福建省宁德市部分达标中学2020-2021学年高二上学期期中联合考试数学试题

2020—2021学年宁德市部分达标中学第一学期期中联合考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分）
注意事项：1．答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚． 2．每小题选出答案后，填入答案卷中．
3．考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“()2
1,2,320x x x ∀∈-+<”的否定为（ ） A. ()2
1,2,320x x x ∀∈-+≥ B. ()2
1,2,320x x x ∀∈-+> C. ()2
0001,2,320x x x ∃∈-+≥
D. ()2
0001,2,320x x x ∃∈-+>
C
根据全称命题的否定为特称命题即可得出. 全称命题的否定为特称命题,
∴“()21,2,320x x x ∀∈-+<”的否定为“()2
0001,2,320x x x ∃∈-+≥”.故选：C.
2. 已知():2,:10p x q x x <-<，则p 是q 的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充要条件
A
由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
():2,:1001p x q x x x <-<⇔<<， 由:2,p x <得不到:01q x <<； 由:01q x <<，可得:2,p x <
所以p 是q 的必要不充分条件.故选：A.
3. 在空间直角坐标系O xyz -中，()()2,0,4, 1,2,1P Q --，M 是OP 中点，则|QM |=（ ）
C
先由中点坐标公式求出M 坐标，即可由空间两点间距离公式求出QM .
()()2,0,4, 1,2,1P Q --，M 是OP 中点， ()1,0,2M ∴-，
QM ∴=
=故选：C.
4. 已知圆()22
12)(1x y -++=上一点P 到直线3430x y --=的
距离为d ，则d 的最小值为
（ ） A. 35
B.
45
C. 1
D. 2 A
先求出圆心到直线的距离，再减去半径即可.
可知圆()22
12)(1x y -++=的圆心为()1,2-，半径为1，
85
=
， 则min 83
155
d =-=.故选：A.
5. 已知直线l 过抛物线2(:0)2C x py p =>的焦点，且与该抛物线交于, M N 两点，若线段MN 的长是16，MN 的中点到x 轴的距离是6，则p 值为（ ） A. 16 B. 12
C. 8
D. 4
D
设MN 中点为P ,过M 、N 、P 分别作准线的垂线，利用抛物线的可得16MA NB +=，进而利用中位线定理得8622
p p
PQ -
=-=，从而得解. 设MN 中点为P ,过M 、N 、P 分别作准线的垂线，如图所示：
则MA MF =，NB NF =，所以16MA NB MF NF +=+=， 所以中位线82
MA NB
PQ +=
=， 所以则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为8622
p p
PQ -=-=， 解得4p =故选：D.
6. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，倾斜角为45︒的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，AB 的中点
是(4,1)M -则椭圆的离心率是（ ） 5
B.
32
C.
22
D.
12
B 【
分析】
联立直线与椭圆方程，利用中点建立关于,,a b c 等量关系即可求出. ∵直线l 的倾斜角为45︒，∴直线l 的斜率为1， 又AB 的中点是()4,1M -，
∴直线l 的方程为14y x -=+，即5y x =+．
联立222251
y x x y a
b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222222
10250a b x a x a a b +++-=．
设()11,A x y ，()22,B x y ，则2
122
2
108a x x a b -+==-+，
又222b a c =-，整理得2234a c =，
即2234c a =
，可得c e a == B. 7. 若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与
y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ） A. 24480y x y -++= B. 22220y x y +-+= C. 2210y x y ---= D. 24250y x y +-+=
D
首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程.
由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，
()()2
2
22222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，
所以21
11a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -
设(),P x y ，由条件可知PC x =
x =，
两边平方后，整理为24250y x y +-+=.故选：D
2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.
8. 双曲线22
:1169
x y C -=的左、右焦点为1F 、2F ，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ
是12,F PF ∠的平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ |的值为（ ） A. 3 B. 4
C. 5
D. 不确定，随P 点位置
变化而变化 B
先画出双曲线和焦点三角形,由题意可知PQ 是MF 1的中垂线，再利用双曲线的定义和中位线定理，数形结合即可得结果.
