北京市西城区三帆中学2014年秋初二上数学期中试题及答案

北京市西城区三帆中学2014年秋初二
上数学期中试题及答案
初二 数学
班级______分层班________ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿ 成绩＿＿＿＿＿
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 若分式3
1
x -有意义，则x 的取值范畴是( ). A ．x ≠ ̶ 1 B ．x=1 C ．x ≠1
D ．x= ̶ 1
2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ).
A ．a(x －y)＝ax －ay
B ．x3－x ＝x(x+1)(x －1)
C ．(x+1)(x+3)＝x2+4x+3
D ．x2+2x+1＝x(x+2)+1
5. y +2 )2=0，则( x +y )2014等于( ).
A ． ̶ 1
B ． 1
C ．32014
D ． ̶ 32014
6. 若分式
3y
x y
+中的x 、y 的值同时扩大到原先的5倍，则分式的值( ).
A ．是原先的15倍
B ．是原先的5倍
C ．是原先的15
D ．不变
7. 下列运算错误的是( ). A ．22()1()a b b a -=- B. 1a b a b
--=-+
C. 0.55100.20.323a b a b a b a b ++=-- D . a b b a a b b a
--=++
8. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出
'''A O B AOB ∠=∠的依据是( ).
A ．SAA
B ．SSS
C ．ASA
D ．AAS
9. 点P 在∠AOB 的平分线上，点
P 到OA 边的距离等于
5，点Q 是OB 边上的任意一点，下列选项正确的是( ).
A. PQ ≥ 5
B. PQ > 5
C. PQ < 5
D. PQ ≤ 5
10. 如右图，已知图中有3个正方形ABCD 、EB FG 和KHIJ ，若把图中全 等的三角形看成一类，则图中三角形的种类数量为( ).
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
D '
D
A
B C
O
O '
A '
B '
C '
二、填空题（本题共24分，每小题3分） 11.
x 的取值范畴是______________
_.
12. 分解因式：229ax ay -=___________________ ． 13.
如图，AB AC =，要使ABE ACD △≌△
是_____________________.（添加一个条件即可）. 14. 已知：m 、n 为两个连续的整数，且m
n ，则
m+n= ．
15. 已知
51
33m m n =+，则 m n
=____________________.
16. 某工程队预备修建一条长1200米的道路，由于采纳新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原打算快了20米，结果提早2天完成任务．若设原打算每天修建道路x 米，则按照题意可列方程为_________________________________________.
17. 如图,已知△ABC 中，点D 为BC 上一点，E 、F 两点分不在边AB 、AC 上，
若 BE=CD, BD=CF, ∠B=∠C, ∠A=50°，则∠EDF=__________°.
18. 设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，
若a1+a2+…+a2014=73，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，
则a1，a2，…，a2014中为0的个数是 ．
三、解答题（本题共30分，第19题每小题3分，第20～23题每小题5分，第24题4分）
19. 因式分解
（1）481m - （2） 22363x xy y -+-
解： 解：
20. 运算：
．
解：
21. 解分式方程 3
1122
x x x +=
--． 解：
22．先化简，再求值：1
21112
++÷⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-
a a a
a ，其中13-=a ． 解：
23. 如图，点B在线段AD上，BC DE
∥，AB ED
=，BC DB
=.
求证：A E
∠=∠.
证明：
24. 已知：如图，∠MON及边ON上
一点A．在∠MON内部求作：点P，使得P
A⊥ON，且点P
到∠MON两边的距离相等．（请用
尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法，
不必证明）．
N M
四、解答题（本题共10分，每小题5分）
25. 小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原先的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车
所需电费27元，已知每行驶1千米，原先的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的
电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
解：
26. 已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，C D平分∠ACE，
DB=DA, DM⊥BE于M，若AC=2，B Array C=1，求CM的长.
解：
B
五、解答题（本题6分）
27. 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=
90 ．
（1）按要求作出图形：
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE.
（2）猜想（1）中线段AD与BE的大小关系, 并证明你的结论.
解：（1）完成作图
（2）AD与BE的大小关系是．
证明：
六、填空题（本题共6分） 28． 观看下列等式：
第一个等式：122
311
;1221222a =
=-⨯⨯⨯⨯ 第二个等式：
2323
411
;2322232a ==-⨯⨯⨯⨯
第三个等式：3434
511
;3423242a ==-⨯⨯⨯⨯ 第四个等式：
4545
611
.4524252a ==-⨯⨯⨯⨯ 按上述规律，回答以下咨询题：
(1) 则第六个等式：6a =________________________
_________________;
(2) 用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =___________________________________________.
