2018届陕西省汉中市高三下学期第二次教学质量检测数学(理)试题含答案

汉中市2018届高三年级教学质量第二次检测考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．设集合}2|||{},0|{2<=<-=x x N x x x M ，则( )
A.=N M ∅
B. M N M =
C.M N M =
D.=N M R
2．已知i 为虚数单位，复数z 满足2(1)(1)i z i +=-，则||z 为( )
A.2
B. 1
C.
21 D.2
2 3．总体由编号为01，02，,19，20的20个个体组成。

如
图,利用图中的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取,每次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
( )
A.08
B.07
C.02
D.01 4．要得到函数()cos2f x x =的图像，可以将函数()sin 2g x x =的图像( )
A.向左平移1
2个周期
B.向右平移1
2个周期
C.向左平移1
4个周期
D.向右平移1
4
个周期
5．已知向量(3,2)a x =-，(1,1)b =则“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的( )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取。

如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是( )
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．8π
B ．168π+
C ．164π+
D ．84π+ 8．已知正数x ，y 满足20350
x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则11()()42x y
z =⋅的最小值为( )
A ．1
C ．
116
D ．
132
9．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为
P ，若|PF |＝5，则双曲线的方程为( )
A. 2213x y -= B ．2213y x -= C ．22
12y x -= D. 2212
x y -= 10．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭分配到4个村庄体验农
村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是( )
A ．216
B ．420
C ．720
D ．1080
11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a 、、，若20=++c b a ，ABC ∆的面积为310，
60=A ，
则=a ( )
A ．7
B ．8
C ．5
D ．6 12．已知函数()()1
3
3l n f
x m x m x x
=--+，
若对任意的()4 5m ∈，，[]12 1 3x x ∈，，，恒有()()()12ln33ln3a m f x f x -->-成立，则实数a 的取值范围是(
)
A ．37[0,
]6 B ．31( ]6-∞， C ．31[,8]6 D. 37
[,)6
+∞ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
．8(2展开式中错误！未找到引用源。

项的系数为 (用数字作答). 14．已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()n S n N +∈，且
123
112
a a a -=，则4S = ．
15.已知0,0a b >>,圆2
2
420x y x y +-+=关于直线10ax by --=对称，则32a b
ab
+的最小值为- .
16.点M 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球
O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，
112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为 ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每 个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）
已知二次函数2(),()f x x ax x R =-∈的对称轴为直线2x =，数列{n a }的前
n 项和
()n S f n =,n N +∈.
（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设2,n n n C a n N +=+∈，求{n C }的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）
西成高铁的开通极大地方便了汉中人民的出行。

开通之前必须检测轨道中某新技术的三项不同的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是否合格。

假设该新技术的指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格的概率分别为
23、23、1
2
，指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。

（1）求该新技术检测得8分的概率；
（2）记该新技术的三项指标中被检测合格的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望。

19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，
PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD （1）求证：PD ⊥平面PAB ；
（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.
20．（本小题满分12分）
如图,椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是2
，长轴是圆
222:4C x y +=的直径。

