第一章 第3讲 自由落体运动和竖直上抛运动-2025高三总复习 物理(新高考)

第3讲自由落体运动和竖直上抛运动
[课标要求]
1.通过实验，认识自由落体运动规律，结合物理学史的相关内容，认识物理实验
与科学推理在物理学研究中的作用。

2.认识竖直上抛运动规律，体会实际中竖直上抛运动的特点。

考点一
自由落体运动
1．自由落体运动的特点：初速度为零，只受重力作用。

2．自由落体运动的三个基本公式：(1)速度公式：v ＝gt 。

(2)位移公式：h ＝1
2
gt 2。

(3)速度—位移关系式：v 2＝2gh 。

学生用书
第10页
【高考情境链接】
(2021·湖北高考·改编)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。

某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5m 完成技术动作，随后5m 完成姿态调整。

假设整个下落过程近似为自由落体运动。

判断下列说法的正误：(1)陈芋汐前5m 完成技术动作的时间为1s 。

(√)(2)陈芋汐后5m 完成姿态调整的时间为1s 。

(×)
(3)任何物体从静止下落的运动都可以看成自由落体运动。

(×)
自由落体运动规律的推论
1．从静止开始连续相等时间内的下落高度之比为1∶3∶5∶7∶…2．从静止开始任意一段时间内的平均速度v ＝h t ＝v 2＝1
2gt 。

3．连续相等时间T 内的下落高度之差Δh ＝gT 2。

注意：物体只有从由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，而从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，而是竖直下抛运动，此时应该用初速度不为零的匀加速直线运动规律去解决此类问题。

考向1单物体的自由落体运动
高空抛物是一种不文明行为，会带来很大的社会危害。

某天，家住8楼的小华发现有一钢球从落地窗外坠落，调看家里视频监控发现钢球通过落地窗用时0.1s，已知落地窗高度为2m，每层楼高度为3m，试估算钢球从几楼抛出()
A．9楼B．10楼
C．15楼D．20楼
答案：C
解析：设钢球下落点距离小华家窗户上沿高度为h，则h＝1
2
gt2，h＋2m＝1
2
(t＋0.1s)2，解得
t＝1.95s，h≈19m，由19
3
≈6.3可知钢球从15楼抛出。

故选C。

考向2多物体的自由落体运动
(多选)从高度为125m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1s，g取10m/s2，不计空气阻力，以下判断正确的是()
A．b球下落高度为20m时，a球的速度大小为20m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45m
C．在a球接触地面之前，两球速度差恒定
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
答案：BC
解析：b球下落高度为20m时，所用时间t1＝2h
g＝
2×20
10
s＝2s，则a球下降了3s，a
球的速度大小为v＝30m/s，故A错误；a球下降的总时间为t2＝2×125
10
s＝5s，此时b
球下降了4s，b球的下降高度为h′＝1
2×10×4
2m＝80m，故b球离地面的高度为h B＝(125
－80)m＝45m，故B正确；由自由落体的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C正确，D错误。

考向3非质点物体的自由落体运动
如图所示，木杆长5m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20m处的圆筒AB，圆筒AB长为5m，取g＝10m/s2，求：
(1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间t1；
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2。

【审题指导】(1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间：木杆的下端到达圆筒上端A时开始计时，木杆的上端到达圆筒上端A时结束计时。

(2)木杆通过圆筒AB所用的时间：木杆的下端到达圆筒上端A时开始计时，木杆的上端到达圆筒下端B时结束计时。

答案：(1)(2－3)s(2)(5－3)s
解析：(1)木杆由静止开始做自由落体运动，
设木杆的下端到达圆筒上端A所用的时间为t
下A
gt2下A
h下A＝1
2
h下A＝20m－5m＝15m
＝3s
解得t
下A
设木杆的上端到达圆筒上端A所用的时间为t
上A
h上A＝1
gt2上A＝20m
2
＝2s
解得t
上A
则木杆通过圆筒上端A所用的时间
t1＝t上A－t下A＝(2－3)s。