过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，交PF 2的延长线于M ，由三角形PF 1M 为等腰三角形，
可得Q 为F 1M 的中点，
由双曲线的定义1222||||||||||28PF PF PM PF F M a -=-===，由三角形的中位线定理可得
21
||||42
OQ F M a =
==，故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于命题0:R p x ∃∈，使得001
2x x +
>，则:R p x ⌝∀∈，均有12x x
+≤ B. “2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件
C. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”
D. 若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 ABC
利用特称命题的否定可判断A 选项的正误；利用集合的包含关系可判断B 选项的正误；利用逆否命题与原命题的关系可判断C 选项的正误；利用复合命题的真假与简单命题的真假可判断D 选项的正误.
对于A 选项，命题p 为特称命题，该命题的否定为:R p x ⌝∀∈，均有1
2x x
+≤，A 选项正确； 对于B 选项，解方程2320x x -+=，解得1x =或2x =，
{}2 {}1,2，所以，“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，B 选项正确；
对于C 选项，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，C 选项正确；
对于D 选项，若p q ∧为假命题，则p 、q 中至少有一个假命题，D 选项错误.故选：ABC.
10. 已知曲线C 的方程为221(k R),4x y k k
+=∈-则下列结论正确的是（ ）
A. 当2k =时，曲线C 为圆
B. 当2k =-时，曲线C
为双曲线，其渐近线方程为3
y x =± C. “02k <<”是“曲线C 表示椭圆”
的
充分不必要条件 D. 存在实数k 使得曲线C AC
对A ，代入2k =即可判断；对B ，代入2k =-即可求出渐近线进行判断；对C ，求出曲线C 表示椭圆对于的k 的范围即可判断；对D 的双曲线为等轴双曲线. 对于A ，当2k =时，曲线C 的方程为222x y +=表示圆，故A 正确；
对于B ，当2k =-时，曲线C 的方程为22
162y x -=表示焦点在y 轴上的双曲线，渐近线为
y =，故B 错误；
对于C ，若曲线C 表示椭圆，则0
404k k k k >⎧⎪
->⎨⎪≠-⎩，解得k 的范围为()
()0,22,4，所以“02k <<”是“曲
线C 表示椭圆”的充分不必要条件，故C 正确；
对于D ，若曲线C 为双曲线，则()40k k -<，解得0k <或4k >，则双曲线为等轴双曲线，即4k k =-，无解，故不存在这样的实数k .故选：AC.
11. 设圆222()O : 0x y r r +=>，点()3, 4A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的可能取值（ ） A. 3 B. 4
C. 5
D. 6
BCD
将问题转化为以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.
根据题意设以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A
所以圆222:()0O x y r r +=>，圆心为()0,0O ，半径为r ，则两圆圆心距为：5OA = 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2，所以圆O 与圆A 相交 所以252r r -<<+，解得：37r <<. 所以r 的取值范围是：()3,7.故选：BCD
12. （多选）已知12,F F 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线22
22221x y a b -=（220a b >>）的
公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123
F PF π
∠=
，则以下结论正确的是（ ）
A. 2222
1122a b a b -=-
B. 22
123b b =
C. 221211144e e +=
D. 22
12e e +的最小值为3
1+
BD
根据椭圆与双曲线有相同的焦点可判断A ，根据椭圆与双曲线的定义及余弦定理可判断B ；由
分析B 中所得结论222
1234a a c +=可判断C ；利用“1”的变形及均值不等式即可判断D.
