2019-2020学年浙江省宁波市余姚市八年级(上)期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省宁波市余姚市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．（3分）下面四个图是“余姚阳明故里LOGO 征集大赛”的四件作品，其中是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点(1,2)-在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（3分）已知一个等腰三角形的底角为50︒，则这个三角形的顶角为( ) A ．40︒
B ．50︒
C ．80︒
D ．100︒
4．（3分）下列选项错误的是( ) A ．若a b >，b c >，则a c > B ．若a b >，则33a b ->- C ．若a b >，则22a b ->-
D ．若a b >，则2323a b -+<-+
5．（3分）下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y 是x 的函数是( )
A ．
B．
C．
D．
6．（3分）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一个角等于已知角．③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是()
A．①②B．①③C．②③D．①②③
7．（3分）能说明命题“对于任意正整数n，则2
2n n”是假命题的一个反例可以是() A．1
n=
n=D．3 n=-B．1
n=C．2
8．（3分）若a，b，c为ABC
∆是直角三角形的
∆的三边长，则下列条件中不能判定ABC
是()
A． 1.5
a=，2
b=， 2.5
c=B．::3:4:5
a b c=
C．A B C
∠+∠=∠D．::3:4:5
A B C
∠∠∠=
9．（3分）如图，有一张直角三角形纸片，90
ACB
∠=︒，5
AB cm
=，3
AC cm
=，现将ABC
∆
折叠，使边AC与AB重合，折痕为AE，则CE的长为()
A．1cm B．2cm C．3
2
cm D．
5
2
cm
10．（3分）如图，ABC
∆是等边三角形，D是边BC上一点，且ADC
∠的度数为(520)
x-︒，则x的值可能是()
A．10B．20C．30D．40
11．（3分）某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离S（千米）与所用时间t（分)之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是()
A．汽车在途中加油用了10分钟
B．若//
OA BC，则加满油以后的速度为80千米/小时
C．若汽车加油后的速度是90千米/小时，则25
a=
D．该同学8:55到达宁波大学
12．（3分）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，以AC为底边向下作等腰直角三角形
ACE，AC a
=．以BD为底边向上作等腰三角形BDF，BD b
=，
5
6
FB FD b
==，记CDE
∆
与ABF
∆的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足()
A．
4
3
a b
=B．
6
5
a b
=C．
5
3
a b
=D．2
a b
=
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是．
14．（3分）余姚市2020年1月1日的气温是t C︒，这天的最高气温是12C︒，最低气温是5C︒，则当天我市气温()
t C
︒的变化范围可用不等式表示为．
15．（3分）若一次函数(0)
y ax b a
=+≠的图象经过(3,2)和(3,1)
--两点，则方程1
ax b
+=-
的解为．
16．（3分）在正方形网格中，AOB
∠的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到AOB
∠两边距离相等的点是点．
17．（3分）如图，已知直线10
y x
=-+与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为线段AB
的中点，点D在直线
3
4
y x
=上，连结BD，CD．当90
ODB
∠=︒时，CD的长为．
18．（3分）如图，在ABC
∆中，13
AC BC
==，24
AB=，D是AB边上的一个动点，点E
与点A关于直线CD对称，当ADE
∆为直角三角形时，则AD
的长为
．
三、解答题（第19、20、21题各6分，第22、23题各8分，第24、25题各10分，第26题12分，共66分）
19．（6分）解不等式组
3(2)25
13
21
2
x x
x
x
++
⎧
⎪
⎨+
-<
⎪
⎩
，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．20．（6分）已知α
∠，β
∠和线段a，用直尺和圆规作ABC
∆，使Aα
∠=∠，Bβ
∠=∠，AB a
=．（不写作法，只保留作图痕迹）
