第一课振动第1章第2章

第2章 单自由度系统的自由振动
2.2 能量法（3）：举例II
ksa mgl T 1 m l 2
2
U 1 k a 2
2
Tmax

n2
2
ml 2 A2
U max

1 2
ka2 A2
第2章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法（1）：基本原理
考虑弹性元件分布质量 对固有频率影响的一种近 似计算方法。一般假设弹 性元件在振动过程中为均 匀变形，据此计算系统动 能，而后利用能量法计算 固有频率。
n
k I
T 2 2 I
n
k
f n 1 k 2 2 I
第2章 单自由度系统的自由振动
2.2 能量法（1） ：基本原理 对于保守系统，可由机械能守恒定律导
出系统运动方程。以T和U分别表示系统的 动能和势能，则
T+U=常数 d(T+U)/dt=0 对于自由振动为简谐振动的系统，可 据下面关系直接得到固有频率
n
k
m l 3
第2章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法（2）：举例I
yx

ym
3l2 x l3
4x3
ys mgl3 , k 48EJ
m 48EJ
l3
T

2
l 0
2
1 2
y2dx

1 17 2 35
l

ym2
Tmax

1 2

m

17 35
第1章 绪论——振动的分类
1.4 振动的分类 确定振动与随机振动 自由振动 强迫振动 自激振动 参激振动
第1章 绪论——振动问题及其解决方法
1.5 振动问题及其解决方法 1 振动问题 振动分析——已知激励、系统特性求响应 系统识别——已知激励、响应求系统特性 振动设计—— 环境预测——已知系统特性、响应求激励 2 解决振动问题的方法 理论分析与实验研究
第2章 单自由度系统的自由振动
2.4 等效刚度系数（3）：不同联结形式举例
第2章 单自由度系统的自由振动
2.5 有阻尼系统的自由振动（1）：阻尼的种类
摩擦阻尼：F=N 粘滞阻尼：F=−cv，线性阻尼
c——粘滞阻尼系数 结构阻尼：
第2章 单自由度系统的自由振动
2.5 有阻尼系统的自由振动（2）：运动方程及其解
Aent sin dt
d ln
1
A1
A2
2n , A1 nTd

B1 B2,
2
1 2
A2

i B1 B2

2 2
,A
2
A12


A22 ,

2
tan
,

A1
1
A2
A1 A2 Aj enTd e
2 1 nt
2
第2章 单自由度系统的自由振动
2.5 有阻尼系统的自由振动（4）：小阻尼系统
0< < 1, 0<c < cc：
x e B e B e nt
i 1 2nt 1
i 1 2nt 2
ent A1 cosdt A2 sindt
第1章 绪论——自由度、单位
1.6 自由度 确定一个振动系统空间位置所需要的独
立坐标的个数。 1.7 单位
基本单位（7个） 派生单位 补充单位（辅助单位及其派生）
第2章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动（1）：无阻尼单自由度系统的自由振动
mx kx
n
k m
xt Acosnt

g l
T 2 2 l
n
g
第2章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动（6）：举例III
I mgs sin
mgs 0
I
n
mgs I
T 2 2 I
n
mgs
第2章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动（7）：举例IV
I k 0
Tmax=Umax
第2章 单自由度系统的自由振动
2.2 能量法（2）：举例I
vC

R

r
,


R r
r

T

1 2
mvC2

1 2
IC 2
U W R r1 cos
Tmax

3W 4g
R r 2 n2 A2
U max

1W 2
R r
A2
2.1 简谐振动（4）：举例I
s

Pl 3 3EJ

k

P
s

3EJ l3
my ky 0
n
k m
J ml 3
f n 1 2 2
3EJ ml 3
第2章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动（5）：举例II
ml2 mgl sin
g 0
l
n2
2.4 等效刚度系数（1）：线性刚度系数 使弹性元件产生单位变形
所需要的力或力矩。 刚度系数具有方向性。
杆的拉压刚度 EA/l 梁的弯曲刚度 轴的扭转刚度 GJ/l
第2章 单自由度系统的自由振动
2.4 等效刚度系数（2）：弹簧的串联和并联 串联
1 n 1
k k i1 i
并联
n
k ki i 1
第2章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动（2）：简谐振动的矢量图表示
x
t


x0
cos nt

x0
n
sin
nt
第2章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动（3）：弹簧悬挂物体的垂向振动
s

mg k

k m

g
s
mx mg k s x
n
k m
g
s
第2章 单自由度系统的自由振动

2
l 0
21 2
y2dx

1 33 2 140
l

y02
Tmax

1 2

m

33 140
l


y 2 0 max

1 2

m

33 140
l

A2n2
Umax

1 2
k
y0
2 1 kA2 max 2
第2章 单自由度系统的自由振动
l


ym
2 max

1 2

m

17 35
l

A2n2
Umax

1 2
k
ym
2 1 kA2 max 2
第2章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法（3）：举例II
y
x

y0
3lx2 2l 3
x3
ys mgl3 , k 3EJ
0 3EJ
l3
T
A2 A3
Aj 1
第2章 单自由度系统的自由振动
2.5 有阻尼系统的自由振动（5）：阻尼复平面
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第2章 单自由度系统的自由振动
2.6 课堂讨论
mx cx kx 0
x B1es1t B2es2t
s1,2


c 2m


c 2m
2


k m
第2章 单自由度系统的自由振动
2.5 有阻尼系统的自由振动（3）：临界阻尼
临界阻尼：cc 2m
k m

2mn

2
km
阻尼比： c c c cc 2 km 2mn
运动方程的无量纲化：
x 2n x n2 x 0
临界阻尼（=1)时的解：
x (B1 B2t )ent
第2章 单自由度系统的自由振动
2.5 有阻尼系统的自由振动（4）：大阻尼系统
> 1, c > cc：
x B e B e 2 1 nt 1