兰州市树人中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

兰州市树人中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
一、压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线21y x bx c 3
=-++交x 轴于点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3
∠=． ()1求b 、c 的值；
()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直接判断点P 是否在该抛物线上；
()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若
DBE 2DEH ∠∠=，求EG EF
的值．
2．将抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ．
（1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；
（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；
（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线4y x k
=-与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中
点．求证：直线MN 经过一个定点．
3．如图，A 是以BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接并延长CG 与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．
（1）求证：BF ＝EF ；
（2）求证：PA 是圆O 的切线；
（3）若FG ＝EF ＝3，求圆O 的半径和BD 的长度．
4．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)，顶点D 在y 轴上，与x 轴的一个交点的横坐标为6．
(1)求a 、c 满足的关系式；
(2)若直线y ＝kx-2a 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，以AB 为直径的圆恒过点D ．
①求抛物线的解析式；
②设直线y ＝kx-2a 与y 轴交于点M 、直线l 1：y ＝px+q 过点B ，且与抛物线只有一个公共点，过点D 作x 轴的平行线l 2，l 1与l 2交于点N ．分别记BDM 、NDM 的面积为S 1，S 2，求12
S S ． 5．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．
（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．
6．⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，OB AC ⊥，OB 与AC 相交于点H ，
21012BC AC CD ===，．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长；
（3）若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF//AC，EG//AD． EF与AD相交于点F，EG与AC相交于点G．试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
7．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA-AD于点Q，以PQ 为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD 翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=1
2
x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
y=1
2
x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；
①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2， 求12
S S 的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由
9．如图，抛物线26y ax x c =-+交x 轴于, A B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-+经过点,B C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ，连接,AC AP ，判定APC △的形状，并说明理由；
（3）在直线BC 上是否存在点M ，使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，交BO 于H ．连接OG 、CG ．
(1)求证：AH=BE ；
(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；
(3)若OG ⊥CG ，BG=32△OGC 的面积．
11．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是“和谐点”．
（1）点M （1，2）_____“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点P （a ，3）是第一象限内的一
个“和谐点”，3x a y =⎧⎨=⎩
是关于x ，y 的二元一次方程y x b =-+的解，求a ，b 的值． （2）如图②，点E 是线段PB 上一点，连接OE 并延长交AP 的延长线于点Q ，若点P （2，3），2OBE EPQ S S ∆∆-=，求点Q 的坐标；
（3）如图③，连接OP ，将线段OP 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段11O P ．若M 是直线11O P 上的一动点，连接PM 、OM ，请画出图形并写出OMP ∠与1MPP ∠，1MOO ∠的数量关系．
12．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 经过点A （﹣2，0），与y 轴的正半轴交于点B ，且OA ＝2OB ．
（1）求直线AB 的函数表达式；
（2）点C 在直线AB 上，且BC ＝AB ，点E 是y 轴上的动点，直线EC 交x 轴于点D ，设点E 的坐标为（0，m ）（m ＞2），求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若CE ：CD ＝1：2，点F 是直线AB 上的动点，在直线AC 上方的平面内是否存在一点G ，使以C ，G ，F ，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
