离散数学03谓词和量词

• 例14、15、16
40
作业3

P30 9 a) c) e)、14 a) b) c) P36 3 a) b) c)、5 a) b) c) d) e)
41
• 例：x ( (x+1)2=x2+2x+1 )
“每个人都要死” 如何表示？
14
1.3.3 量词(quantifier)

P(x)：x 是人，Q(x)：x 要死
– P(张三)：张三是人，Q(张三)：张三要死

“每个人都要死”？
– 如果是人，那么要死 P(x)Q(x) – 对每个 x：如果 x 是人，那么 x 要死

练习：将下面命题符号化
– 没有不呼吸的人 – 不是所有的人都喜欢吃糖
19
练习

没有不呼吸的人
– 约定：论域＝{ 所有事物 }
• F(x): x是人, G(x): x呼吸 x ( F(x) G(x) ) x ( F(x) G(x) )
为什么？
20
练习

不是所有的人都喜欢吃糖
• P(2)：2 ＞ 3
5
命题逻辑的局限性 2

三段论
每个人都要死 张三是人 张三要死

实际中经常使用的推理方式
– 在命题逻辑系统中应如何表示？
6
命题逻辑的局限性 2

命题逻辑符号化
每个人都要死 张三是人 张三要死 p q r

在符号化后的形式结构中，看不到推理
7
ห้องสมุดไป่ตู้
命题逻辑的局限性 2

复合命题 p q r
– 0<x+1<5
• 有 4 个整数代入会正确：x 的取值范围={0,1,2,3}
11
1.3.3 量词(quantifier)

论域(domain)：个体变量的取值范围
– 有限论域、无限论域
– 全总论域：包含世界的万事万物
12
1.3.3 量词(quantifier)

量词(quantifier)

实例：将下面命题符号化
1. 论域：人类集合
• 人都爱美
•
有人用左手写字
2. 论域：全总论域
•
•
人都爱美
有人用左手写字
28
1.3.10 翻译语句

论域：人类集合
– 人都爱美：xG(x)
• G(x)：x爱美
– 有人用左手写字：xG(x)
• G(x)：x用左手写字
29
解答
论域：全总论域 (个体变量可以是任意事物)
• a：这个
• F(a)G(a)H(a)
26
1.3.10 翻译语句

这个人正在看那本红皮面的书
– 论域＝全总论域
• F(x,y)：x正在看y
• G(x)：x是人
• H(y)：y是红皮面的 • U(y)：y是书 • a：这个，b：那本 • F(a,b)G(a)H(b)U(b)
27
1.3.10 翻译语句
– 前2个命题：前提(premises) – 最后1个命题：结论(conclusion) – 3个命题整体：论证(argument)

例26、例27
– 为什么这样的推理是有效的?
31
补充：系统规范

所有大于1MB的邮件将被压缩 如果有一个用户被激活，至少要有一个 可用网络连接
32
补充：系统规范
– 表示个体变量取值范围的(特殊)符号

量化(quanification)
– 将个体变量的取值范围进行符号化
13
1.3.3 量词(quantifier)

全称量词(universal quantifier)
– x：论域中“所有的”x

全称量化(universal quanification)
– x P(x)：对论域中“所有的”x，P(x) 都为 真

“每个人都要死”？
– 与上述两个命题函数之间的关联？
• 如果是人，那么要死：P(x)Q(x) “每个人”呢？
10
1.3.3 量词(quantifier)

Ex. 以下公式中 x 属于整数(Z)
– (x+1)2=x2+2x+1
• 任意整数代入均正确：x 的取值范围=Z
– x+1=5
• 只有 1 个整数代入才正确：x 的取值范围={ 4 }

数学语句谓词逻辑表达式
– 例 6、 7 、 8
• 量词隐含在语句中

日常语句谓词逻辑表达式
– 例 11、12、13
• 论域的范围决定量词的使用
38
翻译逻辑表达式为语句(1.4.4)

谓词逻辑表达式日常语句
– 例 9、10
• 注意：尽量简化语句
39
1.4.6 否定嵌套量词

连续地应用否定
– 量词前没有否定词

谓词 P(x) 可以有多个变量：多元谓词
– 例2, 例3

有 n 个变量的谓词 n 元谓词
– 记为 P(x1, x2, …, xn)
3
1.3.1 引言(命题逻辑的局限 1)

程序中的谓词
– 谓词 P(x)：x＞0
例 6 if ( x＞0 ) x = x + 1

程序验证中的谓词
– 前置条件 P(x, y)：{ x = x0, y = y0}
– 人都爱美 F(x)
• x ( F(x)G(x) )
x 是人，G(x)：x 爱美
• 错误的表示！x ( F(x) G(x) )
– 有人左手写字 F(x)
• x ( F(x) G(x) )
x 是人，G(x)：x 左手写字
• 错误的表示！x ( F(x)G(x) )
30
三段论

