七年级数学思维拓展训练

七年级数学思维拓展训练
一、选择题（每小题8分，共40分）
1.文具店的老板均以60元的价格卖了两个计算器，其中一个赚了20﹪，另一个亏了20﹪，则该老板（ ）
A. 赚了5元
B. 亏了25元
C. 赚了25元
D. 亏了5元
2．观察一列数34-
，57, 910-, 1713,3316
-，依此规律下一个数是（ ） A.4521 B.4519 C. 6519 D. 6521
3.方程13153520052007x x x x
+
++=⨯ 的解是 x ＝（ ） A.20072006 B.20062007 C. 10032007 D.10032007
4.小明和哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25
秒钟相遇一次.现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，则哥哥速度是小明速度的（ ）倍.
A. 1.5
B. 2
C. 3
D. 4
5.一条笔直的街道旁依次有B 、C 、D 三幢居民楼，某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如表所示．他们计划在这三幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这三幢楼内的居民取水所走路程之和最小（假设每次只能搬运一桶），可以选择的地点应设在（ ）
A. B 、C 、D 楼均可
B.D 楼
C.B 楼
D.C 楼
二、填空题（每小题8分，共40分）
6.有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，甲、乙、丙三位同学从不同方向去观察其正方体，观察结果如图所示.问：F 的对面是 .
7.设a ，b ，c 为有理数，则由
abc
abc c c b b a a +++ 构成的各种数值是 . 8．在1、2、…、2011、2012之间添上加减号，使和的绝对值最小.算式是： .
9．若x 为有理数，则| x －1|+| x －4|的最小值是 . 10.某商品降价20%后欲恢复原价，则提价的百分数为 . 三、解答题（每小题10分，共20分）
11.定义：a 是不为1的有理数，我们把
1
1a
-称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是11
1(1)2
=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，……，依此类推，试求2012a 的值．
12.我校租用两辆小汽车（设速度相同）送8名老师到市教研室参加会议，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离教研室15km 的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的速度是5km/h （上、下车时间忽略不计）．
（1）若小汽车送4名老师到达会场，然后再回到出故障处接其他老师，请你能过计算说明他们能否在截止进场的时刻前到达；
（2）请你设计一种运送方案，使他们能在截止进场的时刻前到达，并通过计算说明方案的可行性． 参考答案：
1．D 2．C 3．C 4．B 5．B
6．C 7．4、-4、0 8．如(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+ ……+(2009-2010-2011+2012)=0 9．3 10．25% 11.因为a 2是a 1的差倒数，根据定义得a 2=
)3
1(11
--=
43；同样a 3=4311
-
=4；a 4=411-=－31；a 5=
)3
1(11
--=
43；a 6=4311
-
=4；……，可以发现a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6……的值呈3个一循环的规律，而2012除以3的余数2，所以a 2012= a 2=
4
3
． 12.（1）不能在限定时间内到达会场．理由：如果单独用一辆小汽车来回跑3趟，所需要的时间为
153
3(h)45604
⨯==（分钟），由于45分钟＞42分钟，所以不能在限定时间内到达．
（2）方案一：先将4名老师用车送到会场，另外4名老师同时步行前往会场，汽车到会场后返回到与另外4名老师的相遇处再载他们到会场．
先将4名老师用车送到会场所需时间为15
0.25(h)1560
==（分钟）． 0.25小时另外4名老师步行了1.25km ，此时他们与会场的距离为15 1.2513.75
-=（km ）．
设汽车返回(h)t 后先步行的4名老师相遇，56013.75t t +=，解得 2.75
13
t =．由于汽车由相遇点再去会场所需时间也是
2.75
h 13
．所以用这一方案送这8人到会场共需2.75
1526040.44213
+⨯
⨯≈<．
所以这8名老师能在截止进场的时刻前赶到．
方案二：8名老师同时出发，4名老师步行，先将另4名老师用车送到离出发点km x 的A 处，然后让这4名老师步行前往会场，车回去接应后面步行的4名老师，使他们跟前面4名老师同时到达会场．
由A 处步行前会场需15(h)5x -，汽车从出发点到A 处需(h)60
x
先步行的4名老师走了5(km)60x ⨯，设汽车返回t （h ）后与先步行的4名老师相遇，则有605560x t t x +=-⨯，解得11780x t =，所以相遇点与会场的距离为112156015(km)78013
x x
x -+⨯
=-． 由相遇点坐车到会场需1
(h)4390x ⎛⎫-
⎪⎝⎭
．所以先步行的4名老师到会场的总时间为111
(h)607804390x x x ⎛⎫++- ⎪
⎝⎭
，先坐车的4名老师到会场的总时间为15(h)605x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，他们同时到达，则有
11115607804390605
x x x x x
-++-=+，解得13x =． 将13x =代入上式，可得他们赶到会场所需时间为1326037605⎛⎫
+⨯=
⎪⎝⎭
（分钟）
．因为37分钟＜42分钟，所以他们能在截止进场的时刻前到达．
4．提示：设哥哥的速度是1V 米/秒，小明的速度是2V 米/秒。

