高中数学第二章函数2.1函数2.1.4函数的奇偶性(一)bb高一数学

12/13/2021
知识点二 已知函数的奇偶性求值
3．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y＝f(x)的图象关于直
线 x＝12对称，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．－1
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解析：A 由题可知 f(0)＝0，∴f(1)＝f(0)＝0， f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝0， f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝0， f(4)＝f(－3)＝－f(3)＝0， f(5)＝f(－4)＝－f(4)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0，故选 A．
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2．下列函数既是偶函数，又在区间(－∞，0)上为增函数的
是( )
A．y＝－2x
B．y＝－2x
C．y＝－x2
D．y＝|x|
答案：C

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3．已知 f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且 f(－2)＝10，那么 f(2)等
于( )
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
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知识点一 判定函数的奇偶性
1．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的为
() A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝－1x
D．y＝x|x|
解析：D y＝－x3，y＝－1x，y＝x|x|是奇函数，
y＝x|x|在 R 上是增函数，故选 D．
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2．下列判断正确的是( )
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11．f(x)为奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x|x－2|，求 x<0 时，f(x) 的表达式．
解：x<0 时，－x>0， ∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|. ∵f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x|x＋2|， ∴f(x)＝x|x＋2|. 故所求表达式为 f(x)＝x|x＋2|(x<0)．
22＝12，∴x0＝－
2 2.
答案：－
2 2
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知识点三 利用函数的奇偶性求解析式
5．已知函数 y＝f(x)在 R 上有定义，且其图象关于原点对称， 当 x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3，试求 f(x)在 R 上的表达式．
解：因为函数 y＝f(x)在 R 上有定义，且其图象关于原点对 称，所以函数 y＝f(x)是奇函数，f(0)＝0，
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解析：由题知 f(0)＝－f(2)，∴f(2)＝－f(0)． 又 f(x)是奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0. ∴f(2)＝0.故①正确； ∵f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴②正确；③不正确； ∵f(x)是奇函数， ∴f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)． 故④正确．∴①②④正确． 答案：①②④
第二章 函 数
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2.1 函 数 2.1.4 函数的奇偶性(一)
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基础知识点对点 课后拔高提能练
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| 学习目标|
1．理解函数奇偶性的含义； 2．会运用函数奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性及解 决一些简单的问题.
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基础知识点对点
A．函数 f(x)＝xx2－－22x是奇函数
B．函数 f(x)＝(1－x)
11＋－xx是偶函数
C．函数 f(x)＝|x＋61|6＋－|xx－2 4|是偶函数
D．函数 f(x)＝1(x∈[－1,1])既是奇函数又是偶函数
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解析：C A 选项，函数 f(x)＝xx2－－22x的定义域是(－∞，2) ∪(2，＋∞)，所以不关于原点对称，函数 f(x)＝xx2－－22x不是奇函
2，0)∪(0，
2]，∴f(x)＝
2－x2 x.
f(－x)＝ 2－－－x x2＝－ 2－x x2＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
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6．已知偶函数 f(x)满足当 x>0 时，3f(x)－2f1x＝x＋x 1，则 f(－2)等于( )
A．183
B．43
C．145
D．185
解析：D
由题可得33ff122－－22ff212＝ ＝2313， ，
∴f(2)＝185，又 f(x)
是偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝185，故选 D．
解析：A 令 g(x)＝x5＋ax3＋bx，则 g(x)为奇函数．
∴f(－2)＝g(－2)－8＝－g(2)－8＝10，g(2)＝－18，
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
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4．若函数 f(x)＝2x＋1xx－a为奇函数，则 a＝(
)
A．12
B．23
C．34 解析：A
D．1 ∵f(x)＝2x＋1xx－a为奇函数，
解析：由题意得23－ ＋b2＝ a＋0， 1＝0， 得ba＝ ＝2－，2. ∴a＋b＝0. 答案：0
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9．若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x－2)＝－f(x)，给出 下列 4 个结论：
①f(2)＝0； ②f(x)＝f(x＋4)； ③f(x)的图象关于直线 x＝0 对称； ④f(x＋2)＝f(－x)． 其中所有正确的结论的序号是__________．
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12．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x4－2x2＋3，x∈(－4,4]； (2)f(x)＝x3xx－－11； (3)f(x)＝|3x＋2|－|3x－2|； (4)f(x)＝|x＋22－|－x22.
