高考第一轮复习数学：132数列的极限-教案(含习题及答案).

13.2 数列的极限
●知识梳理
1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a|无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.
注：a 不一定是｛a n ｝中的项.
2.几个常用的极限：①∞
→n lim C=C （C 为常数）;②∞
→n lim
n
1=0;③∞→n lim q n
=0（|q|＜1）.
3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，
当∞
→n lim a n =a, ∞
→n lim b n =b 时，∞
→n lim （a n ±b n ）=a ±b;
∞
→n lim （a n ·b n ）=a ·b; ∞
→n lim
n n b a =b
a
（b ≠0）. 特别提示
（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. ●点击双基
1.下列极限正确的个数是
①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞
→n lim q n
=0 ③∞→n lim n n n
n 3232+-=－1 ④∞
→n lim C=C （C 为常数） A.2 B.3
C.4
D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞
→n lim ［n （1－
31）（1－41）（1－51）…（1－2
1+n ）］等于 A.0 B.1
C.2
D.3
解析: ∞→n lim ［n （1－
31）（1－41）（1－51）…（1－2
1
+n ）］
=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2
1
++n n ］ =∞→n lim 2
2+n n
=2. 答案:C 3.下列四个
A.若∞
→n lim a n 2＝A 2
，则∞
→n lim a n ＝A
B.若a n ＞0，∞
→n lim a n ＝A ，则A ＞0
C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞
→n lim a n 2＝A 2
D.若∞
→n lim （a n －b ）＝0，则∞
→n lim a n ＝∞
→n lim b n
解析:排除法，取a n ＝（－１）n
，排除A ； 取a n ＝
n
1
，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ． 答案:C
4.（2005年春季上海,2） ∞→n lim
n
n ++++ 212
=__________.
解析:原式=∞→n lim 2)1(2
++n n n =∞→n lim 2
21212n
n n +
+=0.
答案:0
5.（2005年春季北京,9） ∞→n lim 3
2222-+n n
n =____________.
解析:原式=∞→n lim
2
322
1n
n -+
=2
1. 答案:
2
1
【例1】 求下列极限：
（1）∞
→n lim
7
57
22
2+++n n n ;（2） ∞→n lim （n n +2－n ）;
（3）∞→n lim （22n +24
n
+…+22n n ）.
剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2
后再求极限；（2）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；
（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.
解:（1）∞→n lim 7
57
222+++n n n =∞→n lim 2
2757
12n
n n ++
+
=52. （2）∞
→n lim （n n +2－n ）= ∞
→n lim
n
n n n ++2=∞→n lim
1111++
n
=
2
1
. （3）原式=∞→n lim 22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n
1
）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)
75(lim )72(lim 22+++∞
→∞→n n n n n =∞∞
=1,②∵∞→n lim （2n
2
+n+7）, ∞
→n lim （5n 2
+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：
①∞
→n lim （n n +2－n ）= ∞
→n lim n n +2－∞→n lim n=∞－∞=0;②原式=∞
→n lim
n n +2－∞
→n lim n=∞
－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞
→n lim
22n +∞→n lim 2
4n +…+∞→n lim
22n n =0+0+…+0=0这样的
错误.
【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lga n ＝lga n －1＋lgc ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．
（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；
（2）求∞→n lim 1
122+-+-n n n
n a a 的值．
解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,
∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1
.
∴S n ＝⎪
⎩⎪
⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c c c c n
n 且
（2） ∞
→n lim
1
122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n c
c 32321
1+---. ①当c=2时，原式＝－
4
1
; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c c
c n n 3)2(23
)2
(11+⋅---＝－c 1;
③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11
)2
(32)2(31--⋅+-n n c c c ＝21.
评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.
【例3】 已知直线l:x －ny=0（n ∈N *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2
=1,抛物线ϕ:y=（x
－1）2
,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，求∞→n lim 2
2
||||CD AB .
剖析:要求∞→n lim 2
2
||||CD AB 的值，必须先求它与n 的关系.
解:设圆心M （－1,－1）到直线l 的距离为d,则d 2
=1
)1(22
+-n n .
又r=1,∴|AB|2=4（1－d 2
）=
2
18n
n
+. 设点C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2）， 由⎩⎨⎧-==-2
)1(0x y ny x ⇒nx 2－（2n+1）x+n=0, ∴x 1+x 2=
n
n 1
2+, x 1·x 2=1. ∵（x 1－x 2）2
=（x 1+x 2）2
－4x 1x 2=2
14n n +,（y 1－y 2）2
=（
n x 1－n x 2）2=414n n +, ∴|CD|2
=（x 1－x 2）2
+（y 1－y 2）2
=41n
（4n+1）（n 2+1）.
∴∞→n lim 22||||CD AB =∞→n lim 225
)1)(14(8++n n n =∞→n lim 2
)
11)(14(8n
n ++=2. 评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求2
2
|
|||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.
【例4】 若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N*,a n 与a n+1恰为方程x 2－b n x+c n
=0的两根,其中0＜|c|＜1,当∞
→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值范围.
解:首先,由题意对任意n ∈N*,a n ·a n+1=c n
恒成立. ∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =n n a a 2+=n n c
c 1+=c.又a 1·a 2=a 2=c.
∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c,
公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N*,a n +a n+1=b n 恒成立.
∴n n b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c.又b 1=a 1+a 2=1+c,b 2=a 2+a 3=2c,
∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为
2c,公比为c 的等比数列,
∴∞
→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞
→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞
→n lim （b 2+b 4+…）=
c c -+11+c
c
-12≤3. 解得c ≤
31或c ＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c ≤3
1
或－1＜c ＜0. 故c 的取值范围是（－1,0）∪（0,3
1
］.