环形跑道长s 米。

由“经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了20圈”，知经过25
20
分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑了1圈。

所以121225
()25()6020
V V V V +⨯=-⨯
⨯整理，得，2110050v v =，所以1V =22V ．
课程解读
一、学习目标：
1、掌握解一元一次方程的一般步骤，能够熟练灵活地解一元一次方程。

2、了解解一元一次方程应用题的一般步骤。

二、重点、难点：
重点：一元一次方程的解法。

难点：对一元一次方程求解过程的理解以及灵活运用解法步骤求解。

三、考点分析：
一元一次方程是学习其他方程、方程组的基础，是中考的必考内容。

一般都以填空、选择题的形式出现，难度不大，容易得分。

知识梳理
1、解一元一次方程的一般步骤以及注意事项
2、列方程解应用题的一般步骤
（1）审：弄清题意和数量关系，弄清已知量和未知量，找到一个能包含题目全部数量关系的相等关系。

（2）设：设未知数（可设直接或间接未知数）
（3）列：列方程（使用题中原始数据或已经计算出的数据） （4）解：解方程
（5）验：检验结果是否是原方程的解，检验是否符合题意 （6）答：回答全面，注意单位 说明：（1）书写出来的是：设、列、解、答；（2）“审”是关键，“验”是保证。

典型例题
知识点一：解一元一次方程
例1：解方程：x －x －12＝2－x ＋2
5。

思路分析：
1）题意分析：这个方程中含有两个分数项，两个整数项。

注意去分母时不要漏乘。

2）解题思路：注意到12＝0.5，1
5＝0.2，此题也可以把分数化为小数。

解答过程：
方法一：去分母、去括号，得10x －5x ＋5＝20－2x －4， 移项及合并同类项，得7x ＝11，
解得x ＝11
7。

方法二：原方程可化为x －0.5（x －1）＝2－0.2（x ＋2）， 去括号，得x －0.5x ＋0.5＝2－0.2x －0.4。

移项及合并同类项，得0.7x ＝1.1，
解得x ＝11
7。

解题后的思考：比较这两种方法，方法一中的数据都是整数；方法二中，把1
2看成0.5，
把1
5
看成0.2，直接去括号，没有去分母这个过程，计算稍微简便一些。

例2：解方程：4x －1.50.5－5x －0.80.2＝1.2－x
0.1。

思路分析：
1）题意分析：这个方程的各项都是分数，且分母都是小数。

2）解题思路：一见到此方程，许多同学立即想到把分母化成整数，即各分数的分子、分母都乘10，再设法去分母。

其实，仔细观察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一起完成，第一个分数的分子、分母都乘2，第二个分数的分子、分母都乘5，第三个分数的分子、分母都乘10。