21．（6分）如图，已知//
AB DE，B E
∠=∠，BC EF
=，求证：AF CD
=．
22．（8分）如图，在直角坐标系中，长方形ABCD的三个顶点的坐标为(1,1)
A，(6,1)
B，(1,4)
D，且//
AB x轴，点(,2)
P a b-是长方形内一点（不含边界）．
（1）求a，b的取值范围．
（2）若将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q，若点Q恰好与点C关于y 轴对称，求a，b的值．
23．（8分）如图，AD是ABC
∆的高线，且
1
2
BD AC
=，E是AC的中点，连结BE，取BE
的中点F，连结DF，求证：DF BE
⊥．
24．（10分）宁波至绍兴城际列车已于2019年7月10日运营，这是国内首条利用既有铁路改造开行的跨市域城际铁路．其中余姚至绍兴的成人票价12元/人，学生票价6元/人．余姚某校801班师生共计50人坐城际列车去绍兴秋游．
（1）设有x名老师，求801班师生从余姚到绍兴的城际列车总费用y关于x的函数表达式．（2）若从余姚到绍兴的城际列车总费用y不超过330元，问至少有几名学生？
25．（10分）如图，在ABC
∆中，D是BC的中点，E是边BC上一动点，连结AE，取AE 的中点F，连结BF．小梦根据学习函数的经验，对ADE
∆的面积与BE的长度之间的关系进行了探究：
（1）设BE的长度为x，ADE
∆的面积
1
y，通过取BC边上的不同位置的点E，经分析和计
算，得到了
1
y与x的几组值，如下表：
x0123456
1
y3a10b23
根据上表可知，a = ，b = ．
（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象．
（3）在（1）的条件下，令BEF ∆的面积为2y ． ①用x 的代数式表示2y ．
②结合函数图象．解决问题：当12y y <时，x 的取值范围为 ．
26．（12分）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在ABC ∆中，若222AB AC AB AC BC +-=，则ABC ∆是“和谐三角形”． （1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是 命题（填“真”或“假” )．
（2）若Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，且b a >，若ABC ∆是“和谐三角形”，求::a b c ．
（3）如图2，在等边三角形ABC 的边AC ，BC 上各取一点D ，E ，且AD CD <，AE ，BD 相交于点F ，BG 是BEF ∆的高，若BGF ∆是“和谐三角形”，且BG FG >．
①求证：AD CE =．
②连结CG ，若GCB ABD ∠=∠，那么线段AG ，FE ，CD 能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下面四个图是“余姚阳明故里LOGO征集大赛”的四件作品，其中是轴对称图形的是()
A．B．
C．D．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点(1,2)
-在()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：点(1,2)
-在第二象限．
故选：B．
3．（3分）已知一个等腰三角形的底角为50︒，则这个三角形的顶角为() A．40︒B．50︒C．80︒D．100︒
解：180502
︒-︒⨯
=︒-︒
180100
=︒．
80
故这个三角形的顶角的度数是80︒．
故选：C．
4．（3分）下列选项错误的是()
A ．若a b >，b c >，则a c >
B ．若a b >，则33a b ->-
C ．若a b >，则22a b ->-
D ．若a b >，则2323a b -+<-+
解：a b >，b c >，则a c >， ∴选项A 不符合题意；
a b >，则33a b ->-， ∴选项B 不符合题意；
a b >，则22a b -<-， ∴选项C 符合题意；
a b >， 22a b ∴-<-， 2323a b ∴-+<-+， ∴选项D 不符合题意．
故选：C ．
5．（3分）下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y 是x 的函数是( )
A ．
B ．
C．
D．
解：A、能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
C、能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
故选：B．
6．（3分）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一个角等于已知角．③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是()
A．①②B．①③C．②③D．①②③
解：①作一个角的平分线的作法正确；
②作一个角等于已知角的方法正确；
③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；
