光在球面上折射

S1O sin i
S1A sin
S1OS2Asini n2 S1AS2O sinr n1
S2A sin
S2O sin r
S1AS1C, S2AS2C(旁轴条
C点是主光轴与球面的交点，称为球面的顶点。
S1C是物点到球面顶点的距离，称为物距，用l1表示。 S2C是像点到球面顶点的距离，称为像距，用l2表示。
23
五、球面折射的横向放大率
若物体高度为y1，像 P1
Q 1
的高度为y2，则定义光 y 2 3
学系统QQ 的横向放大 1 S1
φ1
F1 C
O F2 S2
φ2
y2
率
m y2
y1
2
P2
Q’
若像的方向与物的方向相同，这种像称为正像；
若方向相反为，则称为倒像。
当横向放大率m为正值时为正像；当横向放大率m
ⅶ）还可以用于描述光线在平面上的折射和反射， 因为平面可以认为是曲率半径无限大的球面。
ⅷ）也可以作为研究各种情况下折射和反射成像规 律的基础。
凸面镜成像原理；凹面镜成像原理
19
三、高斯公式
引入焦点焦距的概念后，可得球面折射的另一种形
式，即高斯公式。
如果处于主光轴上的物点离开球面的距离为无限大，
即l1=∞，那么由它发出而投射到球面上的平行光线必
5
6
如果由物点发出的光束，经光学系统后仍为同心 光束，则这个经过光学系统后的光束的心，称为光 学系统对该物点所成的像点。
如果经光学系统后光线本身通过光束心，则该光 束心是物点的实像；如果经光学系统后光线延长线 相交于一点，则该点是物点的虚像。
在近轴光线的情况下，由物点发出的同心光束， 经单球面折射后仍为同心光束，即对应于一个物点 可获得一个像点。
得 ： l2= 10cm
最后的像是一个虚像，并落在哑铃中间。
26
例1 如图所示，一根折射率为1.50的玻璃棒，其一
端被磨成半径为20.0mm的半球面。若将它先后放在
折射率为1.00的空气中和折射率为1.33的水中，求在
这两种情况下，在棒轴上距离顶点80.0mm处的物点
的像距和像的横向放大率。
n1（空气；水）
定平行于主光轴。这时表示像点位置的像距应为
l2
n2 n2 n1
R
由l2所确定的点表示了折射面的性质，称为第二
主焦点，用F2 表示。
由球面顶点C到F2 的距离，称为折射面的第二焦距，
若用f2
表示，则有
f2
n2 n2 n1
R
20
如果要使光线折射后所成的像点处于主光轴上并
落在离开球面无限远处，即l2=∞，则物点必须放置
n2 n1 R
ⅱ）如果发光点在S’点，它的像在S点。也就是说， 如果S和S’ 之一为物，则另一点为其像，物点和像 点这种关系称为共轭，相应的点称为共轭点，相应 的光线称为共轭光线。物象共轭是光路可逆原理的 必然结果。
17
ⅲ）规定：入射光束在其中行进的空间称为物空间， 折射光束在其中行进的空间称为像空间。 ⅳ）若对于单独一个球面来说，如光线自左向右传播， 则物空间在球面顶点的左方，像空间在球面顶点的右 方：此时物距l < 0 ,若光束在像空间会聚，像距 l’ > 0，得到实像；若光束在像空间发散，像距l’ < 0,得到 虚像，虚像位置在物空间。
我们规定线段正负如下：由折射点或反射点出发到 被考察点所形成的线段的方向，若与入射光的传播方 向相同，则取正值，若相反，则该线段取负值。
14
根据这个规定，我们可以得到：
(1) 物点若为实际物体时，物距一般取负值。
(2) 像距符号决定于像的位置：像和物处于折射面或 反射面的同侧，像距取负值；像和物处于折射面或 反射面的异侧，像距取正值。但是在折射和反射这 两种情况下，对应于同样符号的像距，像的性质却 不同：正的像距，在折射的情况下代表实像，在反 射的情况下代表虚像。负的像距，在折射的情况下 代表虚像，在反射的情况下代表实像。
R (l2 R )2 l2
代 入 n1 n2 = 1 ( n2l2 n1l1 )中 可 得 ： s s R s s
n1 n 2 = n 2 n1 采 用 后 面 符 号 法 则 ：n 2 n1 = n 2 n1
l1 l2
R
l2 l1
R 13
本书中单球面折射公式推导根据正弦定理应有：
并不相交，而其延长线相交的一点。 21
通过第一主焦点F1所作的垂直于主光轴的平面，称 为第一主焦面；通过第二主焦点F2所作的垂直于主光 轴的平面，称为第二主焦面。如果近轴的平行光线并
不平行于主光轴，则经球面折射后焦点并不处于主焦
