2023年北京平谷初二(下)期末数学试卷及答案

2023北京平谷初二（下）期末
数 学
2023.6
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．在函数y =中，自变量x 的取值范围是
A ． 2x ≠
B ．2x >
C ．2x <
D ．x ≥2
2．下列四边形中，不是．．轴对称图形的是 A ． 矩形 B ．正方形
C ．菱形
D ．平行四边形
3．关于x 的一元二次方程220x x −=的解为 A ．2
B ．0
C ．02或
D ．0-2或
4. 若点A 在第二象限，且A 到x 轴的距离是1,y 轴的距离是2,点A 的坐标是
A.(-2，1）
B.
（-2，－1） C.（－1，2） D.（1，－2）
6．已知关于的方程有两个不等实数根，则的取值范围是 A ．21a a >≠且 B ．21a a ≥≠且 C ．21a a <≠且 D ．21a a ≤≠且
7．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，点M 为AB 的中点，连接OM . 若AC ＝6，BD ＝8，则OM 的长为
的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是
M D
C
B
A
O
图1 图2
（A ） （B ） （C ） （D ）
二、填空题（本题共16分，每小题2 分）
9．若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是 .
10. 如图，ABCD 中，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，BC =7，DE =3，则AB
的长为 .
11．用配方法解方程2240x x −−=时，将方程化为2()x m n −=的形式，则m= ，n= ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，若一次函数1y kx =+的图象经过点P （1，3），则随着x 的增大，y 的值
__________（填“增大”或“减小”）．
13．每年的4月23日是“世界读书日”.某校开展了“书香浸润心灵 阅读点亮人生”读书系列活动.为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如下：
两组数据的方差分别为
14.如图，点E 是正方形ABCD 的对角线
BD 上一点， ,EF BC EG CD ⊥⊥，垂足分别是F ，G ，
3,GF =则AE =______________.
14题 15题15. 公园里有一个边长为6米的正方形花坛，现在想扩大花坛的面积．要使花坛的面积增加
E
A
B
C
D
28平方米后仍然是正方形，设边长延长x 米，则可列方程为___________________.
16. 如图，直线24y x =−与x 轴和y 轴分别交与 A ，B 两点，射线 AP AB ⊥ 于点 A ， 若点C 是射线AP 上的一个动点，点D 是x 轴上的一个动点，且以 ,,A C D 为顶点的三角形与AOB ∆全等，则OD 的长为____________．
三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18-25题，每题5分，第26-28题每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．解方程：
（1）23270x −= （2）2450x x −−=
18. 函数)0(≠+=k b kx y 的图象如图所示， （1）由图可知B 点坐标是_____________.
（2）函数)0(≠+=k b kx y 的图象过点(1,3)A −−和点B ，求函数)0(≠+=k b kx y 的表达式. （3）结合图象直接写出不等式3kx b +≤的解集.
19．已知：如图1，线段a ．
求作：正方形形ABCD ，使得AB a ．
作法：如图2．
1．在直线l 上截取AB a ．
2．过点B 作直线m l ⊥，在直线m 上截取线段BC a =． 3．分别以点A 和点C 为圆心，a 的长为半径画弧，两弧的交点为D ．
(点D 与点C 在直线l 的同侧) 4．连接AD CD ，．
则四边形ABCD 为所求的正方形． 根据上面设计的尺规作图过程，
x
(1)使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明：
证明：∵AB BC CD AD a ==== ，
∴四边形ABCD 是菱形；(________________________________)．(填推理的依据) ∵直线m l ⊥，
∴ABC ∠=___________︒，
∴四边形ABCD 是正方形(_____________________________________)．(填推理的依据)． 20. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 是线段AC 上的两点，并且
AE CF =．求证：BE ∥DF ．
21．下面是证明直角三角形斜边中线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
22.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()1,0−，()1,2且与y 轴交于点A ．
（1）求该函数的解析式及点A 的坐标；
（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =−+的值小于一次函数的值，直接写出n 的取值范围．
23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，延长CB 到点E ，使BE BC =，连AE .
（1）求证：四边形AEBD 是平行四边形； （2）若CD =13，AC =10，求AE 的值.