故选：A．
7．（3分）能说明命题“对于任意正整数n，则2
2n n”是假命题的一个反例可以是()
A ．1n =-
B ．1n =
C ．2n =
D ．3n =
解：328=，239=， 则3223<，
∴当3n =时，可以说明命题“对于任意正整数n ，则22n n ”是假命题，
故选：D ．
8．（3分）若a ，b ，c 为ABC ∆的三边长，则下列条件中不能判定ABC ∆是直角三角形的是( )
A ． 1.5a =，2b =， 2.5c =
B ．::3:4:5a b c =
C ．A B C ∠+∠=∠
D ．::3:4:5A B C ∠∠∠=
解：A 、2221.52 2.5+=，符合勾股定理的逆定理，能够判定ABC ∆为直角三角形； B 、222345+=，符合勾股定理的逆定理，能够判定ABC ∆为直角三角形； C 、A B C ∠+∠=∠，此时C ∠是直角，能判定ABC ∆是直角三角形；
D 、::3:4:5A B C ∠∠∠=，那么45A ∠=︒、60B ∠=︒、75C ∠=︒，不能判定ABC ∆是直角
三角形． 故选：D ．
9．（3分）如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5AB cm =，3AC cm =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为( )
A ．1cm
B ．2cm
C ．3
2
cm
D ．52
cm
解：90ACB ∠=︒，5AB =，3AC =，
22534BC ∴=-=，
由折叠的性质得：3AD AC ==，90ADE C ∠=∠=︒， 90BDE ∴∠=︒，2BD AB AD =-=，
设CE x =，则4BE x =-，
在Rt BDE ∆中，由勾股定理得：2222(4)x x +=-
解得，
3
2
x=，3
2
CE
∴=；
故选：C．
10．（3分）如图，ABC
∆是等边三角形，D是边BC上一点，且ADC
∠的度数为(520)
x-︒，则x的值可能是()
A．10B．20C．30D．40
解：ABC
∆是等边三角形，D是边BC上一点，ADC
∠的度数为(520)
x-︒，
60520120
x
∴-，
解得：1628
x，
∴只有20适合，
故选：B．
11．（3分）某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离S（千米）与所用时间t（分)之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是()
A．汽车在途中加油用了10分钟
B．若//
OA BC，则加满油以后的速度为80千米/小时
C．若汽车加油后的速度是90千米/小时，则25
a=
D．该同学8:55到达宁波大学
解：A、图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选项正确；
B、因为//
OA BC
，所以
60
2520
a a
-
=，解得
100
3
a=，所以加满油以后的速度
100
380
25
60
==千米/小时，故本选项正确．
C、由题意：
60
90
20
60
a
-
=，解得30
a=，本选项错误．
D、该同学8:55到达宁波大学，正确．
故选：C．
12．（3分）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，以AC为底边向下作等腰直角三角形ACE，AC a
=．以BD为底边向上作等腰三角形BDF，BD b
=，
5
6
FB FD b
==，记CDE
∆
与ABF
∆的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足() A．
4
3
a b
=B．
6
5
a b
=C．
5
3
a b
=D．2
a b
=
解：过点F作FH AD
⊥于点H，过点E作EG AD
⊥于G
ACE
∆是等腰直角三角形，AC a
=
1
22
a
EG AC
∴==
BD b
=，
5
6
FB FD b
==，FH AD
⊥
122
b BH BD ∴=
= 在Rt BHF ∆中
2
3
FH b ===
设BC x = 则112
()223
ABF S AB FH a x b ∆=
=-⨯ 11()222CDE a
S CD EG b x ∆==-⨯
112
()()2223
CDE ABF a S S b x a x b ∆∆∴-=-⨯--⨯ ()3412
b a ab x =--
当BC 的长度变化时，S 始终保持不变 ∴
034
b a
-= 43
a b ∴=
故选：A ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 ．
解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
故答案为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 14．（3分）余姚市2020年1月1日的气温是t C ︒，这天的最高气温是12C ︒，最低气温是5C ︒，则当天我市气温()t C ︒的变化范围可用不等式表示为 512t ．
解：由题意可得，当天我市气温()t C ︒的变化范围可用不等式表示为：512t ． 故答案为：512t ．
