中考数学专题8_动态几何和函数问题(附含答案解析)

中考数学专题8 动态几何与函数问题
【例1】
如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.
（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.
（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.
【解】（1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==，
； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线，∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为：()()11
2441222
AB OC OA +⋅=+⨯=..... (3分) （2）当24t <<时，
阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ∆的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)
∴1
122
S OD OE =-⋅
∵
1
42
OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- .
∴()()()2
1122441242
S t t t =-⨯-⋅-=--
284S t t =-+-.
【例2】已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数
(0)k
y k x
=
>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记O E F E C F S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，
由题意得11k y x =
，22k y x =．11111
22
S x y k ∴==，22211
22
S x y k =
=．12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等． （2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33
k
E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， 1111432234ECF S EC CF k k ⎛⎫⎛⎫
∴=
=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
△， 11
121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形
11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫∴=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△△21
12
S k k ∴=-+．
当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．1
31412S -==⎛⎫
⨯- ⎪⎝⎭
最大值． （3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．
由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，1
34
MF CF k ==-，
90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠． 又90ENM MBF ∠=∠=，
ENM MBF ∴△∽△．EN EM MB MF ∴
=，11414312311331412k k MB k k
⎛
⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
， 94MB ∴=．
D
图1
222MB BF MF +=，222
913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，解得218k =． 21432k BF ∴==． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
【例3】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。

动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。

设运动的时间为t （秒）。

（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。

【解析】解： （1）如图1，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形。

∴PM ＝DC ＝12 ∵QB ＝16－t ，∴S ＝
1
2
×12×(16－t)＝96－t （2）由图可知：CM ＝PD ＝2t ，CQ ＝t 。

热以B 、P 、Q 三点 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。

①若PQ ＝BQ 。

在Rt △PMQ 中，2
2
2
12PQ t =+，由PQ2＝BQ2 得 2
2
2
12(16)t t +=-，解得t ＝
7
2
； ②若BP ＝BQ 。

在Rt △PMB 中，2
2
2
(162)12BP t =-+。

由BP2＝BQ2 得：
222(162)12(16)t t -+=- 即23321440t t -+=。

由于Δ＝－704＜0
∴23321440t t -+=无解，∴PB ≠BQ …
③若PB ＝PQ 。

由PB2＝PQ2，得2
2
2
2
12(162)12t t +=-+ 整理，得23642560t t -+=。

解得1216
163
t t ==（舍） 综合上面的讨论可知：当t ＝716
23
t =
秒或秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。