七、解答题（本题共14分，第29题6分，第30题8分） 29． 已知关于x 、y 的方程 2230.x y --=．
(1) 请你直截了当写出该方程的两组整数解；
(2) 若x m y n =⎧⎨=⎩和x n
y m
=⎧⎨=⎩是方程2230x y --=的两组不
同的解，
求33222m mn n -+的值. 解：(1) (2)
30. 【咨询题提出】
同学们差不多学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ” 、“HL ”），
请大伙儿连续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步摸索】
不妨将咨询题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情形进行探究．
【深入探究】
第一种情形：当∠B 是直角时，△ABC ≌△
如图①，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，E=90°，
按照判定方法
，能够明白Rt △ABC ≌Rt △
DEF ．
第二种情形：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ． 如图②，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 差不多上钝角，
求证：△ABC ≌△DEF ． 证明:
第三种情形：当∠B 是锐角时，△ABC 和△D EF 不一定全等．
在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，
且∠B 、∠E 差不多上锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，
使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （2）∠B 还要满足什么条件，就能够使△ABC ≌△DEF ？ 请直截了当写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 差不多上锐角，若_____________________，则△ABC ≌△DEF ．
北京三帆中学2014-2015学年度第一学期期中考试
图①
图②
图③
初二数学答案及评分参考标准
班级＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿成绩＿＿＿＿＿
一、选择题（本题共30分每小题3分，）
二、填空题（每小题3分，共24分）
三、解答题（本题共30分，第19题每小题3分，第20～23题每小题5分，第24题4分）
19. 因式分解
（1）481
m-
解：481
m-
=22
+-…………………1分
m m
(9)(9)
=2
++-…………………3分
m m m
(9)(3)(3)
（2）22
x xy y
-+-
363
解：22
x xy y
-+-
363
=-3(x2-2xy+y2) ……………………………………………………………1分=-3(x-y)2 ……………………………………………………………3分
20. 运算：(83)632+⨯-．
解：(83)632+⨯-
481832=+- (1)
分
433242=+-………………………………………………
… 4分
432=-
…………………………………………………5分
21. 解分式方程 3
1122
x x x +=
--．
22．先化简，再求值：121112
++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-
a a a
a ，其中13-=a ． 解：原式=1211112
++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++a a a a a a ……………………………………………1分
= 1
21112
++÷+-+a a a
a a ………………………………………………………2分
=()a
a a a 2
11+⋅+
………………………………………………………………3分
=1+a
………………………………………………………………4分
当13-=a 时，
原式=
3113=+-．……………………………………………………
………… 5分
23. 如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =. 求证：A E ∠=∠. 证明：∵BC ∥DE ，
∴∠ABC=∠EDB …………………2分 在△ABC 与△EDB 中
BC DB ABC EDB AB ED
=⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC
≌△EDB （SAS ）…………………4分 ∴A E ∠=∠. …………………………………5分
24. 已知：如图，∠MON 及边ON 上一点A ．在∠MON 内部求作：点P ，使得PA ⊥ON ，且点P
到∠MON 两边的距离相等．（请用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法，不必证明）．
解：作∠MON 的平分线OB ； …………………2分
作∠OAN 的平分线OC ； …………………4分
OB 、OC 交于点P ，则点P 为所求作的点.
四、解答题（本题共10分，每小题5分）
25. 小马自驾私家车从A 地到B 地，驾驶原先的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车
所需电费27元，已知每行驶1千米，原先的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的
电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需电费为x 元，…………………1分
由题意可得：10827
;
0.54x x
=+ ………………………………………………2分
解得： x=0.1
8；………………………………………………………………3分
经检验：x=0.18是原分式方程多解，且符合题意；………………………4分
答：新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需电费为0.18元. …………………5分
26. 已知：如图，点B 、C 、E 三点在同一条直线上，C D 平分∠ACE ， DB=DA, DM ⊥BE 于M ，
若AC=2，BC=1，求CM 的长. 解：作DN ⊥AC 于N ，
∵CD 平分∠ACE ，DM ⊥BE
N
D A
B
E
∴DN=DM ……………………1分 在Rt △DCN 和Rt △DCM 中，
,
,CD CD DN DM =⎧⎨
=⎩
∴Rt △DCN ≌Rt △DCM （HL ），
∴CN=CM ， …………………………………2分 在Rt △ADN 和Rt △BDM 中，
,
,AD BD DN DM =⎧⎨
=⎩
∴Rt △ADN ≌Rt △BDM （HL ），
∴AN=BM ， …………………………………3分 ∵AN=AC-CN, BM=BC+CM, ∴AC-CN=BC+CM ∴AC-CM=BC+CM
∴2CM=AC-BC, …………………………………4分 ∵AC=2，BC=1，
∴CM=0.5 …………………………………5分
五、解答题（本题6分）
27. 已知：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90︒． （1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC 到点D ，使CD=BC ； ②延长CA 到点E ，使AE=2CA ；
③连接AD ，BE, 并猜想线段 AD 与BE
（2）证明（1）中你对线段AD 与BE
解：（1）按要求作图见图
7，………………………………………………1分
猜想AD=BE
………………………………………………2分
（2）在AE 上截取AF=AC ，连结BF ， ∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=180°-90°=90°， ∴∠BAC=∠BAF ，
在△ABF 与△ABC 中
,,,
AB AB BAF BAC AF AC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABF ≌△ABC （SAS ），
∴∠2=∠1.