由题意可得22221122a b a b -=+，所以A 错误；
可设P 是第一象限的点，1||PF m =，2||PF n =， 由椭圆的定义可得12m n a +=，22m n a -=，
解得12m a a =+，12n a a =-，又2222
2112
2a b a b c -=+=， 因为123
F PF π
∠=
，在△12F PF 中，由余弦定理可得
2222221212121241
cos 222
PF PF F F m n c F PF PF PF mn +-+-∠===
，
化为2221234a a c +=，则222222
1212
3(33)0b b a c c a -=---=，故B 正确； 由2
22
1
2
34a a c +=，可得22
122234a a c c +=，即有2212
134e e +=，故C 错误；
由222
222211
2
1222221212311311()()(13)(423)444
e e e e e e e e e e +=++=++++，当且仅当2
22
13e e =， 取得等号，即有22
12e e +的最小值为31，故D 正确．故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知命题2:[1,2],1p x x k ∀∈-≥为假命题，则k 的取值范围为__________．
0,
由命题p 的否定为真命题，再求出()2
min 1x -，即可得出k 的取值范围.
命题2:[1,2],1p x x k ∀∈-≥为假命题，则命题2:[1,2],1p x x k ⌝∃∈-<为真命题 即[1,2]x ∃∈，使得21x k -<成立
因为[]2
10,3x -∈，所以()2min 10x -=，即0k >
故答案为：0,
14. 已知双曲线2
2
2 1 )0(y x a a -=>的两个焦点分别为()()122,0,2,0,F F P -为双曲线上一点，且
1260F PF ∠=︒，则12||PF PF ⋅等于__________；
12
由双曲线的焦点坐标求出c ，然后推出双曲线方程，利用双曲线的定义可得122PF PF -=，结合余弦定理，即可得结果．
因为双曲线2
2
2 1 )0(y x a a
-=>的两个焦点分别为()()122,0,2,0F F -，
所以2c =，1a =，
由双曲线的定义可得122PF PF -=，2
2
112242PF PF PF PF =-+， 余弦定理可得2
2
2
2
12121212162cos60PF PF PF PF PF PF PF PF =+-︒=+-， 即12||=12PF PF ⋅， 故答案为：12.
15. 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________． 2x ＋y －7＝0
过一点作圆的切线只有一条，说明点在圆上，根据垂直关系即可求该切线方程. ∵过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， ∴点(3,1)圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，
∵圆心与切点连线的斜率k ＝1031--＝1
2
， ∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 故答案为：2x ＋y －7＝0
16. 已知椭圆22
:143
x y C +=过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 位于x 轴上方）
，若2AF FB =，则直线l 的斜率k 的值为__________．
± 由题可得122y y -=，联立直线与椭圆，利用韦达定理建立关系即可求出. 由题，点A 位于x 轴上方且2AF FB =，则直线l 的斜率存在且不为0，
()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，则可得122y y -=， 设直线l 方程为1x ty =+，
联立直线与椭圆22
143
1x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
可得()22
34690t y ty ++-=， 122122634934t y y t y y t ⎧
+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=
⎪+⎩
，2222269,23434t y y t t -∴=-=++，
2
22
6923434t t t -⎛⎫
∴-= ⎪++⎝⎭
，解得t =±，
则直线的斜率为±
.
故答案为：±
. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知:|3|<1,:p a q -方程220x ax a -+=有实数根，再从条件①、②这两个条件中选择一个作为已知，求a 的范围．
条件①p q ∨为假； 条件②()p q ∧⌝为真．
注：如果条件①和条件②都解答，按第一个解答计分． 选条件①，(]
[)0,24,8；选条件②，()2,4.
选条件①，先求出,p q 为真时对应的a 的范围，再根据p q ∨为假可得p ，q 都是假命题，即可求出；
选条件②，先求出,p q 为真时对应的a 的范围，再根据()p q ∧⌝为真可得p 真q 假，即可求出. 解：选条件①作为已知，解答如下： p 为真命题时，31a -<，解得24a <<， q 为真命题时，280a a -≥，解得0a ≤或8a ≥． ∵p q ∨为假命题，∴p ，q 都是假命题，
可得2408a a a ≤≥⎧⎨<<⎩或，即02a <≤或48a ≤<，
所以a 的取值范围为(]
[)0,24,8．
选条件②作为已知，解答如下：
p 为真命题时，31a -<，解得24a <<， q 为真命题时，280a a -≥，解得0a ≤或8a ≥， ∵()p q ∧⌝为真命题，∴p 是真命题，q 是假命题，
可得,2408a a <<⎧⎨<<⎩，即24a <<． 所以a 的取值范围为()2,4.