24. 已知关于x 的一元二次方程210x mx m −+−=． （1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根小于0，求出m 的取值范围．
25. 为了增强居民的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力， A ，B 两个小区的居委会组织
小区居民进行了有关消防知识的有奖问答活动．现从A ，B 小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a ．A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：
5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；
E
b ．A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在
8090x ≤<这一组的是： 84 85 85 86 86 89 89
c ．B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如下：
（1）补全a 中频数分布直方图；
（2）A 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是______；B 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是______；
（3）为鼓励居民继续关注消防知识宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品．已知A ，B 两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．
26. 北京市平谷区是中国著名的大桃之乡，有着“山水平谷、森林城市、花果田园、人文胜地”的美誉.平谷大桃久负盛名，已经成为北京特色农业的代表、平谷区的一张名片.经过50多年的发展，大桃产业已成为平谷10万农民增收致富的重要渠道.每年盛夏时节，平谷大桃就会迎来成熟期.平谷某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃，线上可以通过“快团团”APP 进行团购拼单购买,线下可以到实体店购买.具体费用标准如下：
①线上销售方式：一律七折销售；
②线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠9元；
购买水蜜桃x 千克，所需费用y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示.
（1）水蜜桃标价为_________元/千克；
（2）求出线下销售时所需费用y 与x 之间的函数关系式； （3）若想购买20千克水蜜桃，请问采用哪种方式购买更省钱？
27.在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，点E 在对角线AC 上，连接EB ，点F 在直线AD 上（点F 与点D 不重合），且EF = EB.
（1）如图1，当点E 在线段OC 上（不与端点重合）时， ①求证：∠DFE = ∠ABE ；
②用等式表示线段AB ，AE ，AF 的数量关系并证明；
（2）如图2，当点E 在线段AO 上（不与端点重合）时，直接写出线段AB ，AE ，AF 的数量关系.
28. 在平面直角坐标系xoy 中，对于OABC 矩形其中(4,0),B(4,2),C(0,2)A ，给出如下定义:连接
AC ，OB 交于点P ,将点P 关于直线(k 0)y kx b =+≠对称得到点Q ，我们称Q 为OABC 矩形的有
缘点.
（1）若1,0k b ==请在图中画出OABC 矩形的有缘点Q ，并求出点Q 的坐标；
（2）已知ODEF 正方形，D(5,0),E(5,5),F(0,5)−−，当1k =时，若ODEF 正方形上存在OABC 矩形的有缘点，求b 的值.
图1
A
图2
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
9. 6； 10． 4； 11．m=1,n=5； 12．增大；
13．2甲s ＜2
乙s ； 14. 3； 15．()2664x += (或()2
63628x +=+) 16．6或
三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18-25题，每题5分，第26-28题每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17.（1）解：2
327x = ··
·······························
································
···················· 1 3x =± ··
·······························
································
································
······· 4 12
3-3x ,x == ·································
································
(5)
（2
）
2450x x −−=
由于a =1，b =-4，c =-5
()()
2
24441536b ac −=−−⨯⨯−= (3)
()4622b x a −−±−==
12
51x ,x ==− ·································
·····························
(5)
18. (1) ()23B ,...........................1分 (2).解：把（2,3），（-1,-3）代入 y kx b =+
∴23
3k b k b +=⎧⎨
−+=−⎩
························································································ 2 解得：k=2，b=-1··
·······························
································
(3)
∴此函数解析式21y x =−
（3）.2x ≤ ·
·································
···
(5)
19 . （1）如图所示；.....................2分
（2）四条边都相等的四边形是菱形， ..............3分 90，..............4分
有一个角是直角的菱形是正方形．............5分
20．连接,DE BF ∵平行四边形ABCD .