3 个命题组成的推理链

所有大于1MB的邮件将被压缩
– 论域 = { 所有邮件 }
• S(x)：x大于1MB • C(x)：x被压缩 • x(S(x)C(x))
33
补充：系统规范

如果有一个用户被激活，至少要有一个 可用网络连接
– 论域＝{所有用户}×{所有网络连接}
• A(u)：用户u被激活 • S(i)：网络连接i可用 • u A(u)i S(i)
– 论域＝全总论域
• F(x): x是人, G(x): x喜欢吃糖 • x(F(x)G(x)) • x(F(x)G(x))
21
1.3.10 翻译语句

用谓词将命题符号化
– 墨西哥位于南美洲 –若
2
是无理数，则
3
是有理数
– 如果2>3，则3<4
22
解答

在谓词逻辑中：
– F(a)：论域＝{所有国家}
例 7 temp = x
x=y y = temp
– 后置条件 Q(x, y)：{ x = y0, y = x0}
4
1.3.1 引言(命题逻辑的局限 1)

含变量的陈述句：主语个体词，谓语谓词
– 变量个体变量，陈述句命题函数
• P(x)：x ＞ 3

变量赋值后的陈述句
– 变量值个体常量，陈述句命题
16
1.3.7 绑定变量

绑定变量
自由(free)变量？
– 取值范围被量词绑定(binding)

作用域(scope)
– 量词的作用范围

注意！量词优先级高于逻辑运算符
17
1.3.9 量词的否定

表 1-23(量词的否定定义)
– 否定入内、量词反转 – 注意！只在量词作用域内有效
18
1.3.9 量词的否定
第1章 基础：逻辑和证明
1.3 谓词和量词
1
1.3.1 引言(命题逻辑的局限 1)

含变量的陈述句不是命题？！
– 教室 x 正在上课

命题函数 P(x)≡谓词
– 主语(x)：变量，谓语(P)：x 具有的性质
• 变量被赋值后，谓词 命题 • 谓词本身不是命题！！！
2
例1
1.3.1 引言(命题逻辑的局限 1)

引入命题函数(＝个体词＋谓词)
– 如 P(x)：x 是人，Q(x)：x 要死
• x＝张三 P(张三)：张三是人，Q(张三)：张三要死
– “每个人都要死” 如何表示？
9
命题逻辑的局限性

命题函数：展现出语句的内部结构
– P(x)：x 是人，Q(x)：x 要死
• P(张三)：张三是人，Q(张三)：张三要死
– 表1-24 (注意：与不能随意交换)
36
1.4.2 量词的顺序

练习：设论域为实数域，将下面命题符号化
– 对每一个数x，都存在一个数y，使得x<y
• xyL(x,y)，L(x,y)：x<y
– 存在一个数x，使得对每一个数y，都有x<y
• xyL(x，y)，L(x，y)：x<y
37
翻译语句为逻辑表达式(1.4.3, 1.4.5)
34
1.4 嵌套量词(quantifier)

出现在其他量词作用域内的量词
– 给出表达式中的量词、谓词含义 – 整理含义，争取用简单句子表示 例 1、2

嵌套量词≈多重循环
35
1.4.2 量词的顺序

当不同类型量词交叉嵌套时，顺序很重要
– 、 交叉嵌套 例 3, 4, 5

两个变量的嵌套顺序
– p(每个人都要死)，q(张三是人)，r(张三要死) – p、q、r 是 3 个独立命题 – 明显地，3 句话之间存在关联
• 进一步，是 3 句话的内部成分之间有关联
– 命题逻辑无法表示出这些内部成分及其关系！
8
命题逻辑的局限性

因为：命题逻辑中原子命题是不可分的
– 现在需要分解，才能找出相互之间的关系
• 令F(x)：x是大学生 • 令a：王强，b：李华 • F(a)F(b)
24
1.3.10 翻译语句

中国代表团访问朝鲜
– 论域＝｛所有国家｝
• F(x, y)：x 访问 y • a：中国代表团，b：朝鲜 • F(a, b)
25
1.3.10 翻译语句

这座大楼建成了
– 论域＝｛所有楼宇｝
• F(x)：x建成了 • G(x)：x是大的 • H(x)：x是楼
• a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲
– F(
2 )G( 3)：论域＝{实数}
• F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数
– F(2, 3)G(3, 4)：论域＝{整数}
• F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y
23
1.3.10 翻译语句

王强是大学生李华也是大学生
– 论域＝{所有大学生}
x ( P(x)Q(x) )
15
1.3.3 量词(quantifier)

存在量词(existential quantification)
– x：论域中存在一个 x

存在量化(existential quantification)
– x P(x)：论域中存在一个 x，使 P(x) 为真
• 例：x ( x+1=5 )