学这个工具，最终希望达到什么要求呢？一、课程目的：1、掌握计量经济学的基本理论和方法；2、能够读懂采用了计量经济分析方法的经济文章；3、结合自己的专业，能应用计量经济方法对实际问题进行初步的计算分析。
我一直认为，要做成任何事情，有清晰的思路是最重要的。
如果说细节是一串珍珠项链上的珠子，那么思路就是把珠子串起来的那根线，珠子少一颗不要紧，没有了这个线，就成不了项链。
学习同样也是这样。