点上，但总处于主焦面上。
用R/(n2﹣n1)乘以公式
n2 n1 n2 n1 l2 l1 R
1
s R 2 ( l2 R ) 2 2 R ( l2 R ) c o s 2
则
光
线
S
1
A
S
的
2
光
程
为
S1 A S 2
= n1S
n2S
1
n1 R 2 ( R l1 ) 2 2 R ( R l1 ) c o s 2
1
n 2 R 2 ( l2 R ) 2 2 R ( l2 R ) c o s 2
(1) 平行于主光轴的光线折射后通过第二主焦点；
(2) 通过第一主焦点的光线折射后平行于主光轴； (3) 通过球面曲率中心的光线沿原路径传播。
这三条光线中任意两条的交点就是物点P1的像点P2， 由P2向主光轴作垂线，垂足S2就是S1的像。
按上面方法作图的必须条件是，物点发出的三条光线都必须是近轴光线。
等号两边，得
n2 R n1 R 1 l2 n2n1 l1 n2n1
f1 f2 1 l1 l2
即高斯公式，与近轴光线的球面折射公式完全等效。
22
四、球面折射成像的作图法
如图，将一个有限大 P1
1 3
小的物体放置在球面左
2 S1
F1
侧，并与主光轴垂直。
O F2 S2
2
P2
物点P1发出的同心光束中有三条光线是容易画出的：
7
8
9
二、球面折射公式
如图所示，AOB
是折射率分别为
A
n1和 n2的两种介 n1 S i
r S
n2
质的球面界面，
θ
φ
R为球面的曲率 S1 半径，O为曲率
C
O
R
B
S2
中心，C为球面
l1
l2
顶点，CO的延长线为球面的主轴。通过主轴的平面称为主截
面。主轴对于所有的主截面具有对称性。 设n2 > n1，光线 从点光源S1发出,经球面A点折射后与主轴交于S2 ,令：
解 先求放在空气中的情形。 S1
C
利用以上公式，带入数据，得 80.0mm
n2(玻璃)
O
1.50 1.00 1.501.00
l2 80.0 20.0
解得l2 = 120mm
mn1l2
1120 1.00
n2l1 1.50(8.00)
说明像是倒立的实像，位于C点右侧120mm处。 27
现求放在水中的情形。这时像距l2应由下式求得
1.50 1.33 1.501.33
l2 80.0 20.0 解得l2=﹣185mm， 横向放大率为
mn1l21.33(18)52.05 n2l1 1.50(8.00)
表示像是正立的虚像，处于C点左侧185mm处。
S 1 C l 1 ; C S 2 l 2 ; S 1 A S ; A S 2 S 10
在△S1AO和△AOS2 中,应用余弦定理，并注意到：
cos cos( )
以 及 ： S 1O l1 R ; O S 2 l2 R
1
得 到 ： s R 2 ( R l1 ) 2 2 R ( R l1 ) c o s 2
n2 n1 n2 n1 l2 l1 R
这就是近轴光线的球面折射公式。可以看到，对于
折射率为n1和n2的介质以及给定的界面曲率半径R， 像点的位置只依赖于物点的位置，或者说物点和像点
之间存在一一对应的关系。
任何满足近轴光线条件的同心光束在球面上折射 后仍然保持同心性。
16
【注】ⅰ）公式右端仅与介质的折射率及球面的曲 率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表 面来讲是一个不变量，定义此量为光焦度，用下式 表示。表征球面的光学特征，单位m-1 。
11
当点A在球面上移动时，R是常量，是
位置的变量，根据费马原理：d S1AS2 0
d
得：n1
1 s
2R(R
l1) sin
n2
1 s
2
R
(l2
Hale Waihona Puke R)sin 0即：n1(R l1) n2 (l2 R) 0
s
s
或写成：n1 n2 = 1 ( n2l2 n1l1 ) s s R s s
由此可见，l2也和φ的大小有关。从S1发出的单心光
为负值时为倒像。
根据折射定律有 n1y1 n2 y2 m y2 n1l2
l1
l2
y1 n l2 1 24
【例】一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm,两端的 曲率半径为2cm。若在离哑铃左端5cm处的轴上有一物 点，试求像的位置和性质。
解：哑铃左端 的折射面为凸 球面按符号法 则：