(2)设木杆的上端到达圆筒下端B所用的时间为t上B
h上B＝1
gt2上B
2
h上B＝20m＋5m＝25m
＝5s
解得t
上B
则木杆通过圆筒所用的时间t2＝t上B－t下A＝(5－3)s。

学生用书第11页
考点二竖直上抛运动
1．竖直上抛运动的特点：初速度方向竖直向上，只受重力作用。

2．竖直上抛运动的三个基本公式
(1)速度公式：v＝v0－gt。

(2)位移公式：h＝v0t－1
gt2。

2
(3)速度—位移关系式：v 2－v 20＝－2gh 。

【基础知识判断】
1．竖直向上抛出的乒乓球的运动可以看成竖直上抛运动。

(×)
2．做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量的方向是向下的。

(√)3．当竖直上抛运动的速度为负值时，位移也一定为负值。

(×)
竖直上抛运动的两个特性
1．对称性：如图所示，物体以初速度v 0竖直上抛，A 、B 为途中的任意两点，C 为最高点，则：
2．多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，形成多解，在解决问题时要注意这个特性。

(多选)(2024·山东省高三联考)某同学在一个25m 高的平台边缘将一彩球以速度v 0＝
20m/s 竖直向上抛出，抛出点为A ，不计空气阻力，g ＝10m/s 2，则抛出后彩球距抛出点A 的距离为10m 时，彩球运动的时间可能为()
A ．(2－2)s
B ．(2＋2)s
C ．(2＋6)s
D ．6s
【题眼点拨】(1)看到“彩球以速度v 0＝20m/s 竖直向上抛出”，想到“可以计算出彩球上升的最大高度为20m ”。

(2)看到“抛出后彩球距抛出点A 的距离为10m ”，想到“彩球可能经过抛出点A 正上方10m 处，也可能经过抛出点A 正下方10m 处”。

(3)看到“25m 高的平台”，想到“彩球经过抛出点A 正下方10m 处的情况是存在的”。

答案：ABC
解析：方法一：分段法
由H ＝v 2
02g
，解得H ＝20m ，彩球上升10m 时，速度为v 1，则由v 21－v 20＝－2gh ，解得v 1＝
102m/s ，则t 1＝v 0－v 1
g
＝(2－2)s ，故A 正确；彩球从抛出到下落至A 点上方10m 时，t 2
＝t 1＋
2v 1g
＝(2＋2)s ，故B 正确；彩球从最高点到下落至A 点下方10m 处时，H ＋h ＝1
2gt 23，
解得t 3＝6s ，故彩球从抛出到下落至A 点下方10m 处时，t 3′＝v 0
g
＋t 3＝(2＋6)s ，故C 正
确，D 错误。

方法二：全程法
取竖直向上为正方向，彩球的位移为x ＝v 0t －1
2gt 2，当彩球位于A 点上方10m 处时，x ＝10m ，
解得t 1＝(2－2)s ，t 2＝(2＋2)s ，故A 、B 正确；当彩球位于A 点下方10m 处时，x ＝－10m ，解得t 3＝(2＋6)s ，另一解为负值，舍去，故C 正确，D 错误。

方法技巧
竖直上抛运动的研究方法
1．分段法：将全程分为两个阶段：(1)上升过程：匀减速直线运动；(2)下降过程：自由落体运动。

2．全程法：取v 0的方向为正方向，将全过程视为初速度为v 0、加速度为a ＝－g 的匀变速直线运动，则有v ＝v 0－gt ，h ＝v 0t －1
2gt 2。

此时要注意v 、h 的矢量性及其意义：
(1)v ＞0时，物体正在上升；v ＜0时，物体正在下降。

(2)h ＞0时，物体在抛出点上方；h ＜0时，物体在抛出点下方。

对点练1．一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A 的时间间隔是5s ，两次经过一个较高点B 的时间间隔是3s ，则A 、B 之间的距离是(不计空气阻力，g ＝10m/s 2)()
A ．80m
B ．40m
C ．20m
D ．无法确定
答案：C
解析：物体做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到A 点的时
间为t A 2，从最高点自由下落到B 点的时间为t B 2，A 、B 间距离为h AB ＝121
2
×10×(2.52－1.52)m ＝20m ，故选C 。