评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.
●闯关训练 夯实基础
1.已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c
an ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim a
cn c an ++22的值是
A.2
B.3
C.2
1
D.6
解析:由∞→n lim c bn c
an ++=2,得a=2b.
由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b=3c,∴c=31b. ∴c
a
=6. ∴∞→n lim a cn c an ++22
=∞→n lim 22n
a
c n c a ++=c
a =6. 答案:D
2.（2003年北京）若数列{a n }的通项公式是a n =2
)
23()1(23n n n n n ------++,n=1,2,…,
则∞
→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于
A.
2411 B.2417 C.2419 D.24
25 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2
)
23(23为偶数为奇数n n n
n n n n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3
),(2(为偶数为奇数n n n n
∴a 1+a 2+…+a n =（2－1
+2－3
+2－5
+…）+（3－2
+3－4
+3－6
+…）.
∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=
41121
3132122221-=-+-----+9
1191-=.24
19 答案:C
3.（2004年春季上海）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n,点
（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim 2
)1(+n a n
=__________________.
解析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）. ∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3. ∴n a =3+（n －1）·3=3n. ∴a n =3n 2
.
∴∞→n lim 2)1(+n a n =∞→n lim 12322
++n n n =∞
→n lim
2
1213
n
n ++=3.
答案:3
4.（2004年 上海,4）设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q=－
2
1
,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n
－1
）=
3
8
,则a 1=_________________. 解析:∵q=－2
1,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4
111-
a =38
.∴a 1=2.
答案:2
5.（2004年湖南,理8）数列{a n }中,a 1=
5
1
,a n +a n+1=156+n ,n ∈N*,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）
等于
A.
52 B.72 C.41 D.25
4
解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51
+[25
6+356+…
+
n
56
]+a n .
∴原式=21［51+5
11256
-+∞→n lim a n ］=21（51+103
+∞→n lim a n ）.
∵a n +a n+1=15
6
+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n+1=0.
∴∞
→n lim a n =0.
答案:C
6.已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n+1=（n+1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N*）. （1）求{b n }的通项公式；
（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21
-n b ）的值.
解:（1）n=1时，由（n －1）a n+1=（n+1）（a n －1）,得a 1=1.
n=2时，a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜
想b n =2n 2
.
要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2
－n.
①当n=1时，a 1=2×12
－1=1成立.
②假设当n=k 时，a k =2k 2
－k 成立.
那么当n=k+1时，由（k －1）a k+1=（k+1）（a k －1）,得a k+1=1
1
-+k k （a k －1） =
11-+k k （2k 2－k －1）=1
1-+k k （2k+1）（k －1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2
－（k+1）. ∴当n=k+1时，a n =2n 2
－n 正确，从而b n =2n 2
.
（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+16
1
+…+2212-n ）
=
21∞→n lim ［
311⨯+4
21
⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］ =41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=8
3. 培养能力
7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且
∞→n lim n n b a =21
,求极限∞→n lim （
111b a +221b a +…+n n b a 1）的值. 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.
∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）, ∴2d 2－3d 1=2.
又∞→n lim n n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4.
∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n+1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2.
∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）. ∴原式=∞
→n lim
41（1－1
21+n ）=41. 8.已知数列｛a n ｝、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q,其中p ＞q 且p
≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求∞
→n lim
1
-n n
S S . 解:S n =p p a n --1)1(1+q
q b n --1)1(1,
.1)
1(1)1(1)
1(1)1(1111111q
q b p p a q
q b p p a S S n n n n n n --+
----+
--=--- 当p ＞1时，p ＞q ＞0,得0＜p
q ＜1,上式分子、分母同除以p n －1
，得
.1]
)(1[1)11(1)1
(1)1
(11111111111
q p q p
b p p a q
p
q p b p p p a S S n n n n n
n n n n --+
----+
--=-------
∴∞→n lim 1
-n n S S
=p. 当p ＜1时，0＜q ＜p ＜1, ∞→n lim 1
-n n S S =q
b p a q
b
p a -+--+-11111
11
1=1.
探究创新
9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =2
2
1--+n n a a ,求∞→n lim a n .
解:由a n =2
2
1--+n n a a ,得
2a n +a n －1=2a n －1+a n －2,∴{2a n +a n －1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n －1=2.
∴a n －32=－21（a n －1－32
）.
∴{a n －32}是公比为－21,首项为－32
的等比数列.
∴a n －32=－32×（－21）n －1
.
∴a n =32－32×（－2
1）n －1
.
∴∞→n lim a n =32
. ●思悟小结
1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；
（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞
→n lim C=C （C 为常数）;
（2） ∞→n lim （
n
1）p
=0（p ＞0）;
（3） ∞→n lim d cn b an k k ++=c
a
（k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）;
（4） ∞
→n lim q n
=0（|q|＜1）.
●教师下载中心 教学点睛
1.数列极限的几种类型：∞－∞,
∞
∞
,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再
用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，
不要太难了.
2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.
拓展题例
【例题】 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,且有∞
→n lim （
q a +11－q n
）=2
1,求首项a 1的取值范围.
解: ∞
→n lim （
q a +11－q n
）=2
1, ∴∞
→n lim q n
一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.
当q=1时，2
1a －1=21
,∴a 1=3.
当0＜|q|＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n
）=21得q a +11=2
1,∴2a 1－1=q.
∴0＜|2a 1－1|＜1.∴0＜a 1＜1且a 1≠2
1
.
综上,得0＜a 1＜1且a 1≠2
1
或a 1=3.。