（3）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 。

如图2，过点Q 作QE ⊥ADS ，垂足为E 。

由Rt △BDC ∽Rt △QPE ，
得DC PE BC EQ =，即121612
t =。

解得t ＝9 所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD 。

图2
【例4】在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；
（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值． 解：（1）1，8
5
；
（2）作QF⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t =-．
由△AQF∽△ABC，4BC ==， 得45QF t =．∴4
5
QF t =． ∴14(3)25
S t t =-⋅， 即2265
5
S t t =-+． （3）能．
①当DE∥QB 时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得AQ AP
AC AB
=， 即335t t -=
． 解得9
8
t =． ②如图5，当PQ∥BC 时，DE⊥BC，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 AQ AP
AB AC
=， 即35
3t t -=． 解得15
8
t =． A
P 图4
A P 图3
A
P 图5
A A
（4）52t =
或4514
t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 方法一、连接QC ，作QG⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234
[(5)][4(5)]55
t t =-+--．
由2
2
PC QC =，得2
2234[(5)][4(5)]55
t t t =-+--，解得5
2t =．
方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得 B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52
AQ BQ ==
．∴5
2t =．
②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7． 22234(6)[(5)][4(5)]55
t t t -=-+--，45
14t =
【例5】如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于
R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．
（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；
（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）
Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．
点D 为AB 中点，1
32
BD AB ∴=
=． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．
BHD BAC ∴△∽△，
DH BD AC BC ∴
=，312
8105
BD DH AC BC ∴==⨯=．
A
A B
C
D E
R P
H Q
（2）
QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．
C C ∠=∠，RQC ABC ∴
△∽△， RQ QC AB BC ∴
=，10610
y x
-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：3
65
y x =-+． （3）存在，分三种情况：
①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．
1290∠+∠=，290C ∠+∠=，
1C ∴∠=∠．
84cos 1cos 105
C ∴∠===，
45QM QP ∴=， 1364251255
x ⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312
655
x -+=，
6x ∴=．
③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，
11
224CR CE AC ∴===．
tan QR BA
C CR CA ==，
3
6
6528
x -+∴=，152
x ∴=．
综上所述，当x 为185或6或15
2
时，PQR △为等腰三角形．
A
B
C
D E
R
P H Q
M 2
1 H
A B
C
D E R P
H
Q
第二部分 发散思考
【思考1】
如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形）
，解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式．
【思考2】
已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q 分别从A,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒.
(1)填空：菱形ABCD 的边长是 、面积是 、 高BE 的长是 ； (2)探究下列问题：
①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；
②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k 的值.
【思考3】已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿
O
x
y A
B
C D
E
AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．
（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解：（1）6． （2）8． （3）①当03x <≤时，
2
111sin 60222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13
△1····． ②当3x <≤6时，
Q1
A
B
C
D
Q2
P3
Q3
E
P2 P1
O
C
P
Q
B
A M N
12222221
2
1sin 6021(12-2)2APQ y S AP P Q AP CQ x x ==
︒=△=?···
=2
.2
x -
+ ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ．
(解法一)过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．
33333
212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△
3361
,2122
11
(212),
33
CP OC x OE EQ x OC CE x -∴
===-∴==-
3
33
3311sin 60sin 6022
AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°
111(6)(212)(6)223x x x =-⨯--·6
262
x x =-+-
（解法二）如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥
，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．
,.
ACB ACD OF OG ∠=∠∴= 又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=- 3
31
2CQP COQ S S ∴=△△ 3333321
,
3
11
32
11(212)(6)3226).COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=
-△△···又331sin 602
ACP S CP AC =
△··° P3
O
A
B
C
D
Q3
G
H F
1(6)626).x x =-⨯=-
3AOP y S ∴=△
3326)6)ACP OCP S S x x =-=
---△
△262
x x =-
+- 【思考2解析】（1）5 , 24,
5
24 （2）①由题意，得AP=t ，AQ=10-2t.
如图1,过点Q 作QG ⊥AD，垂足为G ，由QG∥BE 得 △AQ G ∽△ABE,∴BA
QA
BE QG =, ∴Q G=
2548548t -, …………………………1分 ∴t t QG AP S 5
242524212+-=⋅=(25
≤t ≤5).
……1分 ∵6)2
5(25242+--
=t S (25
≤t ≤5).（这个自变量的范围很重要）
∴当t=2
5
时，S 最大值为6.
② 要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组
成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可. 当t=4秒时，∵点P 的速度为每秒1个单位，∴AP=4. 以下分两种情况讨论:
第一种情况：当点Q 在CB 上时, ∵PQ ≥BE>PA ，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P. 如图2,过点Q1作Q1M⊥A P ，垂足为点M ，Q1M 交AC 于点 F,则AM=
1
22
AP =.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 4311===AO OD CQ F Q AM FM , ∴2
3
=FM , ∴1033
11=
-=FM MQ F Q . ∴CQ1=QF 34=225.则11CQ AP t k t =⋅⨯, ∴11110
CQ k AP == .
第二种情况：当点Q 在BA 上时,存在两点Q2,Q3, 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.
①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.
则21BQ CB AP t k t +=⋅⨯,∴232
CB BQ k AP +==. ②若PA=PQ3，如图4,过点P 作PN⊥AB，垂足为N ，
由△ANP∽△AEB,得AB
AP
AE AN =. ∵AE=5722=
-BE AB , ∴AN＝2825
. ∴AQ 3=2AN=56
25
, ∴BC+BQ3=10-251942556= 则31BQ CB AP t k t +=⋅⨯.∴50
973=+=AP BQ CB k .
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为1011或23或50
97. 【思考3解析】
过点A '作A N AB '⊥垂足为N 点， 在Rt H CD '△中， 若HDH '∠不小于60°，
则
sin 602
H C H D '︒=
'≥
即H C H D ''=
B M H
C ''=≥
Rt Rt A NP B MP ''△∽△
A N A P
B M B P
''∴
=''
3.5cm A P B M A N B P '''∴=
='·
∴踏板AB 离地面的高度至少等于3.5cm ．
26．（10分）
（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．
D
C P
Q
则2AD =，
当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形， 即3
2
AM =
时，四边形MNQP 是矩形， 3
2
t ∴=
秒时，四边形MNQP 是矩形．
tan 60PM AM =°=
MNQP S ∴=四边形（2）1°当01t <<时，
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
11)2
t ⎤=
++⎦
2
=+
2°当12t ≤≤时
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
1)12t ⎤=
+-⎦·
=3°当23t <<时，
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
1))2
t t ⎤=-+-⎦
=
C P
Q
B
A M N C
P
Q
B
A M N
C
P
Q
A
M
N。