对点练2．在足够高的塔顶上以v 0＝20m/s 的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力，g ＝
10m/s 2)，从抛出至位移大小为15m 这段过程，小球()
A ．经过的时间可能为2s
B ．平均速度可能为7.5m/s
C ．通过的路程可能为55m
D ．加速度有可能反向答案：C
解析：根据题意，取向上为正方向，当位移为h ＝15m 时，由公式h ＝v 0t －1
2gt 2，代入数据
解得t 1＝1s ，t 2＝3s ；当位移为h ＝－15m 时，由公式h ＝v 0t －1
2·gt 2，代入数据解得t 3＝(2＋7)
s ，t 4＝(2－7)s (舍去)，故A 错误；根据题意，由公式v 2－v 20＝－2gh 可得，小球上升的最
大高度为h m ＝v 202g
＝20m ，当t ＝1s 时，小球通过的路程为s 1＝h ＝15m ，平均速度为v ＝h
t ＝
15m/s ，当t ＝3s 时，小球通过的路程为s 2＝2h m －h ＝25m ，平均速度为v ＝h
t ＝5m/s ，当t
＝(2＋7)s 时，小球通过的路程为s 3＝2h m ＋h ＝55m ，平均速度为v ＝－15
2＋7
m/s ＝
(10－57)m/s ，故B 错误，C 正确；整个运动过程的加速度一直为重力加速度，方向一直竖
直向下，故D 错误。

故选C 。

学生用书
第12页
1．刹车类问题的特点
(1)刹车时匀减速到速度为零时即停止运动，加速度a 突然消失。

(2)求解时要注意确定问题中所涉及的运动时间与刹车时间之间的大小关系。

(3)如果问题涉及最后阶段(到停止)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零的匀加速直线运动处理。

(4)在刹车问题中，有时要考虑司机的反应时间，注意在反应时间内汽车做匀速直线运动，刹车后做匀减速直线运动。

2．双向可逆类运动的特点
双向可逆类运动是指物体在恒力作用下的有往复的匀变速直线运动，其运动规律与竖直上抛运动规律相似，也可称之为“类竖直上抛运动”。

如：物体以某一初速度沿足够长的光滑斜面上滑的运动。

应用1．小明驾驶他的SUV 以时速72km/h 匀速行驶在320国道上，看到前方十字路口闪烁的绿灯只有5s 了，他立即刹车，此后轿车做匀减速直线运动，加速度大小为5m/s 2，等车子稳稳地停下来后，他挂好空挡，拉好手刹，抬头发现闪烁2s 的黄灯刚好变成红灯。

则小明刹车后这7s 内车子的位移是()
A ．17.5m
B ．37.5m
C ．40m
D ．62.5m
答案：C
解析：车子速度v ＝72km/h ＝20m/s ，车子减速到零需用时t ＝v a ＝20
5
s ＝4s ，而后面剩下的
3s 车子已经停下来了，则从开始刹车到停止，运动的位移是x ＝12at 2＝1
2×5×42m ＝40m 。

C
正确。

应用2．如图所示，一物块(可视为质点)以一定的初速度从一足够长的光滑固定斜面的底端开始上滑，在上滑过程中的最初5s 内和最后5s 内经过的位移之比为11∶5。

忽略空气阻力，则此物块从底端开始上滑到返回斜面底端一共经历的时间是()
A ．8s
B ．10s
C ．16s
D ．20s
答案：C
解析：设物块运动的加速度为a ，上滑运动时间为t ，把物块上滑的运动看成反向的初速度为0的匀加速直线运动，则最后5s 内的位移为x 1＝12a ×(5s)2＝25
2a (m)，最初5s 内的位移为x 2
＝a (t －5s)×5s ＋12a ×(5s)2＝5at －25
2a (m)，又因为x 2∶x 1＝11∶5，解得t ＝8s 。