14．小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD 边打台球，该球桌长AB =4m ，宽AD =2m ，点O 、E 分别为AB 、CD 的中点，以AB 、OE 所在的直线建立平面直角坐标系。

（1）如图1，M 为BC 上一点；
①小明要将一球从点M 击出射向边AB ，经反弹落入D 袋，请你画出AB 上的反弹点F 的位置；
②若将一球从点M (2，12)击出射向边AB 上点F (0.5，0)，问该球反弹后能否撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球?请说明理由
（2）如图2，在球桌上放置两个挡板(厚度不计)挡板MQ 的端点M 在AD 中点上且MQ ⊥AD ，MQ =2m ，挡板EH 的端点H 在边BC 上滑动，且挡板EH 经过DC 的中点E ； ①小聪把球从B 点击出，后经挡板EH 反弹后落入D 袋，当H 是BC 中点时，试证明：DN =BN ；
②如图3，小明把球从B 点击出，依次经挡板EH 和挡板MQ 反弹一次后落入D 袋，已知∠EHC =75°，请你直接写出球的运动路径BN +NP +PD 的长。

15．如图，在平面直角坐标系中，函数(0)k y x x
=>的图象经过点A （1，4）和点B ，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，连结AB 、BC 、DC 、DA ，点
B 的横坐标为a （a ＞1）
（1）求k 的值
（2）若△ABD 的面积为4；
①求点B 的坐标，
②在平面内存在点E ，使得以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E 的坐标．
16．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(1
0)，，点C 的坐标为(0)4，，直线CM x ∥轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．
（1）求b 的值和点D 的坐标；
（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；
17．如图1，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC =，23BC =标系中位置如图所示，点,A C 在x 轴的负半轴上（点C 在点A 的右侧），顶点B 在第二象限，将ABC ∆沿AB 所在的直线翻折，点C 落在点D 位置
（1）若点C 坐标为()1,0-时，求点D 的坐标；
（2）若点B 和点D 在同一个反比例函数的图象上，求点C 坐标；
（3）如图2，将四边形BCAD 向左平移，平移后的四边形记作四边形1111B C A D ，过点1D 的反比例函数(0)k y k x
=≠的图象与CB 的延长线交于点E ，则在平移过程中，是否存在这样的k ，使得以点1,,E B D 为顶点的三角形是直角三角形且点11,,D B E 在同一条直线上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由
18．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC 是“近直角三角形”，∠B ＞90°，∠C ＝50°，则∠A ＝ 度；
（2）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4．若BD 是∠ABC 的平分线， ①求证：△BDC 是“近直角三角形”；
②在边AC 上是否存在点E （异于点D ），使得△BCE 也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE 的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为AC 边上一点，以BD 为直径的圆交BC 于点E ，连结AE 交BD 于点F ，若△BCD 为“近直角三角形”，且AB ＝5，AF ＝3，求tan ∠C 的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心的正方形ABCD 的边长为4m ，我们把AB y ∥轴时正方形ABCD 的位置作为起始位置，若将它绕点O 顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数(0)k y k x
=>的图象相交于点E ，F ，G ，H ，则曲线段EF ，HG 与线段EH ，GF 围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．
（1）①如图1，当AB y ∥轴时，用含m ，k 的代数式表示点E 的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH ，则k 的取值范围是________；
②已知23k m =，把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH ？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边EFGH 存在的k 的取值范围．
③若将图1中的正方形绕点O 顺时针旋转角度()0180a a ︒<<︒得到曲边四边形EFGH ，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH 是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH 是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；
（2）正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转到如图2位置，已知点A 在反比例函数(0)k y k x
=>的图象上，AB 与y 轴交于点M ，8AB =，1AM =，试问此时曲边四边EFGH 存在吗？请说明理由．
20．如图1 ，一次函数1y kx b =+(k,b 为常数，k≠0)的图象与反比例函数2m y x
=（m 为常数，m≠0）的图象相交于点M(1，4)和点N （4，n ）． (1)填空：①反比例函数的解析式是 ； ②根据图象写出12y y ＜时自变量x 的取值范围是 ；
(2) 若将直线MN 向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a 的值；
(3) 如图2，函数2m y x
=的图象（x ＞0）上有一个动点C ，若先将直线MN 平移使它过点C ，再绕点C 旋转得到直线PQ ，PQ 交轴于点A ，交
轴点B ，若BC =2CA ， 求OA·OB 的值.
