2019年秋九年级数学复习课件：第六讲 第1课时 几何图形中的动点问题

图6－1－2
– 解：(1)如答图①，作CH⊥AB于H.设BH＝x， – ∵CH⊥AB， – ∴∠CHB＝∠CHA＝90°， – ∴AC2－AH2＝BC2－BH2，
∴(4– ∴2)2当－(点6－Px与)2＝H重(2合5)时2－，x2C，P解⊥得ABx，＝2此，时t＝2.
–
跟踪训练答图①
跟踪训练答图②
图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式
模型求解；当要确定图形之间的特殊位置关系或者一些
特殊值时，通常建立方程模型去求解
• 典例一 [2017·丽水]如图6－1－1①，在△ABC 中，∠A＝30°，点P从点A出发以2 cm/s的速 度沿折线A－C－B 运动，点Q从点A出发以 a(cm/s)的速度沿AB运动．P，Q两点同时出发 ，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动 ．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)， y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图② 所示．
第六讲 运动型问题
第1课时 几何图形中的动点问题
探究几何图形(点，直线，三角形，四边形等)在运动变化
特征
过程中与图形相关的某些量(如角度，线段，周长，面积 及相关的关系)的变化或其中存在的函数关系，这类题目
叫做图形运动型试题
类型 (1)点的运动；(2)线的运动；(3)图形的运动
对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观
(2)如答图②，当点 Q 与 H 重合时，BP＝2BQ＝4，此时 t＝4. 如答图③，当 CP＝CB＝2 5时，CQ⊥PB，此时 t＝6＋(4 2－ 2 5)＝6＋4 2－2 5；
– 跟踪训练答图③
(3)①如答图④，当 0＜t≤6 时， S＝12PQ·CH＝12×12t×4＝t.
跟踪训练答图④
②如答图⑤，当 6＜t＜6＋4 2时，
在 Rt△OMQ 中，∠QOM＝30°，
∴QM＝OM·tan30°＝2 3 3，
∴PQ＝PM－QM＝2 3－233＝433；
(2)由题意得当 P 与 C 重合时，t＝8×1 12＝4，此时 AN＝4×2＝8， 即刚好 B 与 N 重合， ∴8＋(t－4)＋2t＝24，解得 t＝230； (3)①当 0＜x＜4 时，S＝12·2t·4 3＝4 3t. ②当 4≤x＜230时，S＝12×[8－(t－4)－(2t－8)]×4 3＝40 3－ 6 3t.
之间的函数表达式，由函数的图象得到x，y的一
组对应值代入可求a的值；
– (2)在△BPD中，由解直角三角形知识，用含x和 sinB的式子表示PD，同样根据三角形面积公式建 立y与x的关系，由函数图形得到x，y的一组对应 值，求得sinB，进而确定图②中图象C2段的函数 表达式；
– (3)先求出图象C1段与图象C2段函数值相等时对应 的x的值，得到图象C1段函数的最大值，并求出图 象C1段函数的最大值在图象C2段对应的x的值，结 合函数图象可得到x的取值范围．
AC＝4 2 cm，BC＝2 5 cm，点 P 以 1 cm/s 的速度从点 B 出
发沿边 BA→AC 运动到点 C 停止，运动时间为 t s，点 Q 是线
段 BP 的中点．
• (1)CP⊥AB时，求t的值； • (2)△BCQ是直角三角形时，
求t的值； • (3)设△CPQ的面积为S，求S
与t的关系式，并写出t的取 值范围．
察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其
中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、
不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(如
解题 特殊点，特殊值，特殊位置，关知识，及数形结合、分类讨
论、转化等数学思想加以解决．当一个问题是确定常见
过点 P 作 PN⊥AD，垂足为点 N.连结 PQ，以 PQ，PN 为邻边 作▱PQMN.设运动的时间为 x(s)，▱PQMN 与矩形 ABCD 重叠部 分的图形面积为 y(cm2)．
2
• (1)当PQ⊥AB时，3x＝s ________； • (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范
围；
• (3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1∶3两部 分时，直接写出x的值．
y＝12(2－x＋2x)× 3x＝ 23x2＋ 3x.
③如答图③，当 1＜x＜2 时，重叠部分是四边形 PNEQ.
y＝12(2－x＋2)×[ 3x－2 3(x－1)]＝ 23x2－3 3x＋4 3.
2
3x20<x≤23，
综上所述，y＝
23x2＋
3x23<x≤1，
由图象，得当 x＝2 时，函数 y＝12x2 的最大值为 y＝12×22＝2. 将 y＝2 代入函数 y＝－13x2＋53x，得 2＝－13x2＋53x，解得 x1＝2， x2＝3， ∴根据图象，x 的取值范围是 2＜x＜3.
