第7章-逼近于理想解的排序技术TOPSIS

0,
若a'j
aij
a
0 j
,
若a
0 j
aij
a
* j
,
若a*j aij a"j ,
其它.
aij 无法容忍
变换后的属性值bij 与原属性值aij 之间的函数图形为一般梯形。
当属性值最优区间的上下限相等时，最优区间退化为一个点时，
函数图形退化为三角形。
第十四页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
[
a
为效益
型属性，则
bi j
a i/j
am a x j
采用上式进行属性规范化时，经过变换的最差属性值不一定为 0，
最佳属性值为 1。
若 x j为成本型属性，则
bij
1
aij
/
a max j
采用上式进行属性规范时，经过变换的最佳属性值不一定为 1，
最差属性值为 0。
第十二页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
越远(
S
j
越大)的方案越佳。
负理想解：由考虑的n个方案在m个属 性上的最差属性值的集合所构成的
综合表现最佳的方案。
第五页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
4、TOPSIS法的优点：
TOPSIS法对原始数据的信息利用最为充分，其结果能 精确的反映各评价方案之间的差距，
对数据分布及样本含量，指标多少没有严格的限制， 数据计算亦简单易行。
第十五页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
设研究生院的生师比最佳区间为[5,6]， a2' 2 ， a2" 12。则例 1 中的属性“生师比”的数据处理结果 如表 b。
表 b 生师比的数据处理
j 生师比 x2 处理后的生师比 i
1
5
1
2
6
1
3
7
0.8333
4
10
0.3333
5
2
0
第十六页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
第十一页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
常用的属性规范化方法有以下几种：
1）线性变换
原始的决策矩阵为 A (aij )mn ，变换后的决策矩阵记为
B (bij )mn，i 1,
,m， j 1,
,
n
。设a
max j
是决策矩阵第
j
列中的最大值，
a
min j
是决策矩阵第
j
列中的最小值。若
x
j
4 0.7200 1.3720 1.2362 -0.9095
5 1.3553 -1.3720 -1.5109 -1.1463
=(B2-AVERAGE(B$2:B$6))/STDEV(B$2:B$6)
第十七页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
对例 1 表 a 中师生比数据进行最优值为给定区间[5， 6]时的变换。然后对属性值进行向量规范化，结果见表 d。
[ai1, ,ain ]，它作为n维空间中的一个点，能唯一地表征方案
di 。 指标属性同趋化处理
a11 a12 a1n
可将低优指标和中性指标全转
化为高优指标
a
，' 方法是：
ij
A
a21
a22
a2n
ai' j
aij 1aij
高 低优 优指 指 (值 (值 标 标 越 越高 低))越 越 a好 m好 1 am2
第四页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
属 性
2 方案B
S
B
S
* B
S
* A
正理想解
S
A
方案A
负理想解
O
属性1
最理想解：由考虑的n个方案在m个属 性上的最佳属性值的集合所构成的
综合表现最佳的方案。
S
* j
为方案j与理想解的距离
离S理j- 想为解方越案近j与( 负S j* 理越想小解)而的离距负离理想解
第二部分 常用综合评价模型
第4章 综合评价概述 第5章 层次分析法（AHP） 第6章 模糊综合评价 第7章 逼近于理想解的排序技术TOPSIS 第8章 秩和比法（ RSR ） 第9章 灰色综合评价和灰色预测 数据包络分析（DEA）；突变级数法；人工神经网络
评价（BP）；…… 小结
第一页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
这种变换是线性的,从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣. 向量规范化对于成本型属性和效益型属性均适用
第十页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
数据（属性值）的规范化又叫数据的预处理。 属性值具有多种类型，包括效益型（高优指标/正指标）、成 本型（低优指标/逆指标）和区间型等。这三种属性，效益型属 性越大越好，成本型属性越小越好，区间型属性是在某个区间 最佳。 在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主要有如下三个 作用： （1）使得任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。 （2）非量纲化，排除量纲的选用对决策或评估结果的影响。 （3）归一化，把数值均变换到[0，1]区间上。 此外，还可在属性规范时用非线形变换或其它办法，来解 决或部分解决某些目标的达到程度与属性值之间的非线性关 系，以及目标间的不完全补偿性。
3） 标准化z-score：新数据=（原数据-均值）/标准差 4）小数定标规范化：通过移动数据的小数点AVE位RAG置E 来进行标准STD化EV
bij
aij
a min j
a max j
a min j
bij
a max j
aij
a max j
aj min
x‘=x/(10*j) ，其中，j是满足条件的最小整数。
也可以使用正向距离作为分子，此时相对接近度越小越好
7、排序，评优劣。
第七页，编辑于星期三：十六点Baidu Nhomakorabea二十四分。
例 1：研究生院试评估。
为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的 教学质量，国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评 估。为了取得经验，先选 5 所研究生院，收集有关数据资料进行 了试评估，下表是所给出的部分数据。
5 0.7651
0
0.0276 0.1741
x ij
5
x
2 ij
i1
第十八页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
也可以对上两步的同趋势化（同向化）和规范化变换
合并为一步：
Z ij
对高优指标
X ij
n
X
2 ij
i1
对低优指标
Zij
1/ X ij
n
(1/ X ij )2
i 1
第十九页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
第7章 逼近于理想解的排序技术TOPSIS
7.1 基本原理 7.2 TOPSIS过程 7.3 TOPSIS案例分析
第二页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
7.1 基本原理
1、概念：TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity
to an Ideal Solution）法，即逼近于理想解的排序技术，又称为优劣解
9）区间型属性的变换
有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。显然这种属性不
能采用前面介绍的两种方法处理。
设给定的最优属性区间为[a
0 j
,
a*j
]，a
' j
为无法容忍下限，a"j
为
无法容忍上限，则
1
(a
0 j
aij
)
/
(a
0 j
a'j
),
1,
bij
1 (aij
a*j
)
/
(a
" j
a*j ),
不仅适合小样本资料，也适用于多评价对象、多指标 的大样本资料。
可得出良好的可比性评价排序结果。
第六页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
7.2 TOPSIS过程
1、构造（同趋势化/同向化）初始矩阵
2、归范化/标准化：用向量规划化的方法求得规范决策矩阵
原始数据同趋化：目的是使各个指标的方向一致。通常采用低优指标向高优指标转化
bij aij
m
ai2j ，i 1,2, ,m， j 1,2, ,n.