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解：(1)∵f(4)有意义，而 f(－4)无意义，定义域不关于原点
∴f(－1)＝－f(1)，即－－－11－a＋311－a＝0，
得 a＝12.
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5．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意 x∈R，都有 f(x
＋4)＝f(x)，若 f(－3)＝2，则 f(7)等于( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
解析：D f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝－f(－3)＝－2，故选D．
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二、填空题 7．已知 y＝f(x)是奇函数，若 g(x)＝f(x)＋2，且 g(1)＝1，则 g(－1)＝________. 解析：g(1)＝f(1)＋2＝1，∴f(1)＝－1， g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)＋2＝3. 答案：3
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8．若 f(x)＝ax2＋(2－b)x＋1 是定义在[3＋2a,1]上的偶函数， 则实数 a＋b 的值为________．
对称，∴f(x)为非奇非偶函数． (2)由题意得 f(x)＝x3(x≠1)，∵f(－1)有意义，f(1)无意义，
定义域不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数． (3)定义域为 R.∵f(－x)＝|－3x＋2|－|－3x－2|＝|3x－2|－|3x
＋2|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(4)∵f(x)的定义域是[－
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4．已知定义在(－1,1)上的奇函数 f(x)，当 x∈(0,1)时，f(x)
＝x2－1，若 f(x0)＝12，则 x0＝________. 解析：若 x∈(0,1)，f(x)＝x2－1<0，
令 f(x)＝－12，
∴x2－1＝－12，x＝ 22，∴f 22＝－12，
根据奇函数的性质，f－
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∵1≤x1<x2， ∴x2－x1>0,2x1x2－2>0， x21＋1>0，x22＋1>0， ∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)， ∴函数 y＝x22＋x 1在[1，＋∞)上是减函数．
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(2)f(x)的定义域为 R， f(－x)＝－2x－2＋x 1＝－x22＋x 1＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
数；
B 选项，函数 f(x)＝(1－x)
11＋ －xx的定义域是[－1,1)，不
关于原点对称，所以该选项为错的；
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C 选项，函数 f(x)＝|x＋61|6＋－|xx－2 4|的定义域是[－4，4]，关 于原点对称，
∵函数 f(x)＝|x＋61|6＋－|xx－2 4|＝ 161－0 x2，f(－x)＝f(x)， ∴函数 f(x)＝|x＋61|6＋－|xx－2 4|是偶函数； D 选项，函数 f(x)＝1(x∈[－1,1])是偶函数，不是奇函数．故 选 C．
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三、解答题 10．已知函数 f(x)＝x22＋x 1. (1)用定义证明该函数在[1，＋∞)上是减函数； (2)判断该函数的奇偶性． 解：(1)证明：设 1≤x1<x2，∴f(x1)－f(x2)＝x212＋x11－x222＋x21 ＝2x1x22＋x12＋2x11－x222x＋21x12－ 2x2＝x2x－21＋x112xx221＋x2－12.
当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝x2＋2x＋3， y＝f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x－3，
x2－2x＋3，x>0， ∴f(x)＝0，x＝0，
－x2－2x－3，x<0.
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课后拔高提能练
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一、选择题 1．设 f(x)是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A．f(x)·f(－x)是奇函数 B．f(x)·|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 解析：D 设 g(x)＝f(x)＋f(－x)， 则 g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)， ∴f(x)＋f(－x)是偶函数．故选 D．