跟踪训练 [2018·南通]如图 6－1－2，△ABC 中，AB＝6 cm，
∴213＝2－23xx－x，解得 x＝47.
综上所述，当 x＝25或47时，直线 AM 将矩形 ABCD 的面积分成
1∶3 两部分．
高分作业
图6－1－4
备用图
解：(1)当 PQ⊥AB 时，BQ＝2PB，
∴2x＝2(2－2x)，∴x＝23 s；
(2)①如答图①，当 0＜x≤23时，重叠部分是四边形 PQMN.y＝ 2x× 3x＝2 3x2.
– 跟踪训练答图① 跟踪训练答图② 跟踪训 练答图③
②如答图②，当23＜x≤1 时，重叠部分是四边形 PQEN.
－2x.
– ∴PD＝PB·sinB＝(10－2x)·sinB.
∴y＝12AQ·PD＝12x·(10－2x)·sinB. 由图象得当 x＝4 时，y＝43， ∴12×4×(10－8)sinB＝43.∴sinB＝13， ∴y＝12x·(10－2x)·13＝－13x2＋53x； (3)由 C1，C2 的函数表达式，得12x2＝－13x2＋53x， 解得 x1＝0(舍去)，x2＝2.
•
图6－1－3
• (1)当t＝2时，求线段PQ的长；
• (2)求t为何值时，点P与N重合；
• (3)设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式
及t的取值范围．
– 【解析】 (1)解直角三角形求出PM，QM即可解决 问题；
– (2)根据点P，N的路程之和＝24，构建方程即可解 决问题；
– (3)分四种情形考虑问题即可解决问题． – 解：(1)当t＝2时，OM＝2， ∴P–M在＝ORMt△·OtaPnM60中°＝，2 ∠3，POM＝60°，
作 BG⊥AC 于 G，QM⊥AC 于 M.易
知 BG＝AG＝3 2，CG＝ 2.MQ＝
12BG＝3 2 2.
跟踪训练答图⑤
∴S＝12PC·QM＝12×3 2 2·(6＋4
2－t)＝9
2 2＋6－3 4
2 t.
t（0<t≤6），
综上所述，S＝9
2
2＋6－3 4
2t（6<t<6＋4
2）.
– 思维升华 动点问题常见有两种，一是研究不同的运动状态 或探究出现的不同运动结果的条件；二是研究运动状态下的 几何量之间的函数关系，前者的解题策略是以静制动，后者 的解题策略是以动制动．
• (1)求a的值； • (2)求图②中图象C2段的函数表达式；
• (3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面 积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ 的面积，求x的取值范围．
•
图6－1－1
– 【解析】 过点P作PD⊥AB于点D.(1)先用含x的代
数式表示PD，再根据三角形的面积公式确定y与x
跟踪训练 [2018·吉林]如图 6－1－4，在矩形 ABCD 中，AB＝2 cm，∠ADB＝30°.P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，点 P 沿折 线 AB－BC 运动，在 AB 上的速度是 2 cm/s，在 BC 上的速度
是 2 3 cm/s；点 Q 在 BD 上以 2 cm/s 的速度向终点 D 运动，
– 解：过点P作PD⊥AB于点D. – (1)如答图①，∵∠A＝30°，PA＝2x， – ∴PD＝PA·sin30°＝x，
∴y＝12AQ·PD＝12ax·x＝12ax2. 由图象得当 x＝1 时，y＝12， 则12a·12＝12，解得 a＝1；
– 典例一答图①
典例一答图②
– (2)当点P在BC上时(如答图②)，PB＝5×2－2x＝10

23x2－3
3x＋4
3（1<x<2）；
– (3)①如答图④，当直线AM经过BC中点E时，满足 条件．
∴ 2–3＝则2有－2t3axx－n∠x，EA解B得＝xta＝n25∠. QPB，
–
跟踪训练答图④ 跟踪训练答图⑤
– ②如答图⑤，当直线AM经过CD的中点E时，满足 条件．
– 此时tan∠DEA＝tan∠QPB，
③当230≤x＜8 时，S＝12×[(t－4)＋(2t－8)－8]×4 3＝6 3t－
40 3. ④当 8≤x≤12 时，S＝S 菱形ABCO－S△AON－S△ABP－S△PNC＝32 3－
12·(24－2t)·4
3－12·[8－(t－4)]·4
3－12(t－4)×
23(2t－16)＝－
3 2
t2＋12 3t－56 3.
• 典例二 [2018·黄冈]如图6－1－3，在直角坐 标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴 上，点B，C在第一象限，∠C＝120°，边长 OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒 1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发 沿边AB－BC－CO以每秒2个单位长的速度作 匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交 折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N 同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动 到原点O时，M和N两点同时停止运动．