解答过程：方程可以化为：
（4x －1.5）×20.5×2－（5x －0.8）×50.2×5＝（1.2－x ）×10
0.1×10。

整理，得2（4x －1.5）－5（5x －0.8）＝10（1.2－x ）。

去括号、移项、合并同类项，得－7x ＝11。

所以x ＝－11
7。

解题后的思考：解这个方程时，第一步的转化起到了去分母的作用，但利用的是分数的性质，而不是等式的性质。

例3：解方程：0.5x ＋20.03－x ＝0.3（0.5x ＋2）0.2－1011
12
思路分析：
1）题意分析：这个方程很复杂，有小数，有分数，还有括号。

2）解题思路：首先根据分数的性质把0.5x ＋20.03和0.3（0.5x ＋2）
0.2中的小数化为整数，再
解方程。

解答过程：方程可变形为：
50x ＋2003－x ＝15x ＋6020－13112。

即：50x ＋2003－x ＝3x ＋124－13112。

去分母得，4（50x ＋200）－12x ＝3（3x ＋12）－131，
去括号得，200x ＋800－12x ＝9x ＋36－131， 移项，得200x －12x －9x ＝36－131－800， 合并同类项，得179x ＝－895， 系数化为1，得x ＝－5。

解题后的思考：像这样较为复杂的一元一次方程，先观察、整理，再解方程。

例4：小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水遮盖了，成了1
3（－x －12
＋x ）
＝1－x －△5（“△”表示被遮盖的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为x ＝5，
于是他把被遮盖的数字求了出来，请把小强的计算过程写出来。

思路分析：
1）题意分析：对这个方程来说，相当于有两个未知数，已知x ＝5，求另一个未知数△。

2）解题思路：解答这道题有两种思路：一是把△看成已知数，解方程，通过方程的解是x ＝5求得△；二是把x ＝5代入原方程得到一个关于△的方程，解这个方程。

解答过程：1
3（－x －12＋x ）＝1－x －△5
去括号，得－x －16＋13x ＝1－x －△
5，
去分母，得－5（x －1）＋10x ＝30－6（x －△）。

去括号，得－5x ＋5＋10x ＝30－6x ＋6△。

移项及合并同类项得11x ＝25＋6△。

把x ＝5代入11x ＝25＋6△， 得△＝5。

解题后的思考：此类问题是创新题型，我们应从变化中找到问题的“本来面目”。

小结：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解方程的一般步骤。

解某些方程时可能会用到每一步，也可能只用到其中某几步即可求出方程的解。

在解方程过程中要灵活掌握，认真细致地运用。

应该注意的是在求出方程的解后，应养成检验的习惯，这样可避免出现错误。

解题中应当注意认真审题、观察方程的结构特点，利用整体合并、逆用分数通分法则、逆用乘法分配律等方法进行简便运算。

知识点二：一元一次方程的综合应用
例5：将循环小数0.·1·
4化为分数。

思路分析：
1）题意分析：无限循环小数都可以化为分数。

2）解题思路：0.·1·4是无限循环小数，循环节是14，所以把它扩大100倍，变为14.·1·
4，
其中14.·1·4的小数部分与0.·1·
4相等，利用这一点可列方程。

解答过程：设0.·1·4＝x ，则14.·1·
4＝100x ，
所以100x －x ＝14.·1·4－0.·1·
4，
即99x ＝14，x ＝14
99
，
即0.·1·4＝1499。

解题后的思考：无限循环小数可以表示为分数形式，用一元一次方程可以推导出具体表示方法。

列方程时要依据无限循环小数的特点，抓住10n x －x （x 是纯循环小数，其循环节为n 位数）是一个n 位整数（即循环节）的规律。

例6：有两袋玉米，第一袋比第二袋少40千克，如果从第二袋中取出5千克玉米倒入第一
袋中，这时第一袋玉米的质量是第二袋玉米质量的1
3，求原来两袋玉米各多少千克。

思路分析：
1）题意分析：本题有两个未知数要求，题目中必然含有两个等量关系，一个用来求未知数，另一个用来列方程。

2）解题思路：本题中含有的两个等量关系：（1）第一袋玉米比第二袋玉米少40千克，即第一袋玉米质量＝第二袋玉米质量－40；（2）从第二袋取出玉米倒入第一袋中后，第一袋
玉米质量是第二袋玉米质量的13，即第一袋玉米质量＝第二袋玉米质量×1
3。