∴,OB OD OA OC ==.................................2分 ∵AE CF = ∴OE OF
=
∴四边形BEDF 是平行四边形. .................................4分 ∴BE ∥DF .................................5分
21．方法一 证明：∵D 为AB 中点，E 为AC 中点. ∴DE BC ∥.........................................2分
∴90AED ACB ∠=∠=︒........................................3分
∴DE 为线段AC 的垂直平分线........................................4分 ∴1
2
AD DC AB ==
........................................5分 方法二 证明：∵D 为AB 中点 ∴AD DB = ∵DE CD =
∴四边形AEBC 是平行四边形........................................2分 ∵90ACB ∠=︒
∴平行四边形AEBC 是矩形.......................................4分 ∴AB CE =......................................5分 ∴12
CD AB =
22. （1）解：把（-1,0），（1,2）代入 y kx b =+
∴2
k b k b +=⎧⎨
−+=⎩ ·························································································· 1 解得：k=1，b=-1·································
································
(2)
∴此函数解析式1y x =+
令x=0,y=1 ∴A(0,1) ··
·······························································································
(3)
（2）3n ≤......................................................5分 23.证明：
（1）∵菱形ABCD
∴AD ∥BC ，AD BC =..........................2分 ∵BE BC =
∴AD BE = ∵AD ∥BE
∴四边形BEBD 是平行四边形. ..........................3分 （2）∵菱形ABCD ，AC =10 ∴1
52
AO CO AC ==
=，90AOB ∠=︒
，
13AB CD ==
∴12BO =
∵BE BC =，AO CO =
∴224AE OB ==.................................5分 24. （1）
()()()
2
222
4411442b ac m m m m m ∆=−=−−⨯⨯−=−+=−， …………2分
∵ 2
(2)0m −≥， ∴0∆≥
∴方程总有两个实数根．……………………………………………3分
（2
）解：
()22
m m x ±−===
∴1212
m m x m +−=
=−，2212m m x +==……………………………………………………4分
∵方程有一个根小于0 ∴10m −<
∴1m < ……………………………………………………5分
25.解：（1）如图所示； ·
··················································································· 1分
（2）89
···································· 3分
（3）
910
2000200019002020
⨯+⨯=（份） 答：这两个小区的居委会一共需要准备1900份小奖品. …………………5分
E
26.解：（1）20元．……………………………………………1分 （2）当05x ≤≤时20y x =……………………………3分
当5x >时()
()
205(209)51001151145
y x x x =⨯+−−=+−=+……………………………5分
线下销售时所需费用y 与x 之间的函数关系式为{20(05)
1145(x 5)x x x y ≤≤+>=
（2）当20x =时，=0.72020=280y ⨯⨯线上 =1120+45=265y ⨯线下
∵280>265
∴ 线下购买更省钱. ……………………………6分 27. 解：（1） ①证明：连接DE .
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =AD ，∠BAD =90°. ∵点E 在对角线AC 上， ∴∠BAC =∠DAC =45°. ∵AE =AE ，∴△ABE ≌△ADE . ∴BE =DE ,∠ABE =∠ADE . ∵EF =BE ,∴DE =EF . ∴∠DFE =∠ADE .
∴∠DFE = ∠ABE . ……2分 ②2AE =AF + AB ; ……3分 证明：过点E 作EG ⊥AE 交AD 的延长线于点G . ∴ ∠AEG =90°. ∵∠DAE =45°，
∴ ∠AGE =∠DAE =∠BAE =45°. ∴AG =2AE .
∵∠DFE = ∠ABE ，EF=EB , ∴△ABE ≌△GEF . ∴AB=FG . ∴AB +AF=2AE . ……5分 （2）AB=AF +2AE ……6分 28. 解：（1）
A
··
·······························
································
································
(1)
∵OABC 矩形
∴P A=PC =OP ，∠AOC=90°
··
·······························
································
································
(2)
∵PE ⊥OA ，
∴∠PEA=90°，1
22
OE AE OA ==
= ∴1
12
PE OC ==
∴()21P ,
∵点P 与点Q 关于直线y=x 对称
∴()12Q ,
………………3分
（2）当点Q 在 OF 上时，由题意可 知 △PMQ 为 等腰直角三角形， ∠PMQ =90°
∴OM =1
∴b =1 (5)
当点Q 在 EF 上时，由题意可知
△QFN 为 等腰直角三角形，
QFN PMN ≅
∴FN MN =
∵OM =1,OF =5
∴ON =3
y
x
B
b=3 (6)。