15．（3分）若一次函数(0)y ax b a =+≠的图象经过(3,2)和(3,1)--两点，则方程1ax b +=-的解为 3x =- ．
解：由题意可知，当3x =-时，函数值为1-； 因此当3x =-时，1ax b +=-，
即方程1ax b +=-的解为：3x =-． 故答案是：3x =-．
16．（3分）在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，点P ，Q ，M ，N 是四个格点，则这四个格点中到AOB ∠两边距离相等的点是 M 点．
解：由图形可知，点M 在AOB ∠的角平分线上， ∴点M 到AOB ∠两边距离相等，
故答案为：M ．
17．（3分）如图，已知直线10y x =-+与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，点C 为线段AB 的中点，点D 在直线3
4
y x =
上，连结BD ，CD ．当90ODB ∠=︒时，CD 的长为 2 ．
解：作DE OB ⊥于点E ，
设点D 为(4,3)a a ，则4DE a =，3OE a =，103BE a =-，
222DE BE BD +=，222OB OD BD -=，5OD a =， 2222(4)(103)10(5)a a a ∴+-=-
16
5
a ∴=
，20a =（舍去）， ∴点D 的坐标为2418(
,)55
， 又直线10y x =-+与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，点C 为线段AB 的中点， ∴点(10,0)A ，点(0,10)B ，
∴点C 为(5,5)，
222418
(5)(5)255
CD ∴=-
+-=， 故答案为：2．
18．（3分）如图，在ABC ∆中，13AC BC ==，24AB =，D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，当ADE ∆为直角三角形时，则AD 的长为 7或17 ．
解：作CF AB ⊥于F ，
在ABC ∆中，13AC BC ==，24AB =， 12AF ∴=，
225CF AC AF ∴=-=，
①如图1，当点D 在AF 上时， 90ADE ∠=︒，
(36090)2135ADC EDC ∴∠=∠=︒-︒÷=︒． 45CDF ∴∠=︒． CF DF ∴=．
1257AD AF DF AF CF ∴=-=-=-=．
②如图2，当点D 在BF 上时， 90ADE ∠=︒， 45CDF ∴∠=︒． CF DF ∴=．
12517AD AF DF AF CF ∴=+=+=+=．
三、解答题（第19、20、21题各6分，第22、23题各8分，第24、25题各10分，第26题12分，共66分）
19．（6分）解不等式组3(2)25
1
3212
x x x
x ++⎧⎪
⎨+-<⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
解：()322513212
x x x
x ++⎧⎪⎨+-<⎪⎩①
②， 解不等式①，得：1x -， 解不等式②，得：3x <， 则不等式组的解集为13x -<， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．（6分）已知α∠，β∠和线段a ，用直尺和圆规作ABC ∆，使A α∠=∠，B β∠=∠，
AB a =．
（不写作法，只保留作图痕迹）
解：
21．（6分）如图，已知//AB DE ，B E ∠=∠，BC EF =，求证：AF CD =．
【解答】证明：//AB DE ，
A D ∴∠=∠．
在ABC ∆和DEF ∆中， A D B E BC EF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ABC DEF AAS ∴∆≅∆． AC DF ∴=．
AC CF DF CF ∴+=+． AF CD ∴=．
22．（8分）如图，在直角坐标系中，长方形ABCD 的三个顶点的坐标为(1,1)A ，(6,1)B ，(1,4)D ，且//AB x 轴，点(,2)P a b -是长方形内一点（不含边界）．
（1）求a，b的取值范围．
（2）若将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q，若点Q恰好与点C关于y 轴对称，求a，b的值．
解：（1）(1,1)
A，(6,1)
B，(1,4)
D，且(,2)
P a b-是长方形ABCD内一点，
16
a
∴<<，124
b
<-<．
36
b
∴<<；
（2）由题意可得，点Q的坐标为(8,)
a b
-．
点(8,)
Q a b
-与点(6,4)
C关于y轴对称，
860
a
∴-+=，4
b=．
2
a
∴=．
2
a
∴=，4
b=．
23．（8分）如图，AD是ABC
∆的高线，且
1
2
BD AC
=，E是AC的中点，连结BE，取BE
的中点F，连结DF，求证：DF BE
⊥．
【解答】证明：连结DE，
AD是ABC
∆的高线，E是AC的中点，
∴
1
2
DE AC
=，
又
1
2
BD AC
=，DE BD
∴=．
又F是BE的中点，
DF BE
∴⊥．