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一、压轴题
1．（1）4,43b c =
= ；（2）()P 4,4，点P 在抛物线上；（3）2. 【解析】
【分析】
(1)直线y=kx-6k ，令y=0，则B(6，0)，便可求出点D 、C 的坐标，将B 、C 代入抛物线中，即可求得b 、c 的值；
(2)过点P ，作PL x ⊥轴于点L ，过点B 作BT OP ⊥于点T ，先求出点P 的坐标为(4，4)，再代入抛物线进行判断即可；
(3)连接PC ，过点D 作DM ⊥BE 于点M ，先证△PCD ≌△PLB ，再分别证四边形EHKP 、FDKP 为矩形，求得
EG EF
=2. 【详解】
解：()1如图，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，
令y 0=，则x 6=，即()B 6,0， 1tan OBD 3
∠=，OD 2∴=，()D 0,2∴， CD OD =，OC 4∴=，点()C 0,4，
点B 、C 在抛物线21
y x bx c 3
=-++上， 2166034b c c ⎧-⨯++=⎪∴⎨⎪=⎩，解得：434b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
函数表达式为：214y x x 433=-++⋯①； ()2如图，过点P ，作PL x ⊥轴于点L ，过点B 作BT OP ⊥于点T ，
OB tan ODB 3OD
∠==， BT tan OPD tan ODB 3PT ∠∠===
，BT 3PT ∴=， 点()P m,m 在第一象限，PL OL m ∴==，
POL 45∠∴=，OP 2m =，
OT BT OBsin4532∴===，
OP 42∴=，OL POcos45m 4∴===，
()P 4,4∴，
当x 4=时，214y x x 4433
=-++=， 故点P 在抛物线上；
()3如图，连接PC ，
()P 4,4，()C 0,4，
PC //x ∴轴，
PCD PLB 90∠∠∴==，
PC PL 4==，
CD BL 2∴==，
PCD ∴≌()PLB SAS ，
CPD LPB ∠∠∴=，PB PD =，
DPB DPL LPB DPL CPD 90∠∠∠∠∠∴=+=+=，
PDB 45∠∴=，
过点P 作PK BD ⊥于点K ，连接DF ，
EH //PK ∴，1PK DK BK BD 2
∴===， PF //BD ，∴四边形EHKP 为平行四边形，
PKH 90∠=，∴四边形EHKP 为矩形，
1EH PK BD 2
∴==， DBE 2DEH ∠∠=，EH BD ⊥，
BDE 90DEH ∠∠∴=-，
在BDE 中，BED 180BDE DBE 90DEH ∠∠∠∠=--=-，
BDE BED ∠∠∴=，BD BE ∴=，
EH 1sin HBE EB 2
∠∴==， HBE 30∠∴=，
过点D 作DM BE ⊥于点M ，
MDB 60∠∴=，BDE BED 75∠∠==，
EDM 756015∠∴=-=，EDG 754530∠=-=，
DGE 75∠∴=，ED DG ∴=，1EM MG EG 2
∴==， PF //BD ，∴直线PF 与BD 解析式中的k 值相等，
PF 116y x 33
∴=-+⋯②， 联立①②并解得：x 1=，即()F 1,5，
PF ∴
BD 2=DK ∴= PF //DK ，PF DK =，∴四边形FDKP 为平行四边形，
DKP 90∠=，∴四边形FDKP 为矩形，
FDK 90∠∴=，FDE 907515∠∴=-=，
FDE MDE ∠∠∴=， EF DF ⊥，EM DM ⊥，
EF EM ∴=，
EG 2EF
∴=． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，四边形综合性质，解直角三角形等知识，综合性
很强，难度很大.
2．（1）抛物线1C 的解析式为： y=x 2-4x-2；抛物线2C 的解析式为：y=x 2-6；（2）点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线MN 经过定点（0，2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；
（2）先判断出点A 、B 、O 、D 四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到
∠BDA=∠BOA=45°，从而证出DAC △是等腰直角三角形．设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），把DC 和AC 用含x 的代数式表示出来，利用DC=AC 列方程求解即可，注意有两种情况；
（3）根据直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M 的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N 的坐标，再用待定系数法求出直线MN 的解析式，从而判断直线MN 经过的定点即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ，
∴抛物线1C 的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x 2-4x-2，
抛物线2C 的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x 2-6．
（2）如下图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连接AD ，
∵OAB 是等腰直角三角形，
∴∠BOA =45°，
又∵∠BDO=∠BAO=90°，
∴点A 、B 、O 、D 四点共圆，