如果设第二袋玉
米质量为x
解答过程：设第二袋玉米质量为x 千克，则第一袋玉米质量为（x －40）千克，根据题
意列方程，得x －40＋5＝1
3（x －5），
解这个方程，得x ＝50。

此时，x －40＝10。

答：第一袋玉米10千克，第二袋玉米50千克。

解题后的思考：借助表格，可以清晰地表示出已知量和未知量之间的关系，然后列出方程解决问题。

本题还可以设第一袋玉米质量为x 千克，则第二袋玉米质量为（x ＋40）千克，解题方法相同。

例7：小丽在手工课上，把一个正方形纸片剪去一个宽为3cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上，沿短边剪下一个宽为4cm 的长条，如图所示，如果这两次剪下的长条的面积相等，那么原来的正方形的面积是多少？
思路分析：
1）题意分析：本题含有一个等量关系：第一次剪下的长条的面积＝第二次剪下的长条
的面积。

2）解题思路：要想求正方形的面积，必须知道正方形的边长。

所以可以利用间接设法设正方形的边长为未知数x，根据两次剪下的长条面积相等列方程。

解答过程：设原来正方形的边长为xcm，根据题意列方程，得3x＝4（x－3），
解这个方程，得x＝12（cm），
原正方形的面积为122＝144（cm2）。

答：原来正方形的面积为144cm2。

解题后的思考：数形结合是初中数学的一个重要思想，很多数学知识的学习是离不开数形结合这一数学思想方法的。

例8：下图的数阵是由一些奇数排列成的。

（1）观察图框中的四个数之间的关系，请你用字母表示这样的框中四个数之间的关系。

（2）若这样框出的四个数的和是200，求这四个数。

（3）是否存在这样的四个数，使它们的和为400？为什么？
思路分析：
1）题意分析：这是一道综合性题，包括数字排列规律、用字母表示数，一元一次方程等内容。

2）解题思路：先观察数阵中数字的排列规律，再找出框中四个数之间的关系，（2）（3）问可转化为方程解决。

解答过程：（1）设框中最小的奇数为x，则其余三个奇数分别为x＋2，x＋8，x＋10。

（2）根据题意，得x＋（x＋2）＋（x＋8）＋（x＋10）＝200，
去括号，合并同类项得4x＋20＝200，
解得x＝45。

所以x＋2＝47，x＋8＝53，x＋10＝55，
所以这四个数是45，47，53，55。

（3）假设存在这样的四个数，它们的和为400，则
x＋（x＋2）＋（x＋8）＋（x＋10）＝400，
整理，得4x＋20＝400，
解得x＝95，此时x＋2＝97，x＋8＝103，x＋10＝105。

因为这个数阵中的最大数是99，不存在103和105，
所以不存在这样的四个数，使它们的和为400。

解题后的思考：这是一道关于数字排列规律的综合性问题，解题关键是如何将其转化为数学中的方程问题。

小结：为了便于分析较复杂的实际问题，借助表格分析是非常可行的方法，借助表格可使题目中的已知量、未知量及其数量关系更为清晰地展现出现，把题目中杂乱的已知条件有条理地表达出来，便于寻找相等关系列出方程。