18. 已知()()()22:3400,q :112x y p m a m a a m m
--<>+=--．
（1）若q 表示双曲线，求实数m 的取值范围；
（2）若q 表示焦点在y 轴上椭圆，且q ⌝是p ⌝中的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． （1）()
()–,12,∞+∞；（2）13,38⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
（1）根据曲线方程，列式()()120m m --<，求m 的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，m 的取值范围，根据命题的等价性转化为p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数a 的取值范围.
（1）由()()120m m --<，
得1m <或2m >，即()()–,12,m ∈∞⋃+∞
（2）命题p ∶由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．
命题q ∶22
112x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆， 则102021m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得312m <<， 因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件， 则31342a a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤， 故实数a 的取值范围为：13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 19. 从圆外一点()4,4P -作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ．
（1）求以OP 为直径的圆的方程；
（2）求线段AB 的长度．
（1）()()22228x y ++-=；（2
）. （1）由已知求得圆心和半径可得所求的圆的方程；
（2）由已知得A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．联立两圆的方程得直线AB 的方程为4410x y -+=，再由点到直线的距离公式可求得线段AB 的长度．
（1）∵所求圆的圆心为线段OP 的中点()2,2-
，半径为1||2OP == ∴以OP 为直径的圆的方程为()()22
228x y ++-=．
（2）∵PA 、PB 是圆22:1O x y +=的两条切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，
∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．
由2222(2)(2)81
x y x y ⎧++-=⎨+=⎩得直线AB 的方程为4410x y -+=，
O 点到直线AB 的距离为8
d =，
线段AB 的长度为4AB ==．
20. 已知抛物线2:y 2)3(0C px p <<=，其焦点为F ，点(,Q m 在抛物线C 上，且|QF |=4，过点(4,0)的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，连结OA ，OB ．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）证明：OA OB ⊥．
（1）24y x =；（2）证明见解析.
（1）由点在抛物线上，焦半径的长|QF |=4，列方程求p ，写出抛物线方程；
（2）讨论直线l 斜率的存在性，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，结合向量数量积的坐标表示有0OA OB ⋅=，则OA OB ⊥即得证.
解：（1）由(,Q m 在抛物线C 上可得，212pm =， 由4QF =可得，42
p m +
=， ∵03p <<，
∴2p =，3m =．
抛物线的方程为24y x =．
（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =，易求得()4,4A -，()4,4B (4,4)OA =-，(4,4)OB =，16160OA OB ⋅=-=,此时OA OB ⊥成立．
当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()4y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由24(4)
y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得24160ky y k --=，216640k ∆=+>，124y y k +=，1216y y =-， 2121212121()1616016
OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=此时OA OB ⊥成立，
综上可得，OA OB ⊥．
21. 已知圆()()22
:334,C x y ++-=一动直线l 过点(4,0)P -且与圆C 相交于A ．B 两点，Q 是AB 的中点，直线l 与直线:360m x y ++=相交于E ．
（1）当|AB |=l 的方程；
（2）判断PQ PE ⋅值是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由． （1）43160x y -+=和4x =-；（2）无关，2PQ PE ⋅=-.