∴∠BDA=∠BOA=45°，
∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，
∴DAC △是等腰直角三角形，
∴DC=AC ．
∵点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，
∴抛物线1C 的对称轴为x=2，
设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），
∴DC=x-2，AC= x 2-4x-2，
∴x-2= x 2-4x-2，
解得：x=5或x=0（舍去），
∴点A 的坐标为（5，3）；
同理，当点B 、点A 在x 轴的下方时，
x-2= -(x 2-4x-2)，
x=4或x=-1（舍去），
∴点A 的坐标为（4，-2），
综上，点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）．
（3）∵直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，
∴26
y kx
y x =⎧⎨=-⎩， ∴x 2-kx-6=0，
设点E 的横坐标为x E ，点F 的横坐标为x F ，
∴x E +x F =k ， ∴中点M 的横坐标x M =2E F x x +=2
k ， 中点M 的纵坐标y M =kx=2
2
k ， ∴点M 的坐标为（2k ，2
2
k ）； 同理可得：点N 的坐标为（2k -，28k
）， 设直线MN 的解析式为y=ax+b （a ≠0），
将M （2k ，22
k ）、N （2k -，28k ）代入得： 22
2282k k a b a b k k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，
解得：242k a k b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩
，
∴直线MN 的解析式为y= 24k k
-·x+2（0k ≠）， 不论k 取何值时（0k ≠），当x=0时，y=2，
∴直线MN 经过定点（0，2）．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A 、B 、O 、D 四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．
3．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD ＝22，r ＝32．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件得到∠EBC ＝∠ADC ＝90°，根据平行线分线段成比例定理得出AG CG GD ==EF CF BF
，等量代换即可得到结论； （2）证明∠PAO ＝90°，连接AO ，AB ，根根据直角三角形斜边中线的性质，切线的性质和等量代换，就可得出结论；
（3）连接AB ，根据圆周角定理得到∠BAC ＝∠BAE ＝90°，推出FA ＝FB ＝FE ＝FG ＝3，过点F 作FH ⊥AG 交AG 于点H ，推出四边形FBDH 是矩形，得到FB ＝DH ＝3，根据勾股定理得到FH ＝22，设半径为r ，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵EB 是切线，AD ⊥BC ，
∴∠EBC ＝∠ADC ＝90°，
∴AD ∥EB ，（同位角相等，两直线平行）
∴AG CG GD ==EF CF BF
，（平行线分线段成比例） ∵G 是AD 的中点，
∴AG ＝GD ，
∴EF ＝FB ；
（2）证明：连接AO ，AB ，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，（直径所对圆周角为直角）
在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，直角三角形斜边中线为斜边一半，
∴AF＝FB＝EF，且等边对等角，
∴∠FBA＝∠FAB，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBO＝90°，
∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，
∴PA是⊙O的切线；
（3）如图2，连接AB，AO，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BAE＝90°，
∵EF＝FB，
∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，
过点F作FH⊥AG交AG于点H，
∵FA＝FG，FH⊥AG，
∴AH＝HG，
∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，
∴四边形FBDH是矩形，
∴FB＝DH＝3，
∵AG＝GD，
∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH2222
--，
AF AH=31=22
∴BD＝22
设半径为r，在Rt ADO中，
AO=AD+OD，
∵222
r=4+(r-22)，解得：r＝32
∴222
综上所示：BD＝22r＝32
【点睛】
本题主要考察了平行线的性质及定理、平行线分线段成比例定理、等边对等角、直角三角形斜边中线的性质、圆周角定理、勾股定理及圆的切线及其性质，该题较为综合，解题的关键是在于掌握以上这些定理，并熟练地将其结合应用．
4．（1）6c a =-；（2）①2132
y x =
-；②2． 【解析】
【分析】 （1）先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系即可得；