提分技巧
解一元一次方程的主要思路：利用等式的基本性质对方程进行变形，逐步把方程化归为最简方程，然后求解。

基本思想都是把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”。

预习导学
实际问题与一元一次方程（3.4）
一、预习新知
1、如何用一元一次方程解决实际问题。

2、一元一次方程应用题的主要类型。

二、预习点拨
探究与反思
探究任务一：列一元一次方程解应用题的几种常见题型 【反思】（1）你能说出多少种类型的方程应用题？ （2）行程问题中涉及的数量及公式有哪些？ （3）工程问题中涉及的数量及公式有哪些？ （4）利润率问题中涉及的数量及公式有哪些？ 探究任务二：方案设计问题 【反思】（1）方案设计问题有什么特点？
（2）解决方案设计问题的步骤是怎样的？
同步练习（答题时间：60分钟）
一、选择题。

1、在解方程：3（x －1）－2（2x ＋3）＝6时，去括号正确的是（ ） A. 3x －1－4x ＋3＝6 B. 3x －3－4x －6＝6 C. 3x ＋1－4x －3＝6 D. 3x －1＋4x －6＝6
2、方程2－2x －43＝－x －7
12去分母得（ ）
A. 2－2（2x －4）＝－（x －7）
B. 12－2（2x －4）＝－x －7
C. 24－4（2x －4）＝－（x －7）
D. 12－4x ＋4＝－x ＋7
3、方程1
2
x －3＝2＋3x 的解是（ ）
A. －2
B. 2
C. －12
D. 1
2
4、下列各题中正确的是（ ）
A. 由7x ＝4x －3移项得7x －4x ＝3
B. 由2x －13＝1＋x －32
去分母得2（2x －1）＝1＋3（x －3）
C. 由2（2x －1）－3（x －3）＝1去括号得4x －2－3x －9＝1
D. 由2（x ＋1）＝x ＋7移项、合并同类项得x ＝5 5、要锻造一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱毛坯，应截取半径为4厘米的圆钢（ ） A. 12.5cm B. 13cm C. 13.5cm D. 14cm
6、小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x 千米/小时，列方程得（ ）
A. 4＋3x ＝25.2
B. 3×4＋x ＝25.2
C. 3（4＋x ）＝25.2
D. 4（4－x ）＝25.2 *7、如果3x ＋2＝7，那么9x ＋1等于（ ） A. 16 B. 22 C. 28 D. 无法确定
**8、一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（ ） A. 54 B. 27
C. 72
D. 45
二、填空题。

9、当x ＝__________时，代数式4x －5
3
的值是－1。

10、方程2y －6＝y ＋7变形为2y －y ＝7＋6，这种变形叫__________，根据是__________。

11、如果方程2a ＋4＝a －3，那么代数式2a ＋1的值是__________。

12、如果x ＝5是方程ax ＋5＝10－4x 的解，那么a ＝__________。

*13、若2x ＝4
3
与3（x ＋a ）＝a －5x 有相同的解，那么a －1＝__________。

**14、当x 的值为－3时，代数式－3x 2 ＋ax －7的值是－25，则当x ＝－1时，这个代数式的值为__________。

三、解答题。

15、解下列方程：
（1）4x －3（20－x ）＋4＝0；
（2）y ＋24－2y －36
＝1；
（3）4x －1.50.5－5x －0.80.2＝1.2－x 0.1
＋3。

16、k 取何值时，代数式k ＋13的值比3k ＋1
2的值小1。

*17、m 为何值时，关于x 的方程4x －2m ＝3x －1的解是x ＝2x －3m 的解的2倍？
18、已知y
2＋m ＝my －m 。

（1）当m ＝4时，求y 的值；（2）当y ＝4时，求m 的值。

**19、某种商品的进价是215元，标价是258元，现要最低获得14%的利润，这种商品应最低打几折销售？
*20、你坐过出租车吗？请你帮小明算一算。

杭州市出租车收费标准是：起步价（3千米以内）10元，超过3千米的部分每千米1.20元，小明乘坐了x （x ＞3）千米的路程。

（1）请写出他应该支付费用的表达式；
（2）若他支付的费用是23.2元，你能算出他乘坐的路程吗？
试题答案
一、选择题：
1、B
2、C
3、A
4、D
5、A 解析：设应截取半径为4厘米的圆钢xcm ，则π×52×8＝π×42×x ，解得x ＝12.5（cm ）。