由于斜面光
滑，上滑和下滑的时间相同，则物块从底端开始上滑到返回斜面底端一共经历的时间是16s ，故A 、B 、D 错误，C 正确。

应用3．(多选)一质点在水平面内做匀变速直线运动，已知初速度大小为v ，经过一段时间速度大小变为2v ，加速度大小为a ，这段时间内的路程与位移大小之比为5∶3，则下列叙述正确的是(
)
A ．这段时间内质点运动方向不变
B ．这段时间为
3v a
C ．这段时间的路程为
3v 22a
D ．再经过相同时间，质点速度大小为5v 答案：BD
解析：由题意知，质点做匀减速直线运动，速度减小到零后，再返回做匀加速运动，即在这段时间内运动方向改变，选项A 错误；由v ＝v 0＋at 得－2v ＝v －at ，解得t ＝
3v a
，选项B
正确；由v 2
－v
2
0＝2ax
得，由初速度为v 减速到零所通过的路程s 1＝v 2
2a
，然后反向加速到2v
所通过的路程s 2＝（2v ）22a ＝2v 2a ，则总路程为s ＝s 1＋s 2＝5v 2
2a ，选项C 错误；再经过相同时
间，质点速度v ′＝v －a ·2t ＝－5v ，即速度大小为5v ，选项D 正确。

课时测评3
自由落体运动和竖直上抛运动
对应学生
用书P355(时间：45分钟
满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题8、9、11、14，每题5分，其余每题4分，共60分)
1．(4分)宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为2kg 的物体从足够高的高度自由下落，测得物体在第5s 内的位移是18m ，则()
A ．物体在2s 末的速度是20m/s
B ．物体在第5s 内的平均速度是3.6m/s
C ．物体自由下落的加速度是5m/s 2
D ．物体在5s 内的位移是50m 答案：D
解析：根据运动学公式Δx ＝12at 22－1
2at 21＝18m ，t 2＝5s ，t 1＝4s ，解得a ＝4m/s 2，选项C 错
误；物体在2s 末的速度为v 2＝4×2m/s ＝8m/s ，选项A 错误；物体在5s 内的位移为x 5＝1
2
×4×52m ＝50m ，选项D 正确；物体在第5s 内的位移为18m ，故物体在第5s 内的平均速度为18m/s ，选项B 错误。

2．(4分)如图所示，物理研究小组正在测量桥面某处到水面的高度。

一同学将两个相同的铁
球1、2用长L＝3.8m的细线连接。

用手抓住球2使其与桥面等高，让球1悬挂在正下方，然后由静止释放，桥面处的接收器测得两球落到水面的时间差Δt＝0.2s，g＝10m/s2，则桥面该处到水面的高度为()
A．22m B．20m
C．18m D．16m
答案：B
解析：设桥面到水面的高度为h，根据自由落体运动位移公式，对铁球2有h＝1
2
gt22，对铁球
1有h－L＝1
2
gt21，又t2－t1＝Δt，解得h＝20m，故选B。

3．(4分)(2024·辽宁大连模拟)CBA篮球筐距地面高度3.05m，某篮球运动员站立举手能达到高度 2.53m。

如图所示，他竖直跳起将篮球扣入篮中，重力加速度g＝10m/s2，他起跳的初速度约为()
A．1m/s B．2.5m/s
C．3.8m/s D．10m/s
答案：C
解析：根据v2＝2gh可得v＝2gh＝2×10×（3.05－2.53）m/s≈3.2m/s，因运动员竖直跳起将篮球扣入篮中，可知起跳的初速度略大于3.2m/s，故选C。

4．(4分)如图所示，在离地面一定高度处把4个水果以不同的初速度竖直上抛，不计空气阻力，若1s后4个水果均未着地，则1s后速率最大的是(g取10m/s2)()
答案：A
解析：取竖直向上为正方向，根据v ＝v 0－gt ，v 0A ＝3m/s ，代入解得v A ＝－7m/s ，同理解得
v B ＝－5m/s ，v C ＝0m/s ，v D ＝5m/s 。