（2）①先根据（1）可得抛物线的解析式和顶点D 的坐标，再设
11222),(2)(,,A x k a B k x x a x --，从而可得直线AD 、BD 解析式中的一次项系数，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可得12k x x a
+=，124x x =-，最后根据圆周角定理可得AD BD ⊥，从而可得1212
144x x k a k a x x +⋅=-+，化简可求出a 的值，由此即可得出答案；
②先求出点B 、D 的坐标，再根据直线1l 与抛物线只有一个交点可得出
2213,2
q p x p --==，然后联立直线1l 与2l 求出点N 的坐标，最后利用三角形的面积公式分别求出12,S S ，由此即可得．
【详解】
（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++>，顶点D 在y 轴上，
∴抛物线的对称轴为y 轴，即0x =，
0b ∴=，
抛物线与x
∴抛物线与x
轴的另一个交点的横坐标为
是关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，
(c a
∴=， 即6c a =-；
（2）①由（1）可得：抛物线的解析式为26y ax a =-，
顶点D 的坐标为(0,6)D a -，
由题意，设点A 、B 的坐标分别为11222),(2)(,,A x k a B k x x a x --，且21x x >，
由点A 、D 的坐标得：直线AD 解析式中的一次项系数为1111
2064x a x x k x a k a -=-++， 由点B 、D 的坐标得：直线BD 解析式中的一次项系数为2222
2064x a x x k x a k a -=-++， 联立262y ax a y kx a
⎧=-⎨=-⎩可得240ax kx a --=，
则1x 与2x 是关于x 的一元二次方程240ax kx a --=的两根， 由根与系数的关系得：1212,4k x x x x a
+=
=-， 以AB 为直径的圆恒过点D ， 90ADB ∴∠=︒，即AD BD ⊥， 则1212
144x x k a k a x x +⋅=-+， 整理得：2164a =， 解得12a =或102a =-<（不符题意，舍去）， 故抛物线的解析式为2132
y x =-； ②由①可知，222(0,3),(,
31)2D x x B --， 则直线2l 的解析式为3y =-， 联立2132y x y px q
⎧=-⎪⎨⎪=+⎩可得22260px x q ---=， 1l 与抛物线只有一个公共点，
∴方程22260px x q ---=只有一个实数根2x ，
∴其根的判别式244(26)0p q ∆=++=，且2222260x px q ---=， 解得2132q p --=
， 将2132
q p --=代入2222260x px q ---=得：2x p =， 联立3y y px q =-⎧⎨=+⎩，解得33q x p y --⎧=⎪⎨⎪=-⎩
， 即点N 的坐标为3(,3)q N p
---， 21322
p q p DN p p --∴===， 121122S DM x DM p =⋅=⋅，21112224p S DM DN DM DM p =⋅=⋅=⋅，
1212124
DM S p M p S D ⋅⋅∴==． 【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式、二次函数的对称性、圆周角定理等知识点，较难的是题（2）①，利用圆周角定理得出AD BD ⊥，从而利用一次函数的性质建立等式是解题关键．
5．（1）MP = NP ，180°－α；（2）PMN 是等边三角形，证明见解析；（3）MN 的最
大值为
【解析】
【分析】
（1）由三角形的中位线的判定与性质不难得出，MP =12BD ，MP //BD 以及NP =12CE ，NP //CE ，因此MP = NP ，将MPN ∠利用平行线的性质转化为EBD ∠与PEA ∠的和求解即可．
（2）有（1）同理可证MP = NP ，MP //BD ，NP //CE ，在根据平行线的性质以及三角形外角的性质将MPN ∠转化为ABD ∠，ABE ∠，PBN ∠，ECB ∠这四个角的和，求出MPN ∠的度数，判断PMN 的形状即可．
（3）由题意不难得出M 的运动轨迹是以点A
为圆心，
2
为半径的一个圆，分别找出MN 最大与最小时M 的位置，分别求出最大最小值即可．
【详解】
（1）AB =AC ，AD =DE ，
∴BD =EC ，
M 、P 分别是DE 、BE 的中点， ∴MP =12
BD ，MP //BD ， ∴EPM EBD ∠=∠， 同理可证：NP =
12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，
∴NPE PEA ∠=∠，
∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=EBD ∠+PEA ∠=180°－α．
（2）由旋转可得：CAB EAD ∠=∠，AD =AE ，
∴CAE BAD ∠=，
在CAE 与BAD 中，
AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
，
∴CAE ≌BAD ，
∴CE =BD ，
由（1）同理可证MP =12BD ，MP //BD ，NP =12
CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，
∴PMN 是等腰三角形，
EPM ∠=EBD ∠=ABD ∠+ABE ∠，
NPE ∠=PBN ∠+PNB ∠=PBN ∠+ECB ∠，
∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=ABD ∠+ABE ∠+PBN ∠+ECB ∠=180°－120°=60°， ∴PMN 是等边三角形．