R=2cm, l1=-5cm, n’=1.6, n=1.0
在主光轴的F1点上，而球面顶点C到F1的距离可以
表示为
f1
l1
n1 n2 n1
R
F1点也是表示折射面性质的点，称为第一主焦点，
而f1称为折射面的第一焦距。
由以上两式，有 f 2 n 2
f1
n1
折射面的焦距决定于两种介质的折射率和界面的
曲率半径。
焦点有实焦点和虚焦点之分。实焦点是平行光线
经折射后相交的一点；虚焦点是平行光线经折射后
由：n2 n1 n2 n1
l2 l1
R
由 ： 1.611.61 l2 5 2
得 ： l2=16cm
因为像距为正，像和物在折射球面的两侧，所
以是实像。
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哑铃右端的折射面为凹球面按符号法则：
R=-2cm, l1=16cm-20cm=-4cm, n’=1.0, n=1.6
由 ： 1.01.61.01.6 l2 4 2
按照上述规定则有17注公式右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关因而对于一定的介质及一定形状的表面来讲是一个不变量定义此量为光焦度用下式表示
§14-2 光在球面上的折射
一、介绍几个概念
光线在两种折射率不同的透明介质所形成的球形分 界面上发生一次折射后的规律，也称为光在单球面上 的折射。物点与球心的连线称为主光轴，在主光轴附 近并与主光轴夹角很小的光线，称为近轴光线，或傍 轴光线（结合公式讲解）。
3
（d）图球面对光束折射有一定的范围，故对折射光 束的张角有一定的限制。因而对来自像点P’在发散的 光束的范围也有一定的限制。
光线本身不会聚于一点，其延长线也不相交于一 点的光束，称为像散光束。（光束单心性的破坏）
4
折射光束经平面或球面折射后，其折射光束的 单心性一般都要被破坏，光束中所有光线并不相较于 单独的一点，而是相交于两条互相垂直的线段上。一 条称为弧矢焦线，在折射图面内；另一条称为子午焦 线，在垂直于折射图面内。
(3) 曲率半径的符号决定于曲率中心的位置。在凸 状球面的情况下，曲率半径取正值；在凹状球面的 情况下，曲率半径取负值。
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按照上述规定，则有
l1R l2 n2 l1 l2 R n1
A
n1
i θφ
r
S1 C O
n2 S2
l1 l2 n 1 R l2 n 1 l1 l2 n 2 R l1 n 2
ⅴ）上式对凸状球面和凹状球面都是适用的，只需 按照上面的规定调整球面曲率半径的符号就可以了。
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ⅵ）上式也可以用于描述光线在各种球面上的反 射，这时除了应调整球面曲率半径的符号外，还需 令n2=﹣n1。物空间与像空间重合，且反射光线与 入射光线的传播方向恰恰相反。这种情况在数学处 理上可以认为像方介质的折射率等于物方介质折射 率的负值。（仅在数学上有意义）
束经球面折射后，单心性被破坏。
12
近轴条件（旁轴条件）： φ值很小，在一级近似下，
cos φ≈1 .所以下式可写成： 1 s R 2 ( R l1 ) 2 2 R ( R l1 ) co s 2
R ( R l1 ) 2 l1
1
s R 2 (l2 R ) 2 2 R (l2 R ) co s 2
n1
θ
S1
A
i r
φ
C
O
n2 S2
1
有一定关系的光线集合称为光束。从一点发出的光 线形成的光束，称为同心光束，或单心光束。
若光束经光学系统反射或折射后，变成会聚于一点 的光束，或者光束本身虽然不会聚于一点，但光线的 延长线相交于一点，这种反射或折射之后的光束也称 同心光束。
2
(d)
（a）图：来自实物发光点的光束，如果不改变 方向直接进入人眼，则该发光点作为光束的顶点能直 接被看到。（b）、（c）图：由于反射或折射改变了 光线的方向，则光束进入人眼时，人眼的感觉仍以直 接沿刚刚进入瞳孔的光线方向来判断光束发散顶点的 位置因而认为该点有“物”存在。对眼睛来说，“物 点”和“像点”都是进入瞳孔的发散光束的顶点。无 论是实像P’还是虚像P’，人眼看到的是P’而不是实物P。