6、C
7、A 解析：把3x 看成一个整体，解方程3x ＋2＝7得3x ＝5，则9x ＋1＝3×5＋1＝16。

8、D 解析：设原数十位数字是x ，则其个位数字是9－x ，根据题意得，10（9－x ）＋x ＝10x ＋（9－x ）＋9，解得x ＝4，9－x ＝5，所以原来的两位数是45。

二、填空题：
9、12 10、移项，等式的性质
11、－13 解析：解2a ＋4＝a －3得a ＝－7，所以2a ＋1＝－13。

12、－3 解析：当x ＝5时，5a ＋5＝10－4×5，解得a ＝－3。

13、－113 解析：解方程2x ＝43得x ＝23。

把x ＝23代入3（x ＋a ）＝a －5x 得2＋3a ＝a －103，
解得a ＝－83，所以a －1＝－11
3。

14、－7 解析：当x 的值为－3时，代数式－3x 2 ＋ax －7的值是－25，即－27－3a －7
＝－25，解得a ＝－3。

所以代数式－3x 2 ＋ax －7即是－3x 2－3x －7。

当x ＝－1时，这个代数式的值为－7。

三、解答题： 15、解：（1）x ＝8；（2）y ＝0；（3）整理得8x －3－25x ＋4＝12－10x ＋3，解得x ＝－2。

16、解：根据题意得k ＋13＝3k ＋12－1，解得k ＝5
7。

17、解：解方程4x －2m ＝3x －1得x ＝2m －1；解方程x ＝2x －3m 得x ＝3m 。

根据题意2m －1＝2×3m ，解得m ＝－1
4。

18、解：（1）把m ＝4代入y 2＋m ＝my －m 得y 2＋4＝4y －4，解得y ＝16
7
；（2）把y ＝4代入
y
2
＋m ＝my －m 得2＋m ＝4m －m ，解得m ＝1。