（1）设出直线l 的方程，当直线l 的方程为4x =-时，由勾股定理求出||AB =，满足题意，当直线l 的方程为()4y k x =+时，根据点到直线的距离公式求出直线l 的方程； （2）当直线l 的方程为4x =-时，求出24,3E ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，()4,3Q -，()40P ,-，再由数量积公式得出2PQ PE ⋅=-，当直线l 的方程为()4y k x =+时，与圆的方程联立，利用韦达定理求出12x x +，12x x ⋅，结合中点坐标公式得出点Q 坐标，再由()
4{360y k x x y =+++=求出点E 坐标，最后由数量积公
式证明PQ PE ⋅值与直线l 的倾斜角无关.
（1）∵||AB =，2r ，∴1d ==
设直线l 的方程为()4y k x =+或4x =-
①当直线l 的方程为4x =-时
∴()341d =---=，||AB ==
②当直线l 的方程为()4y k x =+时，
1d ==，43k = ∴4(4)3
y x =+，即:43160l x y -+= 综上所述：直线l 的方程为43160x y -+=和4x =-．
（2）设直线l 的方程为()4y k x =+或4x =-
①当直线l 的方程为4x =-时，24,3E ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，()4,3Q -，()40P ,-
(0,3)PQ =，20,3PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴2PQ PE ⋅=- ②当直线l 的方程为()4y k x =+时，22(4)(3)(3)4y k x x y =+⎧⎨++-=⎩
整理得()2222
()(18664350)k x k k x k ++-++-+=
设11(,)A x y ，22(,)B x y 212221228661(43)5
1k k x x k k x x k ⎧-++=-⎪⎪+⎨-+⎪⋅=⎪+⎩，21212234221y y x x k k k k +++⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭ 22224333,11k k k k Q k k ⎛⎫-++- ⎪++⎝
⎭，()40P ,-，222313,11k k k PQ k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭ 由()
4{360y k x x y =+++=得1262,3131k k E k k ---⎛⎫ ⎪++⎝⎭ 22,3131k PE k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，∴222221k PQ PE k --⋅==-+． 综上所述：PQ PE ⋅值与直线l 的倾斜角无关，其值为2-．
22. 已知A ，B 分别为椭圆22
22:+=1(>>0)x y E a b a b
的左右项点，G 为E 的上顶点，直线AG ，BG 的斜率之积为34-，且点3(1,)2
P 在椭圆上． （1）求椭圆E 的方程；
（2）过点(1,0)F 的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，交直线=4x 点Q ．设直线,,PC PD PQ 的斜率分别为123,,.k k k 问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在求λ的值；若不存在，说明理由．
（1）22
143
x y +=；（2）存在实数2λ=. （1）由椭圆方程确定A ，B ，G 的坐标，再由已知条件有22
191344AG BG a b k k +⎧⋅=-⎪⎪⎨=⎪⎪⎩即可求得2a ，2b ，
写出椭圆E 的方程；
（2）由题意有直线l 的方程为(1)y k x =-，联立椭圆方程、设11(,)C x y ，22(,)D x y ，()4,3Q k ，结合根与系数关系有12x x +，12x x ⋅，由斜率的两点公式可证1232k k k +=，即可确定λ的值； 解：（1）由题意，(),0A a -，(),0B a ，()0,G b ，
22
341914AG BG a b b b k k a a ⎧⋅=⋅=-⎪⎪-⎨+=⎪⎪⎩，解得24a =，23b =， 故椭圆E 的方程为：22
143
x y +=． （2）存在实数2λ=满足题意；由（1）知椭圆E 的方程：2234120x y +-=，
直线l 的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程并整理，得2223484120()k x k x k +-+-=，
设11(,)C x y ，22(,)D x y ，()4,3Q k 则有2122834k x x k +=+，2
12241234k x x k -⋅=+， ()()121212121233331122221111y y k x k x k k x x x x -
-----+=+=+----2
21222121222
82233342241282()12131234k x x k k k k k x x x x k k -+-+=-⋅=-⋅-⋅-++-+-+22222386822412834k k k k k k --=-⋅--++21k =-，
33
32222141k k k -
=⋅=--，即1232k k k +=， 故存在实数2λ=满足题意．。