i 1
规范化可以避免各个指标的量纲的不同 这种属性数值规范化方法称为向量规范化，是归范化/标准化的一种常用方法， 其最大特点是,规范化后,各方案的统一属性值的平方和为1,因此常用于计算各方案 与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧氏距离的场合.
0 j
,
a
* j
]
设数据的最优区间为[5,6], a'则2,:a''12,
处理前数据 a i j
处理后数据 b i j
1
5
1
2
6
1
3
7
0.8333
4
10
0.3333
5
2
0
1(aj0 aij)/(aj0 aj '),
1,
bij
1(aij
aj*)/(aj
''aj*),
0,
aj ' aij aj0 aj0 aij aj*, aj* aij aj '' 其他
5）对数函数转换 ：y=log10(x) 以10为底的对数函数转换
6） Logistic模式：新数据=1/（1+e^(-原数据)）
7）反余切函数转换：y=atan(x)*2/PI
8）模糊量化模式：新数据=1/2+1/2sin[π/（极大值-极小值）*（X-（极
大值-极小值）/2）] X为原数据
第十三页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
7.2 TOPSIS过程
2）最小——最大(min-max)规范化：又称为标准0-1变换，min-max标
准化方法是对原始数据进行线性变换，映射在区间[0,1]中 ➢高优指标/正指标： 新数据=（原数据-最小值）/（最大值-最小值） ➢低优指标/逆指标： 新数据=（最大值-原数据）/（最大值-最小值）
距离法、理想解法、理想点法，由C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首 次提出 。它是多目标决策分析中一种常用的有效方法。 TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序 的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。 2、适用条件：只要求各效用函数具有单调递增（或递减）性就行。
第八页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
7.2 TOPSIS过程
1、构造（同趋势化的）初始矩阵（m 个方案，n 个评价指标）
设多属性决策方案集为 D {d1,d2, ,dm }，衡量方案优 劣的属性变量为 x1, , xn ，这时方案集 D 中的每 个方案 di （ i 1, ,m ） 的 n 个 指 标 值 （ 属 性 值 ） 构 成 的 向 量 是
表 d 表 a 的数据经规范化后的属性值
j 人均专著
i
x1
1 0.0638
生师比 x2 0.597
科研经费 x3
0.3449
逾期毕业 率 x4
0.4546
2 0.1275
0.597
0.4139 0.5417
3 0.2550
0.4975
0.4829
0.6481
4 0.5738
0.199
0.6898 0.2225
的方法，绝对数一般采用倒数法（即1/x） ，相对数一般采用差数法（即1-x）。
3、构造加权规范阵
4、确定正理想解和负理想解； 5、计算各个方案到理想解、负理想解的距离。
TOPSIS法所用的是欧氏距离
6、计算各个方案与理想解的相对接近度
相对接近度=负向距离/(正、负向距离之和) 。此时越大越好
第三页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
7.1 基本原理
3、TOPSIS 方法的基本思路是：
①定义决策问题的理想化目标/理想解（Ideal Solution）：
正理想解（positive ideal solution）：又称为最优解，是一个设想
的最优的解（方案），其各个属性值（指标）都达到各备选方案中 的最好的值；
表 a 研究生院试评估的部分数据
j i
人均专著 x1 生师比 科研经费 x3 逾期毕业率 x4
（本/人）
x2 （万元/年）
（%）
1
0.1
5
5000
4.7
2
0.2
6
6000
5.6
3
0.4
7
7000
6.7
4
0.9
10
10000
2.3
5
1.2
2
400
1.8
权向量为 w [ 0 . 2 , 0 . 3 , 0 . 4 , 0 . 1 ]
负理想解（negative ideal solution）又称为最劣解，是一个设想
的最劣的解（方案），它的各个属性值（指标）都达到各备选方 案中的最坏的值。 ②检测各个方案与理想解的相对接近度； ③通过把各备选方案与正理想解和负理想解做比较，找到那个距理 想解的距离最近、而距负理想解的距离最远的方案。
7.2 TOPSIS过程
3、构造加权规范阵C (cij )mn
设由决策人给定各属性/指标的权重向量为
w [w1, w2, , wn]T ，则 cij w j bij，i 1,2, ,m， j 1,2, ,n.
amn
M MaijM
中性指标
并适当调整（扩大或缩小一定比例）转换数据
第九页，编辑于星期三：十六点 二十四分。
7.2 TOPSIS过程
2、归范化/标准化（normalization）：用向量规划化的方法求
得规范决策矩阵
设多属性决策问题的决策矩阵 A (aij )mn，规范化决 策矩阵 B (bij )mn，其中
例 1 中的数据经标准化处理后的结果见表 c： 表 c 数据经标准化的属性值表
j i
人均专著 x1
生师比 x2
科研经费 x3
逾期毕业 率 x4
1 -0.9741 -0.3430 -0.1946 0.2274
2 -0.7623
0
0.0916 0.6537
3 -0.3388 0.3430 0.3777 1.1747