线性代数课件1-4行列式按行(列)展开

实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
计算方法与步骤
方法：利用行列式按列展开的公式，将 行列式按照某一列的元素进行展开，得 到若干个二阶行列式的乘积。
3. 将求和结果记为行列式的值。
步骤
2. 将该列的元素分别乘以对应的二阶行列 式$M_{ ji}$，并求和。
1. 确定要展开的列，并标记为第$i$列。
实例解析
• 例子：计算行列式$|\begin{matrix} 2 & -1 & 3 \ 1 & 2 & -1 \ -1 & 0 & 1 \end{matrix}|$按第2列展开。
在线性方程组求解中的应用
克拉默法则
克拉默法则是线性方程组求解的一种方法， 行列式按行(列)展开是其中的关键步骤之一 。
消元法
消元法是求解线性方程组的一种常用方法，行列式 按行(列)展开可以简化消元过程。
方程组解的结构
行列式按行(列)展开有助于理解线性方程组 解的结构，如解的个数、解的线性组合等。
在向量空间和线性变换中的应用
线性代数课件：行列 式按行(列)展开
https://
REPORTING
• 行列式的定义与性质 • 行列式按行展开 • 行列式按列展开 • 行列式பைடு நூலகம்行(列)展开的应用 • 总结与思考
目录
PART 01
行列式的定义与性质
REPORTING
WENKU DESIGN
行列式的定义
行列式按行(列)展开的注意事项与技巧
正确选择行或列
在展开行列式时，应选择包含较多非零元素的行或列，以便简化 计算。
注意余子式的计算
在计算行列式值时，需要注意余子式的计算方法，避免出现计算错 误。
熟练掌握代数余子式的性质
了解代数余子式的性质，有助于更快速地计算行列式的值。
行列式按行(列)展开的进一步研究与探索
03
行列式与转置的关系：行列式中元素 的转置不影响其值，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{11} a_{22} & a_{12} end{matrix}|$。
• 解：按照行列式按列展开的公式，有$D = 2M{12} + (-1)M{22} + (1)M_{32}$$= 2 \times \left|\begin{matrix} 2 & -1 \ -1 & 1 \end{matrix}\right| + (-1) \times \left|\begin{matrix} 1 & -1 \ -1 & 0 \end{matrix}\right| + (-1) \times \left|\begin{matrix} 2 & 3 \ 0 & 1 \end{matrix}\right|$$= 2 \times (2 \times 1 - (-1) \times (-1)) + (-1) \times (1 \times (-1) - (-1) \times 0) + (-1) \times (2 \times 1 - 3 \times 0)$$= 2 \times (2 - 1) + (-1) \times (1 + 0) + (-1) \times (2 - 0)$$= 4 + (-1) + (-2)$$= -3$
要点二
公式
假设行列式为$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} end{matrix}|$，按第$i$列展开，则有$D = a_{1i}M_{1i} + a_{2i}M_{2i} + cdots + a_{mi}M_{mi}$，其中$M_{ ji}$表示 去掉第$j$行和第$i$列后的二阶行列式。
探索其他展开方式
01
除了按行(列)展开，还可以研究其他展开方式，如按
块展开等。
深入研究余子式的性质
02 深入了解余子式的性质和计算方法，有助于更准确地
计算行列式的值。
应用拓展
03
将行列式按行(列)展开的方法应用于更广泛的线性代
数问题中，如矩阵的逆、特征值等问题的求解。
THANKS
感谢观看
REPORTING
计算方法与步骤
确定展开的行
选择行列式中的某一行作为基础行，其他行 作为辅助行。
计算组合系数
根据行列式的定义和性质，计算出所选行的 组合系数。
展开行列式
将组合系数与对应行的元素相乘，并求和， 得到展开后的行列式或一个数。
简化结果
根据需要，对展开后的行列式或数进行化简。
实例解析
• 实例1：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
1&2&3 4&5&6 7&8&9
实例解析
实例解析
5&6
end{vmatrix}+2timesbegin{vm atrix}
8&9
01
03 02
实例解析
01
4&6
02
7&9
03
end{vmatrix}+3timesbegin{vmatrix}
实例解析
01 02 03
4&5 7&8 end{vmatrix}=55$。
PART 04
行列式按行(列)展开的应 用
REPORTING
WENKU DESIGN
在矩阵运算中的应用
矩阵乘法
行列式按行(列)展开可以简化矩阵 乘法的计算过程，特别是对于大 型矩阵。
矩阵求逆
通过行列式按行(列)展开，可以快 速计算矩阵的逆，特别是对于可 逆矩阵。
行列式计算
行列式按行(列)展开是计算行列式 值的重要方法之一，特别是对于 高阶行列式。
向量空间
行列式按行(列)展开可以用于判断向量空间是否为有 限维，以及求向量空间的维数。
线性变换
行列式按行(列)展开可以用于研究线性变换的性质， 如变换前后的矩阵是否相似、可对角化等。
特征值和特征向量
行列式按行(列)展开可以用于计算线性变换的特征值 和特征向量，进而研究线性变换的动力学行为。
PART 05
https://
实例解析
01 a & f 02 g & i
03
end{vmatrix}+etimesbegin{vmatrix}
实例解析
01
a&d
02
g&h
03
end{vmatrix}=aei+bfg+cdh$。
PART 03
行列式按列展开
REPORTING
WENKU DESIGN
定义与公式
要点一
定义
行列式按列展开是指将一个行列式按照某一列的元素进行 展开，得到若干个二阶行列式的乘积。
PART 02
行列式按行展开
REPORTING
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定义与公式
定义
行列式按行展开是将行列式中的元素按照某一行的组合进行展开，得到一个更简单的行列式或一个数 。
公式
行列式按行展开的公式为$D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+cdots+a_{1n}A_{1n}$，其中$D$是原行列式， $a_{ij}$是原行列式的元素，$A_{ij}$是去掉第i行后得到的行列式。
总结与思考
REPORTING
WENKU DESIGN
行列式按行(列)展开的意义与价值
简化计算
行列式按行(列)展开可以将复杂的行列式计算转化为简单的代数式 计算，大大简化了计算过程。
理解行列式的结构
通过展开，可以更直观地理解行列式的结构，加深对行列式的理解。
应用广泛
行列式按行(列)展开是解决线性代数问题的重要工具，广泛应用于 矩阵运算、线性方程组求解等领域。