第二节 一元二次不等式及其解法

第二节一元二次不等式及其解法

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课程标准(2017年版) 命题预测

1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过

程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元

二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一

元二次不等式的解集.

2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式

与相应函数、方程的联系.

1.考向预测:与基本初等函数结合考

查一元二次不等式与其对应的函数、方

程的关系问题.不等式的解法是重要考查

内容,其中“三个二次”之间的关系是考

查热点.

2.学科素养:主要考查逻辑推理、数

学运算核心素养.

1.“三个二次”的关系

判别式

Δ=b2-4ac

Δ>0Δ=0Δ<0二次函数

y=ax2+bx+c

(a>0)的图象

一元二次方程

ax2+bx+c=0

(a>0)的根

有两相异实根

x

1

,x

2

(x

1

<x

2

)

有两相等实根x

1

=x

2

=-b

2a

没有实数根

ax2+bx+c>0

(a>0)的解集

①{x|x<x

1

或

x>x

2

}

②{x|x≠x

1

} ③R

ax2+bx+c<0(a>0)的解集④{x|x

1<x<x

2

} ⑤⌀⑥⌀

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2.(x-a)(x-b)>0和(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式

解集

a<b

a=b

a>b

(x-a)(x-b)>0 {x|x<a 或x>b} ⑦ {x|x≠a}

⑧ {x|x<b 或x>a}

(x-a)(x-b)<0 ⑨ {x|a<x<b} ⑩ ⌀

{x|b<x<a}

口诀:大于取两边,小于取中间. 【常用结论】

1.一元二次不等式的恒成立问题

(1)一元二次不等式ax 2+bx+c>0对任意实数x 恒成立⇔{a >0,

b 2-4a

c <0.

(2)一元二次不等式ax 2+bx+c<0对任意实数x 恒成立⇔{a <0,

b 2-4a

c <0.

2.分式不等式的转化

(1)f (x )

g (x )>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).

(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).

(1)若不等式ax 2+bx+c<0的解集为(x 1,x 2),则必有a>0.( )

(2)若不等式ax 2+bx+c>0的解集是(-∞,x 1)∪(x 2,+∞),则方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1和x 2.( )

(3)若方程ax 2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为R.( ) (4)不等式ax 2+bx+c≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ=b 2-4ac≤0.( )

(5)若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的开口向下,则不等式ax 2+bx+c<0的解集一定不是空集.( )

答案 (1)√ (2)√ (3)✕ (4)✕ (5)√

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2.不等式x 2

-3x+2<0的解集为( ) A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) B.(-2,-1) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,2)

答案 D

3.若不等式mx 2+2x+1>0的解集为(-∞,-2)∪(-2

3,+∞),则m=( ) A.1

2

B.712

C.3

4

D.5

6

答案 C

4.不等式x -3

x -1≤0的解集为( ) A.{x|x<1或x≥3} B.{x|1≤x≤3} C.{x|1<x≤3} D.{x|1<x<3}

答案 C

5.若不等式x 2+ax+4≤0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 . 答案 (-∞,-4]∪[4,+∞)

6.不等式2x+1<1的解集是 . 答案 {x|x>1或x<-1}

一元二次不等式的解法

命题方向一 不含参数的一元二次不等式

典例1 (1)(2019牡丹江模拟)不等式x(2-x)<0的解集是( )

A.(2,+∞)

B.(-∞,2)

C.(0,2)

D.(-∞,0)∪(2,+∞) (2)求不等式-2x 2+x+3<0的解集. 答案 (1)B

解析 (1)因为

x(2-x)<0,

所以x(x-2)>0,解得x>2或x<0,

所以不等式的解集是(-∞,0)∪(2,+∞).

(2)化-2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,

解方程2x2-x-3=0,得x

1=-1,x

2

=3

2

,

∴不等式2x2-x-3>0的解集为(-∞,-1)∪(3

2

,+∞),

即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3

2

,+∞).

命题方向二含参数的一元二次不等式典例2 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).

解析原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.

①当a=0时,原不等式可化为x+1≤0,解得x≤-1.

②当a>0时,原不等式可化为(x-2

a

)(x+1)≥0,

解得x≥2

a

或x≤-1.

③当a<0时,原不等式化为(x-2

a

)(x+1)≤0.

当2

a >-1,即a<-2时,解得-1≤x≤2

a

;

当2

a

=-1,即a=-2时,解得x=-1;

当2

a <-1,即-2<a<0时,解得2

a

≤x≤-1.

综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1}; 当a>0时,不等式的解集为{x|x≥2

a

或x≤-1};

当-2<a<0时,不等式的解集为{x|2

a

≤x≤-1};

当a=-2时,不等式的解集为{-1};

当a<-2时,不等式的解集为{x|-1≤x≤2

a

}.

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