初中数学教学课例《二次函数的定义》教学设计及总结反思

关系引入二次函数：
“说出这个变化过程中，改变半径 r，圆有什么改 变？”
1：周长与半径关系：y=2π·r； 2：面积与半径关系：S=π·r2. 环节二实际建模，归纳概念 为了便于类比，给出的是学生容易上手的问题，引 发学生基于方程模型建立二次函数概念。 1.某企业今年第一季度的产值为 80 万元，预计产 值的季平均增长率为 x. 设第二个季度的产值为 z 万元，z=______ 设第三季度的产值为 y 万元，y=______ 2.某水果店销售一种水果的成本价是 5 元千克。在 销售中发现，当这种水果的价格定为 7 元千克，每天可 以卖出 160 千克。在此基础上，这种水果的单价每提高 1 元千克，该水果店每天就会少卖出 20 千克。设这种 水果的单价提高了 x 元千克。 （1）每天实际销售的水果量 z 用表示，那么用含 x 的代数式来表示 z=______；（2）若该水果店每天销 售这种水果所获得的利润用 y 表示，那么用含 x 的代数 式来表示 y=______。 3.如图，正四边形有 2 条对角线，正五边形有 5 条对角线，正六边形有 9 条对线，如果正多边形的边数
初中数学教学课例《二次函数的定义》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《二次函数的定义》
称
二次函数初中阶段的函数学习是为高中数学的学
习做铺垫的,作Βιβλιοθήκη 教师我们要在函数教学的过程中为学生奠定初步的函数思想，是在学生学习了正比例函数和
一次函数，对于函数已经有所认识，从一次函数的学习 教材分析
中大家已经知道学习函数大致包括以下内容：1.通过具
关系的过程，进一步体会如何用数学的方法描述变量之
间的关系。
3.情感与态度
(1)把数学和实际问题相联系，从学生感兴趣的问
题入手，能使学生积极参与数学教学活动，对数学有好
奇心和求知欲；(2)使学生初步体会数学与人类生活的
密切联系及对人类发展的作用。
学生对函数相关知识已经陌生，第一课时应对上学
段的一次函数和正比例函数的知识做一个回顾，让学生
用 x 表示，设从一个顶点出发可做 z 条对角线，那么用 含 x 的代数式来表示 z，z=______；这个正多边形共有 y 条对角线，那么用含 x 的代数式来表示，y=______。
…… 上面问题完成后让学生先分组交流然后展示，订正 答案。 通过师生共同探讨，得到了以下八个关系式： 引导学生观察化简后的关系式： z=2πry=πr2 z=80x+80y=80x2+160+80 z=x-3y=-x2-x y=-20x+160y=-20x2+120x+320 思考归纳： （1）y，z 都是 x 的函数吗？它们的表达式有什么 相同和不同？ （2）你能写出它们的一般形式吗？ 学生很容易得出第（1）组是一次函数，一般式是 z=kx+b（k≠0）形式. 对于右边这组问题，学生需要经过辨析、类推的思 维过程，得出：①它们都是含自变量的二次式；②一般 式有三项，并按自变量的降幂排列；③各项系数用 a、 b、c 来表示，a≠0 是必不可少的条件。教师需要在学
师：若该球运动的轨迹是抛物线，解析式就是这个 y=x2+x+，当 x 表示运动中的球到 y 轴的水平距离，y 表示球到地面的距离，爱打篮球的看过来，看（7，3） 这个点是否在图像上？满足这个二次函数的解析式，显 然点在抛物线上，因此可以投中。
环节四感悟总结梳理分享 在本节课上，从哪些方面认识了二次函数，对二次 函数的探究从哪里开始的？接下来我们学习了什么？ 根据你的经验，后面几课我们将会学习二次函数的哪些 方面的知识？ 作业： 1.课本 27 页 A 组第 1、2、3 题； 2.完成一起探究的第 1 题，P27 的“做一做”； 3.请在同一坐标系中画出 y=x2 与 y=-x2；y=2x2 与 y=-2x2 的图像.
1.等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； 2.a，b，c 为常数，且 a≠0； 3.等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项； 4.x 的取值范围可以是任意实数。 进而组织学生活动以巩固概念：指导学生设计二次 函数的例子并指出其二次项系数、一次项系数和常数 项。对比二次函数与一次函数、反比例函数的不同，联 想二次函数的图像，性质和应用。 环节三表达与应用 请同学们填空并观察表格中数据的变化，引导学生 发现二次函数的增减性，对称性和最值，使学生发现二 次函数的图像一定不是直线，一定不是双曲线，描点得 出图像——抛物线。
性质，用二次函数的观点审视一元二次方程，用二次函
教学策略选 数的相关知识分析和解决简单的实际问题。其图像因为
择与设计 是曲线，关系式变化形式多，应用比较复杂，学习难度
较大。教学中，应抓住重点组织教学，立足整体设计教
法，帮助学生系统把握二次函数的图像和性质，明晰二
次函数应用的方法。
环节一导学
教学过程
从学生熟悉的基础知识——圆的半径与周长、面积
重温学习函数应该从下面四个方向：认识函数；研究图 学生学习能
像及其性质；利用函数解决问题；函数与相应方程的关 力分析
系。在通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系
的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变
量之间关系的体验。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的
数学模型，初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和
中学数学中的许多概念，特别是一些基本概念，与 现实生活有密切联系。
数学和教学活动必须建立在学生的认知发展水平 课例研究综
和已有知识经验基础上。二次函数第一课时，教材中安 述
排的内容不多，但学生对函数的知识已经生疏，接受起 来不会很顺利。因此，我设计的是从温故知新开始，通 过复习引出课题、创设情境、探究新知、例题学习、内
生结论中强调二次函数比一次函数多了一项，叫“二次 项”，由此顺利得出“二次函数”概念：
一般地，如果两个变量 x 和 y 之间的函数关系可以 表示成 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0），那 么称 y 是 x 的二次函数。期中 a 叫二次项系数，b 叫一 次项系数，c 叫常数项。
下面是概念的精致化过程。一般式特征强调几个需 要注意的：
体的事例认识这种函数；2.探索这种函数的图像与性
质；3.利用这种函数解决实际问题；4.探索这种函数与
相应方程的关系。
1.知识与技能
(1)探索并归纳二次函数的定义；(2)能够表示简单
变量之间的二次函数关系。
2.过程与方法
(1)感悟新旧知识之间的关系，让学生深刻体会到 教学目标
数学中的类比思想；
(2)经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数
化新知、练习反馈、巩固新知等几个数学活动，引导学 生用类比的思想，用已知的知识
经验总结归纳出新知识。活动中也注意了学生的知 识与实际问题的联系，使学生充分体会数学源于生活又 服务于生活。