北师版九年级数学下册作业课件 第三章 圆 专题课堂(十) 圆中常见的辅助线归类
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专题课堂(十) 圆中常见的辅助线归类
类型一 遇弦加弦心距或半径
【例 1】如图，在半径为 10 的⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P， 且 AB＝CD＝16，则 OP 的长为( B )
A．6 B．6 2 C．8 D．8 2 【分析】作 OM⊥AB 于点 M，ON⊥CD 于点 N.连接 OB，OD，首先利用勾股定理 求得 OM 的长，然后判定四边形 OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得 OP 的长．
1．(白银中考)如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°， 则∠CED＝( D )
A．48° B．24° C．22° D．21°
2．(聊城中考)如图，A，B，C 是半径为 1 的⊙O 上的三个点，若 AB＝ 2 ，∠CAB ＝30°，则∠ABC 的度数为( C )
A．95° B．100° C．105° D．110
(1)求证：∠D＝∠E； (2)若 F 是 OE 的中点，⊙O 的半径为 3，求阴影部分的面积．
解：(1)如图，连接 OB，∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBE＝90°，∴∠E＋∠BOE＝ 90°，∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠D＋∠DCB＝90°，∵OE∥BC，∴∠BOE ＝∠OB C，∵OB ＝OC，∴∠OB C＝∠OCB ，∴∠B OE ＝∠OCB ，∴∠D＝∠E
6．(2022·邵阳)如图，已知 DC 是⊙O 的直径，点 B 为 CD 延长线上一点，AB 是 ⊙O 的切线，点 A 为切点，且 AB＝AC.
(1)求∠ACB 的度数； ︵
(2)若⊙O 的半径为 3，求圆弧AC 的长．
解：(1)如图，连接 OA，∵AB 是⊙O 的切线，点 A 为切点，∴∠BAO＝90°，又
4．(营口中考)如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA， CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是( B )
A．110° B．130° C．140° D．160°
5．(2022·郴州)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于 点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.
(2)∵F 为 OE 的中点，OB＝OF，∴OF＝EF＝3，∴OE＝6，∴BO＝12 OE，∵∠OBE
＝90°，∴∠E ＝30°，∴∠B OG＝60°，∵OE ∥B C，∠DB C＝90°，∴∠OGB ＝90°，∴OG
＝3 2
，BG＝32
3 ，∴S△BOG＝12 OG·BG＝12 ×32 ×32
3
3．(湖州中考)如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 CD∥AB，CD＝8，AB＝10， 则 CD 与 AB 之间的距离是__3__．
类型二、遇直径添加直径所对的圆周角 【例2】如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝6，BC＝3，则 ∠BDC＝__3_0_度． 【分析】连接AC，首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后根 据直角三角形的两边利用锐角三角函数确定∠A的度数，最后利用圆周角定理确定 答案即可．
类型三 遇切线连接圆心和切点 【例3】如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点 D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求DE的长． 【分析】(1)连接OD，欲证明DE是⊙O的 切线，只要证明OD⊥DE即可； (2)过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在 Rt△AOF中利用勾股定理求出OF即可．
∵AB＝AC，OA＝OC，∴∠B＝∠ACB＝∠OAC，设∠ACB＝x°，则在△ABC 中，x＋
x＋x＋90＝180，解得 x＝30，∴∠ACB 的度数为 30°
︵ (2)∵∠A CB ＝∠OA C＝30°，∴∠A OC＝120°，∴A C
的长为120π×3 180
＝2π
7．(2022·临沂)如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，直线 AO 交⊙O 于 C，D 两点， 连接 BC，BD.过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 AB 的延长线，⊙O 及 BD 于点 E，F， G.