由于|v A |＞|v B |＝|v D |＞|v C |，故选A 。

5．(4分)一物体从一行星表面某高度处自由下落(不计空气阻力)。

自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h 随时间t 变化的图像如图所示，则()
A ．行星表面重力加速度大小为10m/s 2
B ．1s 末物体的速度大小为20m/s
C ．物体落到行星表面时的速度大小为20m/s
D ．物体落到行星表面前1s 内的位移等于15m
答案：C
解析：设物体下落的加速度为a ，物体做初速度为零的匀加速直线运动，从题图可以看出下落高度h ＝25m ，所用的时间t ＝2.5s ，由位移—时间关系式h ＝1
2·at 2可得a ＝8m/s 2，故A
错误；由速度—时间公式得v ＝at 1＝8m/s ，故B 错误；物体做初速度为零的匀加速直线运动，由速度—时间公式得v ′＝at ＝20m/s ，故C 正确；由题图可以看出1.5s 到2.5s 这1s 内的位移大于15m ，故D 错误。

故选C 。

6．(4分)升降机从井底以5m/s 的速度向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，再经过4s 升降机底板上升至井口，此时螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度g ＝10m/s 2，下列说法正确的是()
A ．螺钉松脱后做自由落体运动
B ．矿井的深度为45m
C ．螺钉落到井底时的速度大小为40m/s
D ．螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时16s 答案：D
解析：螺钉松脱后先做竖直上抛运动，到达最高点后再做自由落体运动，A 错误；规定向下为正方向，根据v ＝－v 0＋gt ，螺钉落到井底时的速度大小v ＝－5m/s ＋10×4m/s ＝35m/s ，C 错误；螺钉下降的距离h 1＝－v 0t ＋12gt 2＝－5×4m ＋1
2
×10×42m ＝60m ，因此井深h ＝v 0t
＋h1＝80m，B错误；螺钉随升降机从井底出发到落回井底的时间与升降机从井底升到井口
的时间相同，为t＝h
v0＝16s，D正确。

故选D。

7．(4分)(2024·安徽合肥模拟)某同学在合肥海洋馆里观看海狮表演，海狮从水面将球以一定的初速度竖直向上顶出，该同学通过手机的录像功能测算出球被顶出又落回水面的时间为1.6秒，忽略空气阻力，g取10m/s2，海狮抛接球视为同一位置，关于小球在空中运动过程下列说法正确的是()
A．小球被顶出的初速度为16m/s
B．第一个0.4s比第二个0.4s的位移大2.4m
C．小球在空中的速度变化量大小为8m/s
D．小球在空中上升的最大高度为3.2m
答案：D
解析：小球上升时间和下降时间相等，则初速度为v＝g×t
2＝8m/s,A错误；第一个0.4s比
第二个0.4s多走的位移大小为Δh＝gT2＝1.6m，B错误；小球初速度为8m/s，末速度为8m/s，
方向相反，速度变化量大小为16m/s，C错误；小球上升的最大高度为h＝1
2
g＝3.2m,D
正确。

8．(5分)(多选)一物体自空中的A点以一定的初速度竖直向上抛出，3s后物体的速率变为10 m/s，则关于物体此时的位置和速度方向的说法可能正确的是(不计空气阻力，g＝10 m/s2)()
A．在A点下方15m处，速度方向竖直向下
B．在A点上方15m处，速度方向竖直向下
C．在A点上方75m处，速度方向竖直向上
D．在A点上方75m处，速度方向竖直向下
答案：BC
解析：取竖直向上为正方向，若此时物体的速度方向竖直向上，由竖直上抛运动公式v＝v0
－gt ，得物体的初速度v 0＝v ＋gt ＝40m/s ，则物体的位移为h 1＝
（v 0＋v ）
2
t ＝75m ，物体在A 点的上方，C 正确，D 错误；若此时速度的方向竖直向下，物体的初速度v 0′＝－v ＋gt ＝20m/s ，物体的位移为h 2＝
（v 0′－v ）
2
t ＝15m ，物体仍然在A 点的上方，A 错误，B 正确。