∵∠BAF=90°，
∴∠BAE=180°-90°=90°， ∴∠BAF=∠BAE ，
在△ABE 与△ABF 中
,,,
AB AB BAE BAF AE AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△ABF （SAS ），
∴BE=BF ……………………………………………5分
图9
F
D
E
B
C
A F
43
21
图8
D
E
B
C
A
∴BE=AD
……………………………………………6分
六、填空题（本题共6分） 28． 观看下列等式：
第一个等式：122
311
;1221222a =
=-⨯⨯⨯⨯ 第二个等式：
2323
411
;2322232a ==-⨯⨯⨯⨯
第三个等式：3434
511
;3423242a ==-⨯⨯⨯⨯ 第四个等式：
4545
611
.4524252a ==-⨯⨯⨯⨯ 按上述规律，回答以下咨询题：
(1) 则第六个等式：
6767
811
;6726272a =
=-⨯⨯⨯⨯……………………3分
(2) 用含n 的代数式表示第n 个等式：
611
211
.(1)22(1)2n n n n a n n n n +++=
=-⨯+⨯⨯+⨯……6分
八、解答题（本题共14分，第29题6分，第30题8分） 29． 已知关于x 、y 的方程 2230.x y --=．
(1) 请你直截了当写出该方程的两组整数解；
(2) 若x m y n =⎧⎨=⎩和x n y m
=⎧⎨=⎩是方程2230x y --=的两组不
同的解，求33222m mn n -+的值.
解：(1) 11x y =⎧⎨=-⎩,1
1x y =-⎧⎨=-⎩
(对1个1分答案不唯
独)，…………………2分 (2) （3）解：∵x m y n =⎧⎨=⎩和x n
y m
=⎧⎨=⎩是方程2230x y --=的两组
不同的解，
∴2230,m n --= 2230,n m --= ……………………3分
∴222()0m n m n -+-=. ∴2()()()0m n m n m n -++-=. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵m n ≠， ∴2()10m n ++=.
∴12
m n +=-. ……………………………… 4分
∵223m n =+，223n m =+， ∴33222m mn n -+ 22222m m mn n n =⋅-+⋅ n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3(
).(3n m +=
…………………………………………………5分 3
2
=-. …………………………………………………………6分
30. 【咨询题提出】
同学们差不多学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ” 、“HL ”），
请大伙儿连续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步摸索】
不妨将咨询题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情形进行探究．
【深入探究】
第一种情形：当∠B 是直角时，△ABC ≌△
如图①，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，E=90°，
按照判定方法
，能够明白Rt △ABC ≌Rt △
DEF ． 第二种情形：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ． 如图②，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 差不多上钝角，
求证：△ABC ≌△DEF ． 证明:
第三种情形：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．
在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 差不多上锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
图①
图②
图③
（2）∠B 还要满足什么条件，就能够使△ABC ≌△DEF ？ 请直截了当写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 差不多上锐角，若 ___ ，则△ABC ≌△DEF ．
解答：
第一种情形 HL ；
……………………………………1分
第二种情形：
证明：如图，过点C 作CG ⊥
AB 交AB 的延长线于G ，过点F
作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，
CBG FEH ∠=∠=90°，
∵∠B=∠E ，且∠B 、∠E 差不多上钝角，
∴180°﹣∠B=180°﹣∠E ，
即∠CBG=∠FEH ， ……………………………2分
在△CBG 和△FEH 中， ,,
,CBG FEH G H BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），
∴CG=FH ，
……………………………………4分
在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，
,,AC DF CG FH =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），
∴∠A=∠D ， …………………………………5分 在△ABC 和△DEF 中，,
,,A D B E AC DF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；………………………6分
（3）解：如图， ………………………7分
（4）解：∠B ≥∠A ，……………………8分。