24．（10分）宁波至绍兴城际列车已于2019年7月10日运营，这是国内首条利用既有铁路改造开行的跨市域城际铁路．其中余姚至绍兴的成人票价12元/人，学生票价6元/人．余姚某校801班师生共计50人坐城际列车去绍兴秋游．
（1）设有x名老师，求801班师生从余姚到绍兴的城际列车总费用y关于x的函数表达式．（2）若从余姚到绍兴的城际列车总费用y不超过330元，问至少有几名学生？
解：（1）设有x名老师，则有(50)x
-学生，
依题意，得：126(50)6300(050)
y x x x x
=+-=+<<．
（2）330
y，
6300330
x
∴+，
解得：5
x，
5045
x
∴-．
答：至少有45名学生．
25．（10分）如图，在ABC
∆中，D是BC的中点，E是边BC上一动点，连结AE，取AE 的中点F，连结BF．小梦根据学习函数的经验，对ADE
∆的面积与BE的长度之间的关系进行了探究：
（1）设BE的长度为x，ADE
∆的面积
1
y，通过取BC边上的不同位置的点E，经分析和计
算，得到了
1
y与x的几组值，如下表：
根据上表可知，a=2，b=．
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象．
（3）在（1）的条件下，令BEF ∆的面积为2y ．
①用x 的代数式表示2y ．
②结合函数图象．解决问题：当12y y <时，x 的取值范围为 ．
解：（1）根据表格数据可知：
2a =，1b =．
故答案为：2，1．
（2）如图所示，即为所求作的函数图象；
（3）①由题意可得在ABC ∆，边BC 上的高为2．
∴122ABE S x x ∆==． ∴21122
ABE y S x ∆==． ②根据函数图象可知：
当12y y <时，x 的取值范围为：26x <<．
故答案为：26x <<．
26．（12分）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在ABC ∆中，若222AB AC AB AC BC +-=，则ABC ∆是“和谐三角形”．
（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是真命题（填“真”或“假”)．
（2）若Rt ABC
=，且b a
∆是“和谐
=，BC a
>，若ABC ∆中，90
=，AC b
C
∠=︒，AB c
三角形”，求::
a b c．
（3）如图2，在等边三角形ABC的边AC，BC上各取一点D，E，且AD CD
<，AE，BD 相交于点F，BG是BEF
∆的高，若BGF
>．
∆是“和谐三角形”，且BG FG
①求证：AD CE
=．
②连结CG，若GCB ABD
∠=∠，那么线段AG，FE，CD能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由．
解：（1）当ABC
==，
∆为等边三角形时，AB AC BC
22222
∴+-=+-=，
AB AC AB AC BC BC BC BC BC
∴等边三角形一定是“和谐三角形”，
故答案为：真；
（2）90
=，
=，BC a
C
∠=︒，AB c
=，AC b
222
a b c
∴+=，
当222
+-=时，则0
a b ab c
-=（舍去）；
ab
当222
+-=-，
a c ac c a
+-=时，则2222
a c ac b
2
ac a
∴=，
2
∴=．
c a
2
∴=；
::32
a b c
当222
b c bc c b
+-=-，
+-=时，则2222
b c bc a
2
∴=，得2
bc b
2
=．
c b
∴=；（舍去），
a b c
::32
综上可知，ABC
a b c=；
∆是“和谐三角形”时，::32
（3）①ABC ∆为等边三角形，
AB BC AC ∴==，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒， BG 是BEF ∆的高，BGF ∆是“和谐三角形”
，
::2FG BG BF ∴=，
60BFG ∴∠=︒，
60FAB FBA BFG ∴+∠=∠=︒，
60FAB EAC BAC ∠+∠=∠=︒，
FBA EAC ∴∠=∠，
在ABD ∆和CAE ∆中，
BAD ACE BA AC
DBA EAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ABD CAE ASA ∴∆≅∆，
AD CE ∴=；
②GCB ABD ∠=∠，AB AC =，
6060FAB ABD GCB ACG ∴∠=︒-∠=︒-∠=∠，
在ABF ∆和CAG ∆中，
FAB GCA AB CA
ABF CAG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ABF CAG ASA ∴∆≅∆
AG BF ∴=，
AB BC =，AD CE =，
BE CD ∴=，
设FG x =，EG y =
，则BG =，2BF x =，
2224AG BF x ∴==，2222()2EF x y x xy y =+=++
，22222)3CD y x y =+=+， 2222222422()3AG EF AG EF x x xy y x x y x y ∴+-=+++-+=+， 222AG EF AG EF CD ∴+-=，
∴线段AG ，FE ，CD 能组成一个和谐三角形．。