（3）等腰直角ADE 中，AD =3，
∴DE
M 是DE 的中点，
∴AM
∴M 的运动轨迹是以点A
为圆心，2
为半径的一个圆， 如图，连接NA 并延长分别交⊙A 于点M 1、M 2， 等腰直角ABC 中，AB =7，
∴BC
N 是BC 的中点，
∴AN
=2
，AN ⊥BC ， 当点M 旋转至M 1位置时，MN 最大，MN
当点M 旋转至M 2位置时，MN 最小，MN
=
【点睛】
本题较为综合，主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线以及点的运动轨迹，本题关键在于利用平行线的性质将角进行转化以及分析出点的运动轨迹为圆．
6．（1）⊙O的半径为10，（2）AD长为19.2，（3）存在，四边形AGEF的面积的最大值为34.56．
【解析】
【分析】
（1）如图1
利用垂径定理构造直角三角形解决问题．
（2）如图2
在（1）基础上利用圆周角和圆心角的关系证明△OCH ∽△DCK ，求出Dk ，再据垂径定理求得AD ．
（3）如图3
以平行四边形AGEF 的面积为函数，以AG 边上的高为自变量，列出一个二次函数，利用二次函数的最值求解．
【详解】
（1）如图1
连接OC ，因为OB AC ⊥,根据垂径定理知 HC=1112622
AC =⨯= 在RT △BCH 中 ∵210BC =∴由勾股定理知：2222BH (210)62BC HC =
--=
∴OH=OB-BH=OB-2
又∵OB=OC
所以在RT △OCH 中，由勾股定理可得方程：2222)6OC OC -+=（
解得OC=10．
（2）如图2，在⊙O 中：
∵AC=CD，
∴OC⊥AD（垂径定理）∴AD=2KD，∠HCK=∠DCK 又∵∠DKC=∠OHC=90°
∴△OCH∽△DCK
∴KD DC HO OC
=
∴
DC1248
KD=8
105
HO
OC
=⨯==9.6
∴AD=2KD=19.2．
（3）如图3
本题与⊙O无关，但要运用前面数据．作FM⊥AC于M，作DN⊥AC于N，显然四边形AGEF为平行四边形，设平行四边形AGEF的面积为y、EM=x、DN=a（a为常量），
先运用(2)的△OCH∽△DCK，得CK=7.2．
易得△DFE∽△DAC，
∴DN-EM EF
DN AC
=（相似三角形对应高之比等于相似比）
∴
DN EM AG=EF=AC
DN
-
∴AG=12()a a x - ∴平行四边形AGEF 的面积y=
212()1212a x x x x a a -=-+(0＜x ＜a ） 由二次函数知识得，当x=12a 12
22a -=-⨯时，y 有最大值． 把x=2a 代入到中得，12
EF AC = ∴此时EF 、EG 、FG 恰是△ADC 的中位线 ∴四边形AGEF 的面积y 最大=
111S 34.56222ADC AD CK ∆=⨯⨯=． 【点睛】
本题主要考查与圆有关线段的计算、与二次函数有关的几何最值问题．（1）的关键是利用垂径定理构造直角三角形，最后用勾股定理进行计算．（2）的关键是运用与圆有的角的性质证明相似，再进行计算．（3）难点是分清图形的变与不变，选择恰当的变量并列出函数关系式．
7．（1）t=4；
（2）S=22210()
9()1128203243447)?1222(12734
)8(t t t t t t t t t ≤+≤≤-+≤⎧⎪⎪⎪⎪⎨-+-⎪⎪⎪⎪⎩＜＜＜＜； （3）存在，当t=4、
4811或4011时，△PEF 是等腰三角形． 【解析】
试题分析：（1）作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，可以得出四边形AGHD 为矩形，根据矩形的性质及相关条件可以得出△ABG ≌△DCH ，可以求出BG=CH 的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH 的值，就可以求出BP 的值，即可以求出结论t 的值；
（2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当0＜t≤3，当3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S 的值；
（3）先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-12
t ，分为三种情况：EF=EP 时可以求出t 值，当FE=FP 时，作FR ⊥EP ，垂足为R ，可以求出t 值，当FE=FP 时，作FR ⊥EP ，垂足为R ，可以求出t 值，当PE=PF 时，作PS ⊥EF ，垂足为S ，可以求出t 值．
试题解析：（1）如图2，作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，
∴四边形AGHD 为矩形．
∵梯形ABCD ，AB=AD=DC=5，
∴△ABG ≌△DCH ，
∴BG=12（BC-AD ）=3，AG=4， ∴当正方形PQMN 的边MN 恰好经过点D 时，点M 与点D 重合，此时MQ=4，
∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴t=4，即4秒时，正方形PQMN 的边MN 恰好经过点D ；
（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t ，
∵tan ∠DBC=
12，tan ∠C=tan ∠ABC=43， ∴GP=
12t ，PQ=43t ，BN=t+43t=73t ， ∴NR=76
t ， ∴S=2174()102
6329
t t t t +⨯=； 如图3，当3＜t≤4时，BP=t ，
∴GP=
12t ，PQ=4，BN=t+4， ∴NR=12
t+2，
∴S=11(2)2222t t ++⨯=2t+4； 如图4，当4＜t≤7时，BP=t ，
∴GP=12