19、解：设最低打x 折，则x
10×258－215＝215×14%，解得x ＝9.5，所以最低打9.5折销
售。

20、解：（1）10＋1.20（x －3）；（2）根据题意得10＋1.20（x －3）＝23.2，解得x ＝14（千米）。

课程解读
一、学习目标：
1、进一步熟练掌握解一元一次方程的方法，提高解方程的能力；
2、提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练地利用相等关系建立数学模型——列方程．
二、重点、难点：
重点：寻找等量关系列方程．
难点：把实际问题抽象成数学模型．
三、考点分析：
本节内容是中考热点，在历年考试中均有出现有时是作为解其他题型的基础而出现．如果在选择题中出现，一般要求根据题意列出方程；如果在填空题中出现，一般要求写出最后结果，列方程和解方程的过程不要求写出；在解答题中单纯的一元一次方程应用题很少出现，但往往在一些综合题中出现．
知识梳理
2、销售中的盈亏问题
（1）进价：购进商品时的价格，有时也叫成本价．
（2）售价：在销售商品时的售出价（有时称成交价、卖价）．
（3）标价：在销售商品时标出的价（原价、定价）．
（4）利润：在销售商品过程中的纯收入，利润＝售价－进价．若利润为正，则为盈；若利润为负，则为亏．
（5）利润率：利润占进价的百分率，也可看作是商品的利润与进价的商．利润率＝利润进价
×100%＝售价－进价进价
×100%． （6）折扣：卖货时，按照标价减去一个数目，减到原价的十分之几，则称将标价进行了几折或几扣（这种方法叫打折）处理或理解为使销售价占标价的百分率．
（7）折数：若打折到原价的n 10
，则n 叫折数． （8）原价×折数10（或降到的百分率）＝售价．进价×（1＋利润率）＝标价×折数10
，或进价×（1＋利润率）＝标价×打折到的百分率．
3、优化设计问题
一件产品（或一项工作）在生产（或进行）时，常常要有一种或几种设计方案，从中选择出一个最优方案，这种问题通常称之为优化设计问题或最优方案选择问题．
解决此类问题，可分以下步骤：
（1）设未知数：根据题中的数量关系设未知数；
（2）列式：列出各种方案的式子；
（3）比较：可用数值代入试探，也可将表示各方案的式子相减进行比较；
（4）决定取舍：根据上述比较选择确定最优方案．
典型例题
知识点一：常见应用题类型
例1：小明中考时的准考证号码是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：
（1）它的千位数字为1；
（2）把千位上的数字1向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的5倍少49．
请你根据以上特征推出小明的准考证号码．
思路分析：
1）题意分析：这是一道数字问题的应用题，除1以外的三位可看作一个整体．
2）解题思路：此题若直接设未知数，很难解决，可间接设原数的后三位数为x ，则原数为1000＋x ，把1移到个位后的新数为10x ＋1．
解答过程：设原数的后三位数为x ，根据题意得：
5（1000＋x ）－49＝10x ＋1，
解之得x ＝990
所以小明的准考证号码是1990．
解题后的思考：数字问题设未知数都是间接设．本题和一般的数字问题稍有不同，这个四位数每个数位上的数字不必一一表示出来，把除1以外的三位看成一个整体即可．
例2：一商店将某种鞋子按成本价提高40%后标价，又以8折优惠价卖出，结果每双仍获利15元，求这种鞋子每双的成本是多少元？
思路分析：
1）题意分析：我们知道每双鞋子的利润是鞋子售价与鞋子成本价的差．
2）解题思路：如果设每双鞋子的成本价为x 元，那么每双鞋子的标价是（1＋40%）x 元，它的实际售价为[（1＋40%）x ×80%]元．那么每双鞋子的利润为[（1＋40%）x ·80%－x ]元．
解答过程：设每双鞋子的成本价是x 元，根据题意列方程，得：
（1＋40%）x ×80%－x ＝15，
解这个方程得x ＝125．
答：每双鞋子的成本价为125元．
解题后的思考：解决销售问题时，关键是理清商品从购进到卖出的过程中价格的变化．在本题中，成本价→提高40%→标价→打8折→实际售价．
例3：李阿姨买了20000元某公司1年期的债券，1年后扣除20%的利息税之后得到本利和为20800元，请问这种债券的年利率是多少？
思路分析：
1）题意分析：本题中债券的计息方法与银行存款的计息方法相同．
2）解题思路：可按照本利和＝本金×年利率×（1－20%）×存期的计算公式找相等关系列方程．
解答过程：设这种债券的年利率是x ，根据题意列方程得：
20000＋20000×x ×（1－20%）＝20800
解这个方程得x ＝0.05＝5%．
答：这种债券的年利率是5%．
解题后的思考：本题还可以列方程：20000[1＋（1－20%）x ]＝20800．另外解方程时，可先利用等式的基本性质化简．
例4：某班学生步行从学校到一农场去参加劳动，以每小时4千米的速度行进，走了1千米时，一名学生奉命回学校取东西，他以每小时5千米的速度回到学校，取了东西后又以同样的速度追赶队伍，结果他和队伍同时到达农场．求学校到农场的路程．
思路分析：
1）题意分析：这一道行程问题是追及问题，学生队伍速度慢，走的路程短；取东西的学生速度快，走的路程长一些．
