中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题及答案

中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题及答案
一、单选题
1．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q 沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动。

设点P出发x秒时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有（）个
①当点P移动到点A时，点Q移动到点C ②正方形边长为6cm ③当AP=AQ时，△PAQ面积达到最大值④线段EF所在的直线对应的函数关系式为y=−3x+18
A．1B．2C．3D．4
2．如果y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠1C．a≠1且a≠0D．无法确定
3．下列函数是二次函数的是（）
A．y=2x+1B．y=﹣2x+1C．y=x2+2D．y=12x﹣2
4．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=12x2共有的性质是（）
A．开口向下B．对称轴是y轴
C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小
5．如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是
1cm/s，设P、Q出发t秒，△BPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（）
A．B．
C．D．
6．二次函数y=12（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）
A．向上，直线x=4，（4，5）B．向上，直线x=﹣4，（﹣4，5）
C．向上，直线x=4，（4，﹣5）D．向下，直线x=﹣4，（﹣4，5）
7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）
A．（1，﹣2）B．（1，2）
C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
8．点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）
A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C是AB的三等分点时，S最大
9．如图，△ABC为直角三角形，△C=90°，BC=2cm，△A=30°，四边形DEFG为矩形，DE=2 √3 cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（）
A．B．
C．D．
10．如图1，在△ABC中，△B＝90°，△C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（）
A．2B．4C．2 √3D．4 √3
11．函数y=ax2（a≠0）的图象与a的符号有关的是（）
A．顶点坐标B．开口方向C．开口大小D．对称轴
12．函数y=3x2+x﹣4是（）
A．一次函数B．二次函数C．正比例函数D．反比例函数
二、填空题
13．已知△P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2－1上运动，当△P与x轴相切时，圆心P的坐标为．
14．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，BC=4，BA=5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE△AB 交边BC于点E，过点B作BF△BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE 和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF 的长度为.
15．如图，抛物线与轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上在第一象限的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．
16．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3a经过(−1,0)和(0,3)两点，直线y=x+1与抛物线交于A，B两点，P是直线AB上方的抛物线上一动点，当△ABP的面积最大值时，点P 的横坐标为．
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，
−2√3），C（4，0），其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12PB+PD 的最小值为.
18．已知点A是抛物线y＝ax2－4ax＋4a＋3（a＞0）的图象上的一点
（1）当a＝2时，该抛物线的顶点坐标为；
（2）过点A作AC△x轴于点C，以AC为斜边作Rt△ABC和Rt△DAC，使得BC△AD，则BD的最小值为
三、综合题
19．二次函数y=ax2+2x-1与直线y=2x-3交于点P（1，b）。

