幂函数教学设计

§2.3幂函数(一)
一．教材分析
幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。

通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

二．学情分析
学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

三．教学目标
1．知识目标
（1）通过实例，了解幂函数的概念；
（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；
（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2．能力目标
在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3．情感目标
通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意
识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

四．教学重点常见的幂函数的图象和性质。

五．教学难点画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。

六．教学用具多媒体
七．教学过程
（一）创设情境（多媒体投影）
问题一：下列问题中的函数各有什么特征？
（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．
（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数．
（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．
由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．
问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？
这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝x a的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：§2.3幂函数
（二）、建立模型
定义：一般地，函数y＝x a叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。

（投影幂函数的定义。

）
深化认知（1）下列函数是幂函数的是：
A．y=2x+1 B．y=3x2 C．y=x-3 D．y=1
（2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？
学生回答，老师点评。

引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。

通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。

为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。

（三）问题探究
1. 对于幂函数y＝x a，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质．
填表
以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质．
2. 在同一坐标系中，画出y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝，y ＝x -1的图像，并
归纳出它们具有的共同性质．
学生回答，老师点评：幂函数的性质． （1）函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝
，y ＝x -1的图像都过点（1，1）；
（2）函数y ＝x ，，y ＝x 3，y ＝x -1是奇函数，函数y ＝x 2是偶函数; （3在（0，＋∞）上, 函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝是增函数，函数y
＝x -1是减函数；
（４）在第一象限内，函数y ＝x -1图像向上与y 轴无限接近；向右与x 轴无限接近。

（四）解释应用
例1．写出下列函数的定义域，并指出奇偶性：（投影） ①y=x 3
②y=x 2
1 ③y=x 2
- ④y=x 3
2
学生解答，并归纳解决办法。

引导学生与指数函数、对数函数对照比较。

（演示）
例２．比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：
①0.752
1，0.762
1；②(-0.95)3
1，(-0.96)3
1； ③0.23
53-，0.24
5
3-
；④0.313.2，0.314.2
学生思考、作答，教师引导学生叙述语言的逻辑性。

注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像例题这一基本思路． （五）拓展延伸
探究：①已知(a+1)2
1-<(3-2a)2
1-,试求a 的取值范围。

②观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？
（六）归纳小结
今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？
（七）布置作业：
课本第８７页 2、3题
思考：幂函数y=(m2-3m-3)x m在区间()
,0上是减函数，求m的值。

+∞
教学后记
（１）本节课开始时要注意用相关熟悉例子引入新课。

（２）画函数图象时，如果学生已能够运用计算器或相关计算机软件作图，可以让学生自己操作，以提高学生探索问题的兴趣和能力，并提高教学效率。

（３）由于课程标准对幂函数的研究范围有相对限制，故要求较低。

（４）由于幂函数的性质随幂指数的改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中象指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本人采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质，然后通过几何画板软件动态演示幂函数的图象（在第一象限）随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质随幂指数改变的变化情况（其他象限内的情况，可结合奇偶性得到），最后再通过改变画板中的幂函数的幂指数（用参数的方法），让学生预测将要出现什么样的图象，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。