点P 是椭圆1C 的下顶点，1l ，2l 是过点P 且互相垂直
的
两条直线，1l 与圆2C 相交于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .
（1）求椭圆1C 的方程；（2）当ABD ∆的面积取最大值时，求直线1l 的方程.
21．（本小题满分12分）
已知函数x x x g ln sin 1)(+⋅=
θ
在[1，＋∞）上为增函数，且()πθ,0∈，1
()ln m f x mx x x -=--，
m R ∈．
（1）求θ的值；（2）若()x ϕ=()()f x g x -在[1，＋∞）上为单调函数，求m 的取值范围； （3）设2()e
h x x
=
，若在区间[1,]e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立， 求m 的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩ (其中α为参数)，
曲线2C 的方程为22(1)1x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；
（2）若射线=06
π
θρ≥（）,与曲线1C ,2C 分别交于,A B 两点，求||AB .
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数()|3||2|f x x x =-++．
（1）若不等式()|1|f x m +≥恒成立，求实数m 的最大值M ； （2）在（1）的条件下，若正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：
111a b b c
+++≥．
汉中市2018届高三年级教学质量第二次检测考试
理科数学参考答案
二、填空题： 13.112 14.15 15.7 16.
三、解答题
17. 解:(1)依题意，a＝4.--------------2分
∴S n＝n2－4n. -----------------------------4分
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝-3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－5.
将a1带入成立, 所以a n＝2n－5-----------------------------6分
(2)由题知
c n＝225
n n
+-
23
121
12
(2+222)2(1+23)5
24-2
n
n n n
n
n
T c c c c n n
T n n
-
+
=++++=+++++++-
∴=+-
12
=24-2()
n
n
T n n n N
+
+
+-∈
所以--------------------------12分
18. 解:(1)记“该新技术的三项指标Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ独立检测合格”分别为事件A，B，C，则P(A)＝
2
3，P(B)＝
2
3，P(C)＝
1
2，所以事件“该新技术检测得分为8分”可表示为A
B C.
所以该新技术量化检测得分为8分的概率为
P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝
2
3
×
1
3
×
1
2
＝
1
9
.-----------------------------4分
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
由题意结合(1)知，P(ξ＝0)＝P(A B C)＝
1
3×
1
3×
1
2＝
1
18，---------5分
P(ξ＝1)＝P(A B C＋A B C＋A B C)＝
2
3×
1
3×
1
2＋
1
3×
2
3×
1
2＋
1
3×
1
3×
1
2＝
5
18.
P(ξ＝2)＝P(AB C＋A B C ＋A BC)＝
2
3×
2
3×
1
2＋
2
3×
1
3×
1
2＋
1
3×
2
3×
1
2＝
4
9.
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝
2
3×
2
3×
1
2＝
2
9. ------8分
所以随机变量ξ
所以E(ξ)＝0×
1
18＋1×
5
18＋2×
4
9＋3×
2
9＝
11
6.---------12分
19. (1)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD. --------------2分
又PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB. --------------4分
(2)解:取AD的中点O，连接PO，CO. --------------6分
因为PA＝PD，所以PO⊥AD,PO⊂≠平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂≠平面ABCD，所以PO⊥CO.
因为AC＝CD，所以CO⊥AD. --------------8分
如图，建立空间直角坐标系O －xyz .由题意得，
A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1). 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则
⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·
PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0，--------------10分
令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2.所以n ＝(1，－2，2).
又PB →＝(1，1，－1)，所以cos 〈n ，PB →
〉＝n ·PB →|n ||PB →
|＝－33.
所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为3
3
.--------------12分
20.解 (1)由题意得：22222a c
a a
b
c =
⎧⎪
⎪=
⎨⎪=+⎪⎩
--------------2分 解得：1b =,c =C 1的方程为x 24
＋y 2
＝1. --------------4分
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0).由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. --------------5分
又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1
k 2＋1
，
所以|AB |＝24－d 2
＝24k 2＋3
k 2＋1
.--------------7分
又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0. 由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2
＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，--------------8分 故x 0＝－8k
4＋k 2.所以由弦长公式得|PD |＝8k 2＋14＋k 2
.--------------10分
设△ABD 的面积为S ，则S ＝1
2|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2
，
所以S ＝324k 2
＋3＋134k 2
＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝1613
13，
当且仅当k ＝±102时取等号.所以所求直线l 1的方程为y ＝±10
2
x －1. --------------12分
21.解：（1）由题意，211()sin g x x x θ'=-+⋅≥0在[
)1,+∞上恒成立，即2sin 1
0sin x x θθ⋅-⋅≥．1分 ∵θ∈（0，π），∴sin 0θ>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立，-------- 2分 只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合θ∈（0，π），得π
2
θ=
--------4分 （2）由（1），()x ϕ=2ln m
mx x x --．所以2
2
2()mx x m x x
ϕ-+'=． ∵()x ϕ在其定义域内为单调函数，
∴220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[1，＋∞）恒成立．
220mx x m -+≥ 等价于2(1)2m x x +≥，即2
21x
m x +≥
， 而
22211x x x x =++，（2
1x x
+
）max =1，∴1m ≥． --------6分
220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤，即2
21x
m x +≤
在[1，＋∞）恒成立， 而
2
21
x
x +∈（0，1]，0m ≤．综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞．-------- 9分
（3）2()2ln m e F x mx x x x
=-
--． 当0m ≤时，[1,]x e ∈，0m mx x -≤，22ln <0e
x x
--，所以在[1，e ]上不存在一个0x 使得000()()()
f x
g x
h x ->成立． 当0m >时，2222
2222(())'m e mx x m e
F x m x x x x -++=+-+=．
因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立． 故()F x 在[1,]e 上单调递增，max ()()4m F x F e me e ==--，只要40m
me e
-->， 解得241e m e >
-故m 的取值范围是2
4(,)1
e
e +∞-．-------- 12分 22.解:（1)
由sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线1C 的普通方程为2
213x y +=------------2分
把cos ,sin x y ρθρθ==，代入22(1)1x y -+=--------------4分 化简得曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ= --------------5分 （2）依题意可设1(,)6A π
ρ,2(,)6
B π
ρ，曲线的极坐标方程为2222sin 3ρρθ+=^
将6
π
θ=,(0)ρ≥代入曲线1C 的极坐标方程得
2
232
ρρ+=
，解得1ρ分
将6
π
θ=
,(0)ρ≥代入曲线2C
的极坐标方程得2ρ=
所以12||||AB ρρ=-= ---------------------------10分
23. 解(1）若()|1|f x m +≥恒成立，即min ()|1|f x m +≥……2分
由绝对值的三角不等式得|3||2||32|5x x x x -++---=≥，得()min 5f x = 即|1|5m +≤，解得64m -≤≤，所以M =4 ……5分
（2）证明：由（Ⅰ）知24a b c ++=，得()()4a b b c +++=……6分
所以有
11111
[()()]()
4
a b b c
a b b c a b b c
+=++++
++++
11
(2)(22)1
44
b c a b
a b b c
++
=+++=
++
≥
即
11
1
a b b c
+
++
≥……10分。