9．(5分)(多选)(2024·山东省12月联考)如图所示，在足够高的空间内，小球位于空心管的正上方h 处，空心管长为L ，小球球心与管的轴线重合，并在竖直线上。

当释放小球，小球可能穿过空心管，不计空气阻力，则下列判断正确的是()
A ．两者同时无初速度释放，小球不能穿过管
B ．两者同时释放，小球具有竖直向下的初速度v 0，管无初速度，则小球一定能穿过管，且穿过管的时间与当地重力加速度有关
C ．两者同时释放，小球具有竖直向下的初速度v 0，管无初速度，则小球一定能穿过管，但穿过管的时间与当地重力加速度无关
D ．两者均无初速度释放，但小球提前了Δt 时间释放，则小球一定能穿过管，但穿过管的时间与当地重力加速度无关
答案：AC
解析：若两者无初速度同时释放，则在相同时间内下降的高度相同，可知小球在空中不能穿过管，故A 正确；两者同时释放，小球具有向下的初速度，管无初速度，根据Δx ＝v 0t ＋1
2gt 2
－1
2gt 2＝v 0t ＝h ＋L ，解得穿过管的时间t ＝h ＋L v 0，球穿过管的时间与当地重力加速度无关，故B 错误，C 正确；两者均无初速度释放，但小球提前了Δt 时间释放，根据Δx ＝12g (t ＋Δt )2－12gt 2
＝12g Δt 2
＋gt Δt ＝h ＋L ，解得穿过管的时间t ＝2（h ＋L ）－g （Δt ）22g Δt ，可知小球能穿过管，穿过管的时间与当地的重力加速度有关，故D 错误。

故选AC 。

10．(4分)(2024·山东德州模拟)一名外墙清洁员乘坐吊篮从地面开始以2m/s 的速度匀速上升，中途一个小物体从吊篮上掉落，随后2s 清洁员听到物体落地的声音，忽略空气阻力对物体运动的影响，此时吊篮离地面的高度约为(
)
A ．15m
B ．20m
C ．24m
D ．30m
答案：B
解析：设物体掉落时吊篮离地面的距离为h 1，物体掉落后做竖直上抛运动，初速度大小为v 0＝2m/s ，忽略声音在空中传播经历的时间，则物体在空中运动的时间为t ＝2s 。

规定竖直向下的方向为正方向，由运动学公式可得h 1＝－v 0t ＋1
2gt 2，解得h 1＝16m ，吊篮匀速上升，故
物体在空中运动的过程中，吊篮上升的距离为h 2＝v 0t ＝4m ，则此时吊篮离地面的高度约为h 1＋h 2＝20m ，故B 正确。

11．(5分)(多选)利用水滴下落可以粗略测量重力加速度g 的大小。

调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水刚开始下落，而空中还有一滴水正在下落。

测出此时出水口到盘子的高度为h ，从第1滴水开始下落到第n 滴水刚落至盘中所用时间为t 。

下列说法正确的是()
A ．每滴水下落时间为
h 2g
B ．相邻两滴水开始下落的时间间隔为
h 2g
C ．第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为
h
2D ．此地重力加速度的大小为
h （n ＋1）2
2t 2答案：BD
解析：设每滴水下落时间为t 0，根据自由落体运动公式，有h ＝1
2gt 20，解得t 0＝
2h
g
，相邻的两滴水时间间隔相同，则相邻两滴水开始下落的时间间隔为Δt ＝1
2
t 0＝
h 2g
，可知第1滴水刚落至盘中时，第2滴水距盘子的距离为h ′＝h －12g (Δt )2＝3
4h ，A 、C 错误，B 正确；第1滴
水落到盘中到第n 滴水落到盘中时间间隔Δt 的个数为n －1，则有t ＝t 0＋(n －1)Δt ＝(n ＋1)Δt ，同时根据前面分析有Δt ＝1
2
t 0＝
h
2g ，联立解得g ＝h （n ＋1）22t 2
，D 正确。

故选BD 。

12．(4分)(2024·云南昆明高三模拟)如图所示，在空中将小球P 从a 点竖直向上抛出的同时，将小球Q 从a 点正上方的c 点由静止释放，一段时间后Q 在a 点正下方的b 点时追上P ，此过程中两小球均未落地且未发生碰撞。