2）解题思路：两者的速度已知．时间关系：从出发1千米后到结束，两者所用的时间相同；路程关系：在整个过程中取东西的学生比队伍多走1千米．
解答过程：方法一：线段图分析如图，设学校到农场的路程为x 千米．
学校
农场队伍
学生
11x －1x ＋1
依题意得x －14＝x ＋15
解得x＝9
答：学校到农场的路程为9千米．
方法二：设该学生从返回到到达农场用了x小时，
学校农场
队伍学生1
1
4x
5x
依题意得4x＋1＝5x－1
解得x＝2
4x＋1＝4×2＋1＝9（千米）
答：学校到农场的路程为9千米．
解题后的思考：速度已知，若设路程为未知数，则找时间的等量关系；若设时间为未知数，则找路程的等量关系．
例5：一艘轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时．已知该船在静水中每小时航行12千米，求水流速度和两码头间的距离．
思路分析：
1）题意分析：这是一道行船问题，已知时间和在静水中的速度，求水流速度和距离．2）解题思路：本题中的相等关系是两码头间距离不变或船在静水中的速度不变．
解答过程：设水流速度为x千米/时，根据题意列方程，得：
6（12＋x）＝10（12－x）．
解这个方程，得x＝3．
所以6（12＋x）＝90．
答：水流速度是3千米/时，两码头之间的距离为90千米．
解题后的思考：航行问题中，顺水速度＝静水中航行速度＋水流速度；逆水速度＝静水中航行速度－水流速度；顺水速度－逆水速度＝2×水流速度；顺水速度＋逆水速度＝2×静水中航行速度，如果是在空中航行，这些公式仍适用．
例6：某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？
思路分析：
1）题意分析：根据题意，所得的19分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分．
2）解题思路：踢胜的场数和踢平的场数共14－5＝9场，如果设胜了x场，那么踢平的场数就是9－x场．分别乘它们的分值，和为19．
解答过程：设胜了x场，根据题意得：
3x＋1×（14－x－5）＝19
即3x＋9－x＝19
解得x＝5
答：这个队胜了5场．
解题后的思考：积分多少与胜、平、负的场数有关，同时也与比赛积分规定有关，如果对体育比赛有一定了解，会有助于理解题意．
小结：应用题类型很多，不同的题型有不同的特点，关键是找出等量关系列方程．认真总结，还是有规律可循的．
知识点二：复杂应用题和优化设计问题
例7：A、B两站相距300千米，一列快车从A站开出，行驶速度是每小时60千米，一列慢车从B站开出，行驶速度是每小时40千米．
（1）两车同时开出，相向而行，几小时后相遇？
（2）快车先开15分钟，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？
（3）两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？
（4）慢车先开30分钟，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？此时慢车行驶了多少千米？
思路分析：
1）题意分析：这是一道比较复杂的行程问题，包括相遇问题和追及问题．
2）解题思路：（1）和（2）两问属于相遇问题；（3）和（4）两问属于追及问题．可借助线段图分析，找出相等关系列方程，如图所示：
A B A B A A B 60x 40x 60y 60m
60n 300
300相遇地
40（y －1560）相遇地30040m 40n
30040×3060(1)
(2)(3)(4)B
追及地追及地
解答过程：（1）设两车行驶x 小时后相遇，
根据题意列方程，得60x ＋40x ＝300，
解这个方程，得x ＝3，
所以两车同时开出3小时后相遇．
（2）设快车开出y 小时后两车相遇，则慢车行驶了（y －1560
）小时，根据题意列方程，得60y ＋40（y －1560
）＝300， 解这个方程，得y ＝3.1，
所以快车开出3.1小时后两车相遇．
（3）设快车出发m 小时后追上慢车，
根据题意列方程，得60m ＝300＋40m ，
解这个方程，得m ＝15，
所以，两车出发15小时后快车追上慢车．
（4）设快车出发n 小时后追上慢车，根据题意列方程，
得60n ＝300＋40×3060
＋40n ， 解这个方程，得n ＝16，
所以40×3060
＋40n ＝20＋40×16＝660（千米）， 快车出发16小时后追上慢车，此时慢车行驶了660千米．
解题后的思考：借助线段图分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，这是一种解决实际问题的比较好的工具．
例8：有一个牛奶厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该牛奶厂的生产能力是：如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不能同时进行；受气温限制，这批牛奶必须在4天内加工完毕并全部销售．为此，该厂设计了两种方案．
方案一：尽可能多地制成奶片，其余的直接销售鲜奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪一种方案获利多呢？。