t ，PQ=4，PH=8-t ，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4， ∴CN=3-（t-4）=7-t ， ∴NR=2843t -， ∴S=22841(4)(4)(4)(8)11282232221233
t t t t t t -+-+-+=-+-； 如图5，当7＜t≤8时，BP=t ，
∴GP=12
t ，PQ=4，PH=8-t ， ∴S=21(4)(8)341222224
t t t +-⨯+=-+ ∴S=22210()
9()1128203243447)?1222(12734
)8(t t t t t t t t t ≤+≤≤-+≤⎧⎪⎪⎪⎪⎨-+-⎪⎪⎪⎪⎩＜＜＜＜； （3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF ，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC ，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=3
5
，
由（1）可知EP=1
2
BP=
1
2
t，
则EF=EQ=PQ-EP=4-1
2
t，
①如图6，当EF=EP时，4-1
2
t=
1
2
t，
∴t=4；
②如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，
∴ER=1
2
EP=
3
5
EF，
∴11
22
t=
3
5
（4-
1
2
t)，
∴t=48 11
；
③如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，
∵ES=1
2
EF=
3
5
PE，
∴1
2
（4-
1
2
t) =
3
5
×
1
2
t，
∴t=40 11
．
∴当t=4、4811或4011时，△PEF 是等腰三角形． 考点：相似形综合题． 8．（1）213222
y x x =--+（2）①12S S 的最大值是45，②﹣2或﹣2911. 【解析】
【分析】
【详解】
（1）解：根据题意得A （﹣4，0），C （0，2），
∵抛物线y=﹣12
x 2+bx+c 经过A 、C 两点， ∴ 1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩
， ∴ 322
b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴y=﹣12x 2﹣32
x+2； （2）解：①令y=0，即213x x 2022-
-+=， ∴x 1=﹣4，x 2=1，
∴B （1，0），
如图1，过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，
∴DM ∥BN ，
∴△DME ∽△BNE ，
∴ 12S S = DE BE = DM BN
， 设D （a ，213222a a -
-+），
∴M （a ，12a+2）， ∵B （1.0）， ∴N （1，52
）， ∴ 12S S = DM BN = 2121255
2a a --=-（a+2）2+ 45； ∴当a=－2时，12S S 的最大值是45
； ②∵A （﹣4，0），B （1，0），C （0，2），
∴AC=25 ，BC=5，AB=5，
∴AC 2+BC 2=AB 2 ，
∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，
∴P （﹣32
，0）， ∴PA=PC=PB=52
， ∴∠CPO=2∠BAC ， ∴tan ∠CPO=tan （2∠BAC ）=
43， 过作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，
情况一：如图，
∵∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，
∴∠CDG=∠BAC ，
∴tan ∠CDG=tan ∠BAC=
12， 即12
RC DR =，
令D （a ，213222
a a --+）， ∴DR=﹣a ，RC=21322a a -
-， ∴ 2131222
a a a --=-，
∴a 1=0（舍去），a 2=﹣2，
∴x D =﹣2，
情况二，∵∠FDC=2∠BAC ，
∴tan ∠FDC=
43， 设FC=4k ，
∴DF=3k ，DC=5k ，
∵tan ∠DGC=
312
k FG =， ∴FG=6k ，
∴CG=2k ，
，
∴
k ，
，
﹣5
， ∴ DR RC
21322a a a ---， ∴a 1=0（舍去），a 2=2911
-， 点D 的横坐标为﹣2或﹣
2911． 9．（1）265y x x =-+；（2）APC △的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍的点，且坐标为M 1（
1317,66），M 2（236，76
）． 【解析】
【分析】 （1）先根据直线5y x =-+经过点,B C ，即可确定B 、C 的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A 、B 的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB 为等腰三角形；再结合OB=OC 得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定APC △的形状； （3）作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M1，AC 于E ；然后说明△ANB 为等腰直角三角形，进而确定N 的坐标；再求出AC 的解析式，进而确定M 1E 的解析式；然后联立直线BC 和M 1E 的解析式即可求得M 1的坐标；在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，利用中点坐标公式即可确定点M 2的坐标