（1）求出此二次函数的解析式；
（2）设两函数图象的另一交点为Q，M是抛物线上的动点，当S△PQM=2时，求M点的坐标。

20．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N(3,5).
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）把该抛物线向（填“上”或“下”）平移个单位长度，得到的抛物线与x轴只有一个公共点；
（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点A(−2,0)，且与y轴交于点B，同时满足以A，
O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由.
21．在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y=1
2x
上，如图．二次函数y=ax2+bx−2的图
像也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；
（3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，OB＝5，点D是此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是；
（3）①点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
②在①的条件下，当△BCE的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知抛物线y=ax2+bx−8的图像与x轴交于A(2，0)，B(−8，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx−8的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上一点，当ΔBCF的面积最大时，求出点F的坐标；24．如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
参考答案
1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】B
13．【答案】P (√3，2) 或 (−√3，2) 14．【答案】52
15．【答案】(1+√2,2) 16．【答案】12
17．【答案】3√
32
18．【答案】（1）（2，3） （2）3
19．【答案】（1）解：∵直线y=2x-3经过点P （1，b ）
∴2-3=b 解之：b=-1 ∴点P （1，-1） ∴a+2-1=-1 解之：a=-2
∴二次函数解析式为y=-2x 2+2x-1； （2）解：-2x 2+2x-1=2x-3 解之：x=±1
当x=-1时y=-2-3=-5. ∴点Q （-1.-5）
（2）设点M （x ，-2x 2+2x-1）
当点M 在直线PQ 上方时，过点M 作MH△y 轴，交PQ 于点H ∴点H （x ，2x-3）
∴S △PQM =12MH ·（x M −x Q ）+12
MH ·（x P −x M ）=2
∴12(x M −x H )·（x P −x Q ）=2 ∴1
2
[1−(−1)][−2x 2+2x −1−(2x −3)]=2
20．【答案】（1）解：由题意，得 {
a +
b +5=39a +3b +5=5 解得 {
a =1
b =−3
∴该抛物线的解析式为 y =x 2−3x +5
∵y =x 2−3x +5 =(x −32)2+11
4
∴顶点坐标为 (32,11
4
) ；
（2）下；114
（3）解： ∵ΔAOB 是等腰直角三角形， A(−2,0) ，点B 在y 轴上 ∴ 点B 的坐标为 (0,2) 或 (0,−2)
设平移后的抛物线的解析式为 y =x 2+mx +n ①当抛物线过点 A(−2,0) ， B(0,2) 时，有 {n =24−2m +n =0
解得 {
m =3n =2
∴ 平移后的抛物线的解析式 y =x 2+3x +2=(x +32)2−1
4
∴ 该抛物线的顶点坐标为 (−32,−1
4
)
∵ 原抛物线的顶点坐标为 (32,11
4
)
∴ 将原抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可得到符合条件的抛物线； ②当抛物线过 A(−2,0) ， B(0,−2) 时，有 {
n =−2
4−2m +n =0
解得 {
m =1n =−2
∴ 平移后的抛物线的解析式为 y =x 2+x −2=(x +12)2−9
4
∴ 该抛物线的顶点坐标为 (−12,−9
4)
∵ 原抛物线的顶点坐标为 (32,11
4
)
∴ 将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可得到符合条件的抛物线.
21．【答案】（1）解：∵二次函数y =ax 2+bx −2的图像与y 轴相交于点C
∴点C 的坐标为(0，−2) ∵BC //x 轴
∴点B 的纵坐标是−2
∵点A 、B 两点在直线y =1
2
x 上，点A 的横坐标是2
∴点A 的坐标为(2，1)，点B 的坐标为(−4，−2) ∵二次函数的图象也经过点A(2，1)、B(−4，−2)，得
{
4a +2b −2=116a −4b −2=−2
解这个方程组，得 a =1
4
∴二次函数的解析式是y =1
4
x 2+x −2；
（2）解：根据（1）得，二次函数y =1
4
x 2+x −2图像的对称轴是直线x =−2
∴点D 的坐标为(−2，−2) ∴OB =2√5 ∵BC //x 轴
∴∠OBD =∠BOE
∴以点E、O、B组成的三角形与△OBD相似有以下两种可能：
当BO
OB=
BD
OE时，△BOD△△OBE
显然这两相似三角形的相似比为1
与已知相似比不为1矛盾，这种情况应舍去；
当BO
OE=
BD
OB时，△BOD△△OEB
∴2√5
OE=
2
2√5
∴OE=10
又点E在x轴的负半轴上
∴点E的坐标为(−10，0)．
（3）解：过点C作CH⊥AM，垂足为H
根据（1）得，二次函数的解析式是y=1
4x
2+x−2的顶点坐标为M(−2，−3)
设直线AM的解析式为y=kx+b
∴{2k+b=1
−2k+b=−3
解得k=1
∴直线AM的解析式为y=x−1
设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q
则点P的坐标为(1，0)，点Q的坐标为(0，−1)
∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP=45°，OQ=OP=1∵∠OQP=∠HQC
∴∠HQC=45°
∵点C的坐标为(0，−2)
∴CQ=1
∴HC =HQ =√22
又MQ =√(−2−0)2+(−3−(−1))2=2√2
∴MH =MQ −HQ =32
√2 ∴tan∠AMC =HC MH =13
． 22．【答案】（1）解：∵OA ＝1，OB ＝5
∴A （﹣1，0），B （5，0）
将A 、B 两点代入y ＝ax 2+2x+c
∴{a −2+c =025a +10+c =0
∴{a =−12c =52
∴y ＝﹣12x 2+2x+52
； （2）2√2
（3）解：①如图1，过点E 作EF△x 轴交BC 于点F
设直线BC 的解析式为y ＝kx+b
∴{5k +b =0b =52
∴{k =−12b =52
∴y ＝﹣12x+52
； 设E （m ，﹣12m 2+2m+52
），则F （m ，﹣12m+52）
∴EF ＝﹣12m 2+2m+52+12m-52＝﹣12m 2+52
m ∴S △BCE ＝12×5×（﹣12m 2+52m ）＝﹣54（x ﹣52）2+12516
∴当x ＝52时，S △BCE 有最大值12516
； ②存在，(2，17544
) 23．【答案】（1）解：将A(2，0)，B(−8，0)代入函数y =ax 2+bx −8，得：
{4a +2b −8=064a −8b −8=0
解得{a =12b =3
∴抛物线解析式为y =12
x 2+3x −8． （2）解：如图，过点F 作FN ∥y 轴交BC 于N
设BC 直线方程为y =kx −8
将B(−8，0)代入BC 直线方程得：−8k −8=0 解得：k =−1
∴BC 直线方程为y =−x −8
设F(m ，12
m 2+3m −8)，则N(m ，−m −8) ∴S ΔBCF =S ΔBFN +S ΔCFN
=
12
FN ×8 =4[(−m −8)−(12m 2+3m −8)] =−2(m +4)2+32
∴当m =−4时，ΔBCF 的面积有最大值
将m =−4代入F(m ，12
m 2+3m −8)中得F(−4，−12) ∴点F 的坐标是F(−4，−12)．
24．【答案】（1）解：∵点A （1，0），AB=4
∴点B 的坐标为（-3，0）
将点A （1，0），B （-3，0）代入函数解析式中得： {0=1+b +c 0=9−3b +c
解得：b=2，c=-3
∴抛物线的解析式为 y =x 2+2x −3
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为 y =x 2+2x −3 顶点式为： y =(x +1)2−4
则C 点坐标为：（-1，-4）
由B （-3，0），C （-1，-4）可求直线BC 的解析式为：y=-2x-6 由A （1，0），C （-1，-4）可求直线AC 的解析式为：y=2x-2 ∵PQ△BC
设直线PQ 的解析式为：y=-2x+n ，与x 轴交点P (n 2，0)
由 {y =−2x +n y =2x −2 解得： Q(n+24，n−22
) ∵P 在线段AB 上
∴−3<n 2<1
∴n 的取值范围为-6＜n ＜2
则 S △CPQ =S △CPA −S △APQ
=12×(1−n 2)×4−12×(1−n 2)×(n −22
) =−18
(n +2)2+2 ∴当n=-2时，即P （-1，0）时， S △CPQ 最大，最大值为2。