《数学建模》课程第五章自测练习及解答提示

《数学建模》课程第五章自测练习及解答提示

1．报童每天订购的报纸，每卖出一份赢利a 元，如果卖不出去并将报纸退回发行单位，将赔本b 元．每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失．设P (m )是售出m 份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小．

解：设报童每天订购Q 份报纸，则其收益函数为

⎩⎨

⎧>≤--=Q m am Q

m b m Q am m y ,

,)()( 利润的期望为

∑∑∞

+==+

-+=1

)()(])[()]([Q m Q

m m aQP m P bQ m b a m y E

比较各个m 的)]([m y E 值，使其最大者即为所求．若m 的取值过多，可将)]([m y E 当成m 的连续函数或借鉴连续函数求极值的方法令

0d )]

([d =m

m y E ．

2．血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止．很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力．若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型．

解：假设有α%的人患有血友病，并假设下一代与上一代虽人数可能不等，但所生男女比例一样．基于这样一个假设，不妨设下一代男女与上一代相同，设初始第一代男女分别占总人数的比例占总人数的比例为 a 0，b 0，由题设，a 0：b 0=1：1.2．注意到只有女人遗传血友病，由此，第一代将有%210αb 个女人及%2

1

0αb 个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为

%2

.22

.1%0001αα=+=

b a b c

同理，第二代将有%21210αb ⋅个女人及%2

1

210αb ⋅个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为

%2

.22

.121%

21

0002αα⋅=+=b a b c

依次类推，第n 代将有%)2

1(0αb n

个女人及%)2

1(0αb n

个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为

%2

.22

.1)21(%

)21

(10001αα⋅=+=--n n n b a b c

令∞→n ，则0→n c ．

3．某石油公司必须就下一个打井位置作出决定．如果打出来的井什么也没有（既无油也无天然气），则投资费用（打井费用）全部赔掉．如果打出来的是气井，则可以说是部分成功，如果打出来的是油井，则是完全成功．由于结果的不确定性，更由于做某种测试（取样）只能得到不完全的信息，因而作出决定是困难的．试建立一个数学模型，使公司的预期收益最大

解：设 B 1——预测是油井，B 2——预测是气井，B 3——预测是无油气井．

由于做取样只能得到不完全的信息，因此根据取样结果，计算出在B 1，B

2，B 3分别发生的条件下，B 1，B 2，B 3发生的概率．然后利用贝叶斯公式，计算出实际是油井、气井和废井情况下，而预测是B 1，B 2，B 3之一的概率值，若给出各种情况下的费用，计算出各个期望值即可．下面画出决策树（如图3）．

图3

4 假设有一笔1000万元的资金于依次三年年初分别用于工程A 和B 的投资．每年初如果投资工程A ，则年末以0.4的概率回收本利2000万元或以0.6的概率分文不收；如果投资工程B ，则年末以0.1的概率回收2000万元或以0.9的概率回收1000万元．假定每年只允许投资一次，每次只投1000万元；试确定第3年末期望资金总数为最大的投资策略．

解： 建立决策树（如图4）． 0

2000 0 2000

图4

在投资A的决策树中，第一年投资A，第二年投资B，第三年投资B的期望值最大．在投资B的决策树中（只在A的决策树中②节点中的0.4，0.6分别换成0.1，0.9即可），可算得第一年投资B，第二年投资B，第三年投资B的期望值是两个决策树中的最大者．

5．某工程队承担一座桥梁的施工任务.由于施工地区夏季多雨，需停工三个月.在停工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走，需搬运费1800元.如留原处，一种方案是花500元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位的侵袭.若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元.如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受到60000元的损失.据历史资料，该地区夏季高水位的发生率是25%，洪水的发生率是2%.试用决策树法分析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤？

解：建立决策树模型如图5.

-1800

-500

-60500

-10000

-60000

图5 使用期望值法计算过程见图6.

图6

最优决策为：不必搬走机械，但要筑一个护堤，期望损失1335元．

-1800 -500 -60500

-10000 -60000