【详解】
解：（1）∵直线5y x =-+经过点,B C
∴当x=0时，可得y=5，即C 的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B 的坐标为（5,0）
∴2250600565a c a c ⎧=⋅-⨯+⎨=-⨯+⎩
解得15a c =⎧⎨=⎩ ∴该抛物线的解析式为265y x x =-+
（2）APC △的为直角三角形，理由如下：
∵解方程265x x -+=0，则x 1=1，x 2=5
∴A （1,0），B （5,0）
∵抛物线265y x x =-+的对称轴l 为x=3
∴△APB 为等腰三角形
∵C 的坐标为（5,0）, B 的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴APC △的为直角三角形；
（3）如图：作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M1，AC 于E ， ∵M 1A=M 1C ，
∴∠ACM 1=∠CAM 1
∴∠AM 1B=2∠ACB
∵△ANB 为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N （3，2）
设AC 的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴500k b k b =⋅+⎧⎨=+⎩
解得b=5，k=-5 ∴AC 的函数解析式为y=-5x+5 设EM 1的函数解析式为y=
15x+n
∵点E 的坐标为（15,22） ∴52=15×12 +n ，解得：n=125 ∴EM 1的函数解析式为y=
15x+125 ∵511255y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴M 1的坐标为（1317,66
）； 在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2
设M 2（a ，-a+5）
则有：3=1362
a +，解得a=236 ∴-a+5=76
∴M 2的坐标为（236，76
）． 综上，存在使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍的点，且坐标为M 1（
1317,66），M 2（236，76
）．
【点睛】
本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学
知识成为解答本题的关键．
10．(1)见解析；(2)45°；(3)9.
【解析】
【分析】（1）利用正方形性质，证△ABH ≌△BCE.可得AH=BE .
（2）证△AOH∽△BGH，OH AH
GH BH
=，
OH GH
AH BH
=，再证△OHG∽△AHB.，
得∠AGO=∠ABO=45°；
（3）先证△ABG ∽△BFG.得AG BG
BG GF
=,所以，AG·GF=BG 2
=（2=18. 再证△AGO ∽△CGF.得GO AG
GF CG
=,所以，GO·CG =AG·GF=18.所以，
S△OGC =1
2 CG·GO.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB =45°∵AF⊥BE,
∴∠BAG+∠ABG=∠CBE +∠ABG=90°.
∴∠BAH=∠CBE.
∴△ABH ≌△BCE.
∴AH=BE .
（2）∵∠AOH=∠BGH=90°, ∠AHO=∠BHG,∴△AOH∽△BGH
∴OH AH
GH BH
=
∴OH GH
AH BH
=
∵∠OHG =∠AHB.
∴△OHG∽△AHB.
∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度数为定值（3）∵∠ABC=90°,AF⊥BE,
∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,
∴△ABG ∽△BFG.
∴AG BG BG GF
=,
∴AG·GF=BG 2 =（2=18.
∵△AHB ∽△OHG ，
∴∠BAH =∠GOH =∠GBF .
∵∠AOB =∠BGF =90°
, ∴∠AOG =∠GFC .
∵∠AGO =45°
,CG ⊥GO , ∴∠AGO =∠FGC =45°
. ∴△AGO ∽△CGF . ∴GO AG GF CG
=, ∴GO ·
CG =AG ·GF =18. ∴S △OGC =12
CG ·GO =9. 【点睛】此题为综合题，要熟练掌握正方形性质和相似三角形判定方法还有相似三角形的性质.
11．（1）不是，6a =，9b =；（2）(2,4)Q ；（3）画图见解析，
11PMO MPP O OM ∠=∠+∠
【解析】
【分析】
（1）根据题意即可得到结论；因为(,3)P a 是和谐点，所以根据题意得
3||2(||3)a a ⨯=⨯+，再得到0a >，列方程即可得到结论；
（2）设(,3)E m ，由BEO PEQ ∆∆∽可求得63m PQ m
-=
，再根据2OBE EPQ S S ∆∆-=列出方程，求出m 的值即可解决问题； （3）根据题意画出图形，再过M 点作1//MF PP ，根据平行线的性质可得结论．
【详解】
解：（1）M 不是和谐点．
根据题意，对于M 而言，面积为122⨯=，周长为2(12)6⨯+=，
所以M 不是和谐点；
因为(,3)P a 是和谐点，
所以根据题意得3||2(||3)a a ⨯=⨯+．
∵点P （a ，3）是第一象限内的一个“和谐点”，
∴0a >，
∴32(3)a a =+，
解得6a =，将(6,3)代入y x b =-+得36b =-+，
解得9b =．
所以6a =，9b =；
（2）)3(2,P ，。