(1)求证：直线PE是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．
解：(1)连接 OD，如图，∵AB ＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC ＝∠ODB ，
∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即 PE⊥OD，∵OD 是 ⊙O 的半径，∴直线 PE 是⊙O 的切线
(2)连接 AD，如图，∵DE⊥AC，∴∠AEP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠PAE＝60°， ∵AB＝AC，∴△ABC 是等边三角形，∵⊙O 的半径为 6，∴BC＝AB＝12，∠C＝60°， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝CD＝12 BC＝6，在 Rt△CDE 中，CE＝ CD·cos C＝6cos60°＝3
＝9 8
3 ，S 扇形 BOF＝603π6×032 ＝
3 2
π，∴S 阴影部分＝S 扇形 BOF－S△BOG＝32
π－9 8
3
解：(1)连接 OD，∵AD 平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA ＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的 切线
(2)过点 O 作 OF⊥AC 于点 F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝ AO2－AF2 ＝ 52－32 ＝ 4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形 OFED 是矩形，∴DE＝OF＝4
类型一 遇弦加弦心距或半径
【例 1】如图，在半径为 10 的⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P， 且 AB＝CD＝16，则 OP 的长为( B )
A．6 B．6 2 C．8 D．8 2 【分析】作 OM⊥AB 于点 M，ON⊥CD 于点 N.连接 OB，OD，首先利用勾股定理 求得 OM 的长，然后判定四边形 OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得 OP 的长．
1．(白银中考)如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°， 则∠CED＝( D )
A．48° B．24° C．22° D．21°
2．(聊城中考)如图，A，B，C 是半径为 1 的⊙O 上的三个点，若 AB＝ 2 ，∠CAB ＝30°，则∠ABC 的度数为( C )
A．95° B．100° C．105° D．110
(1)求证：∠D＝∠E； (2)若 F 是 OE 的中点，⊙O 的半径为 3，求阴影部分的面积．
解：(1)如图，连接 OB，∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBE＝90°，∴∠E＋∠BOE＝ 90°，∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠D＋∠DCB＝90°，∵OE∥BC，∴∠BOE ＝∠OB C，∵OB ＝OC，∴∠OB C＝∠OCB ，∴∠B OE ＝∠OCB ，∴∠D＝∠E
6．(2022·邵阳)如图，已知 DC 是⊙O 的直径，点 B 为 CD 延长线上一点，AB 是 ⊙O 的切线，点 A 为切点，且 AB＝AC.
(1)求∠ACB 的度数； ︵
(2)若⊙O 的半径为 3，求圆弧AC 的长．
解：(1)如图，连接 OA，∵AB 是⊙O 的切线，点 A 为切点，∴∠BAO＝90°，又
4．(营口中考)如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA， CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是( B )
A．110° B．130° C．140° D．160°
5．(2022·郴州)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于 点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.
(2)∵F 为 OE 的中点，OB＝OF，∴OF＝EF＝3，∴OE＝6，∴BO＝12 OE，∵∠OBE
＝90°，∴∠E ＝30°，∴∠B OG＝60°，∵OE ∥B C，∠DB C＝90°，∴∠OGB ＝90°，∴OG
＝3 2
，BG＝32
3 ，∴S△BOG＝12 OG·BG＝12 ×32 ×32
3
3．(湖州中考)如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 CD∥AB，CD＝8，AB＝10， 则 CD 与 AB 之间的距离是__3__．
类型二、遇直径添加直径所对的圆周角 【例2】如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝6，BC＝3，则 ∠BDC＝__3_0_度． 【分析】连接AC，首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后根 据直角三角形的两边利用锐角三角函数确定∠A的度数，最后利用圆周角定理确定 答案即可．
类型三 遇切线连接圆心和切点 【例3】如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点 D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求DE的长． 【分析】(1)连接OD，欲证明DE是⊙O的 切线，只要证明OD⊥DE即可； (2)过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在 Rt△AOF中利用勾股定理求出OF即可．
∵AB＝AC，OA＝OC，∴∠B＝∠ACB＝∠OAC，设∠ACB＝x°，则在△ABC 中，x＋
x＋x＋90＝180，解得 x＝30，∴∠ACB 的度数为 30°
︵ (2)∵∠A CB ＝∠OA C＝30°，∴∠A OC＝120°，∴A C
的长为120π×3 180
＝2π
7．(2022·临沂)如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，直线 AO 交⊙O 于 C，D 两点， 连接 BC，BD.过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 AB 的延长线，⊙O 及 BD 于点 E，F， G.
(1)求证：直线PE是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．
解：(1)连接 OD，如图，∵AB ＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC ＝∠ODB ，
∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即 PE⊥OD，∵OD 是 ⊙O 的半径，∴直线 PE 是⊙O 的切线
(2)连接 AD，如图，∵DE⊥AC，∴∠AEP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠PAE＝60°， ∵AB＝AC，∴△ABC 是等边三角形，∵⊙O 的半径为 6，∴BC＝AB＝12，∠C＝60°， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝CD＝12 BC＝6，在 Rt△CDE 中，CE＝ CD·cos C＝6cos60°＝3
＝9 8
3 ，S 扇形 BOF＝603π6×032 ＝
3 2
π，∴S 阴影部分＝S 扇形 BOF－S△BOG＝32
π－9 8
3
解：(1)连接 OD，∵AD 平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA ＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的 切线
(2)过点 O 作 OF⊥AC 于点 F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝ AO2－AF2 ＝ 52－32 ＝ 4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形 OFED 是矩形，∴DE＝OF＝4