若a 、b 两点间的高度差为h ，c 、a 两点间的高度差为2h 。

不计空气阻力，重力加速度为g ，两小球均可视为质点，则小球P 相对抛出点上升的最大高度为(
)
A ．
h 6B ．
h 3
C ．
h 2D ．34
h
答案：B
解析：Q 做自由落体运动，有x Q ＝3h ＝1
2
gt 2，解得t ＝
6h
g
，从抛出到相遇，以向下为正方向，可得x P ＝－v 0t ＋12gt 2，由题可知x P ＝h ，解得v 0＝6gh
3，P 上升的最大高度为h m ＝v 202g ＝h 3
，
故选B 。

13．(4分)如图所示，两根长度均为1m 的细杆ab 、cd ，两杆不在同一竖直线上(图中未体现)，ab 杆从高处自由下落，cd 杆同时从地面以20m/s 的初速度竖直上抛，两杆开始运动前ab 杆的下端和cd 杆的上端相距10m ，在运动过程中两杆始终保持竖直。

g ＝10m/s 2。

则以下说法正确的是(
)
A ．经过0.4s ，两杆刚好相遇
B ．经过0.5s ，两杆恰好分离
C ．两杆相遇(但不相碰)到分离的时间是0.1s
D ．两杆相遇(但不相碰)时，cd 杆已经开始下降
答案：C
解析：以ab 杆为参考系，cd 杆向上做匀速直线运动，根据L ＝v 0t ，得t ＝L v 0＝10
20s ＝0.5s ，
根据L ＋2l ＝v 0t ′，解得t ′＝
10＋2×1
20
s ＝0.6s ，故A 、B 错误；由A 、B 选项分析知，两杆相
遇(但不相碰)到分离的时间为Δt ＝t ′－t ＝0.1s ，故C 正确；cd 杆向上运动的时间为t ″＝v 0
g
＝2s ，
相遇的时间为0.5s ，则cd 杆仍向上运动，故D 错误。

故选C 。

14．(5分)(多选)从地面上以初速度2v 0竖直上抛一物体A ，相隔Δt 时间后又以初速度v 0从地面上竖直上抛另一物体B ，下列说法正确的是(
)
A ．要使A 、
B 能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔v 0g ＜Δt ＜
2v 0
g
B ．要使A 、B 能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔
2v 0g ＜Δt ＜4v 0
g
C ．要使B 在上升时与A 相遇，则两物体抛出的时间间隔（3＋1）v 0g ＜Δt ＜
4v 0
g D ．要使B 在上升时与A 相遇，则两物体抛出的时间间隔（3－1）v 0g ＜Δt ＜
2v 0
g 答案：BC
解析：A 在空中的时间为t 1＝2·2v 0g ＝4v 0g ，B 在空中的时间为t 2＝2·v 0g ＝2v 0
g ，要使A 、B 能在
空中相遇，则间隔时间不能大于A 在空中运动的时间，否则A 将落地，且间隔时间不能小于A 、B 在空中运动的时间差，否则B 将落地，则t 1－t 2＜Δt ＜t 1，即2v 0g ＜Δt ＜4v 0
g ，故A 错误，
B 正确；若恰好在B 上升至最高点时相遇，则A 运动时间为t 1′＝2v 0
g ＋t ，其中t 为A 下降时
间，A 下降的距离与B 上升到最高点的距离等于A 上升的最大距离，则12gt 2＋v 202g ＝（2v 0）2
2g ，
解得t ＝
3v 0g ，则A 运动时间为t 1′＝2v 0g ＋t ＝(2＋3)v 0g ，B 球的上升时间为t 2′＝v 0
g
，相遇时有t 2′＋Δt ＝t 1′，联立解得Δt ＝
（3＋1）v 0
g
故要使B 在上升中相遇，Δt 应满足的条件为
（3＋1）v 0g ＜Δt ＜4v 0
g
，故C 正确，D 错误。

故选BC 。